新課標(biāo)人教A版高中數(shù)學(xué)必修一集合函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

表示自然數(shù)集，N表示正整數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，

表示實(shí)數(shù)集.記號(hào)或意義性質(zhì)示意圖

表示自然數(shù)集，N表示正整數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，

表示實(shí)數(shù)集.記號(hào)或意義性質(zhì)示意圖

【1.1.1】集合的含義與表示

（1）集合的概念

集合中的元素具有確定性、互異性和無(wú)序性.

（2）常用數(shù)集及其記法

NN

R

（3）集合與元素間的關(guān)系

對(duì)象a與集合M的關(guān)系是aM，或者aM，兩者必居其一.

（4）集合的表示法

①自然語(yǔ)言法：用文字?jǐn)⑹龅男问絹?lái)描述集合.

②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái)，寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)表示集合.

③描述法：{x|x具有的性質(zhì)}，其中x為集合的代表元素.

④圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來(lái)表示集合.

（5）集合的分類(lèi)

①含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集.②含有無(wú)限個(gè)元素的集合叫做無(wú)限集.

③不含有任何元素的集合叫做空集().

【1.1.2】集合間的基本關(guān)系

（6）子集、真子集、集合相等

名稱(chēng)

B（或A)AAB(2)若AB且BC，則BA）素都屬于B，(1)ABBB中的任一元(2)BA1)B（或A)AAB(2)若AB且BC，則BA）素都屬于B，(1)ABBB中的任一元(2)BA1)12n2記(2)A中的任一元

素都屬于BBB，且BAB素不屬于AA(B)個(gè)元素，則它有2個(gè)子集，它有2個(gè)真子集，它有2意義A

(3)若

AC且Annn性質(zhì)A(B)AA1示意圖BB，則且BCA，則或

A

子集

B(4)若

ABAB（1）（A為非空子集）真子（或中至少有一元AC集

A中的任一元

集合A相等

素都屬于A

（7）已知集合A有n(n

個(gè)非空子集，它有非空真子集.

【1.1.3】集合的基本運(yùn)算

（8）交集、并集、補(bǔ)集

名

號(hào)AABxBAABxB{x|xU,x(AUU解集0)0)axbb|ccA{x|xB}A{x|xB}A}B)U(AU{x|ax|xa0)A,且（3）AA,或（3）A1(UB)Ux號(hào)AABxBAABxB{x|xU,x(AUU解集0)0)axbb|ccA{x|xB}A{x|xB}A}B)U(AU{x|ax|xa0)A,且（3）AA,或（3）A1(UB)Ux或x|x|ax|a(a（2）AAB（2）AABA)U(a}a}，|BABA(BA)0)型不等式來(lái)求A)(BA(U)A)2A()U

（1）A交

集

AB（1）A并

集

AB

補(bǔ)A集U

【補(bǔ)充知識(shí)】含絕對(duì)值的不等式與一元二次不等式的解法

（1）含絕對(duì)值的不等式的解法

不等式

|x|a(a

|x|a(a

把看成一個(gè)整體，化成

|axbc,|ax

解

（2）一元二次不等式的解法

0b2ax2Obxc（其中x1bxcx1bxx1A、Bff(x)和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)（包AfB．04acbxb0(a20(a2c0b2ax2Obxc（其中x1bxcx1bxx1A、Bff(x)和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)（包AfB．04acbxb0(a20(a2c0(ax}2c(ab20)x)0)0)0)4ac1,21或x2a2x}x{x|xxb2a}Rb2a無(wú)實(shí)根0

二次函數(shù)

y

的圖象

一元二次方程xax2

的根

ax2{x|x的解集

ax2{x|x的解集

〖1.2〗函數(shù)及其表示

【1.2.1】函數(shù)的概念

（1）函數(shù)的概念

①設(shè)是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則，對(duì)于集合A中任何

一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)

括集合，B以及A到B的對(duì)應(yīng)法則）叫做集合A到B的一個(gè)函數(shù)，記作

f:A

②函數(shù)的三要素:定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則．

xbxbxb的實(shí)數(shù)的集合叫做半開(kāi)半閉區(qū)間，分別記做a,x．f(x)是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù)．f(x)是分式函數(shù)時(shí)，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù)．f(x)是偶次根式時(shí)，定義域是使被開(kāi)方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合．ytanxxbxbxb的實(shí)數(shù)的集合叫做半開(kāi)半閉區(qū)間，分別記做a,x．f(x)是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù)．f(x)是分式函數(shù)時(shí)，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù)．f(x)是偶次根式時(shí)，定義域是使被開(kāi)方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合．ytanxk(kZ)．f(x)是由有限個(gè)基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算而合成的函數(shù)時(shí)，則其定義域f(x)的定義域?yàn)閇a,b]，f[g(x)]的定義域應(yīng)由不等式a的實(shí)數(shù)x的集合叫做開(kāi)區(qū)間，記做(a,b)；滿足a，或[a,b)a,x,xb的實(shí)數(shù)),(a,x2g(x)b，(a,b]；滿足x的集合分別記做[a,b}與區(qū)間(a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必．),(,b],(,b)．

（2）區(qū)間的概念及表示法

①設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且ab，滿足a的實(shí)數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，記做

[a,b]；滿足a

axbx

x

注意：對(duì)于集合{x|a

須

ab

（3）求函數(shù)的定義域時(shí)，一般遵循以下原則：

①

②

③

④對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對(duì)數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí)，底數(shù)須大

于零且不等于1．

⑤中，x

⑥零（負(fù)）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零．

⑦若

一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集．

⑧對(duì)于求復(fù)合函數(shù)定義域問(wèn)題，一般步驟是：若已知

其復(fù)合函數(shù)

⑨對(duì)于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問(wèn)題具體情況需對(duì)字母參數(shù)進(jìn)

行分類(lèi)討論．

y)x2b2(y)4a(y)c(y)y)x2b2(y)4a(y)c(y)0f(x)可以化成一個(gè)系數(shù)含有yb(y)xc(y)00，從而確定函數(shù)的值域或最值．的關(guān)于x的二次方程，則在a(y)時(shí)，由于x,y為實(shí)數(shù)，故必須有

際意義．

（4）求函數(shù)的值域或最值

求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的．事實(shí)上，如果

在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最小（大）數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最?。ù螅┲担?/p>

此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，只是提問(wèn)的角度不同．求函數(shù)值

域與最值的常用方法：

①觀察法：對(duì)于比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，我們可以通過(guò)觀察直接得到值域或最值．

②配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變

量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值．

③判別式法：若函數(shù)y

a(

④不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值．

⑤換元法：通過(guò)變量代換達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的，三角代換可將代

數(shù)函數(shù)的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問(wèn)題．

⑥反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的

值域或最值．

⑦數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值．

⑧函數(shù)的單調(diào)性法．

【1.2.2】函數(shù)的表示法

A、BfA，BA到BfAA、BfA，BA到BfA到Bf:AA,bB圖象B．．如果元素a和元素b對(duì)應(yīng)，判定方法

表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種．

解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．列表法：就是列

出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．圖象法：就是用圖象表示兩個(gè)變量

之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．

（6）映射的概念

①設(shè)是兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則，對(duì)于集合A中任何一個(gè)元

素，在集合B中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)（包括集合

以及的對(duì)應(yīng)法則）叫做集合的映射，記作

②給定一個(gè)集合A到集合B的映射，且a

那么我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．

〖1.3〗函數(shù)的基本性質(zhì)

【1.3.1】單調(diào)性與最大（?。┲?/p>

（1）函數(shù)的單調(diào)性

①定義及判定方法

函數(shù)的定義性質(zhì)

（1）利用定義（2）利用已知函數(shù)的單調(diào)性．<xy，f(x)2．．1增）y．<1f(x)．12．．（4）利用復(fù)合yy（3）利用函數(shù)都1o2y=f(X)f(x)2o2象下降為減）f[g(x)]，令u有區(qū)間圖x（3）利用函數(shù)圖象（在某個(gè)xg(x)，若yy=f(X)f(x)2xxf(u)（1）利用定義（2）利用已知函數(shù)的單調(diào)性．<xy，f(x)2．．1增）y．<1f(x)．12．．（4）利用復(fù)合yy（3）利用函數(shù)都1o2y=f(X)f(x)2o2象下降為減）f[g(x)]，令u有區(qū)間圖x（3）利用函數(shù)圖象（在某個(gè)xg(x)，若yy=f(X)f(x)2xxf(u)圖象（在某個(gè)x象上升為x為增，u區(qū)間圖og(x)x

域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上

的任意兩個(gè)自變量的值x、x,當(dāng)x121．．．2．

時(shí)f(x．．．)<f(x)，那么1．．．．．．

就說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)．．．．

（4）利用復(fù)合函數(shù)的函數(shù)單調(diào)性（1）利用定義如果對(duì)于屬于定義（2）利用已知域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性的任意兩個(gè)自變量的值x、x，當(dāng)x121．．x．時(shí)，都有2f(x．．．)>f(x)，那么1．．．．．．

就說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)．．．．函數(shù)

②在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩

個(gè)減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個(gè)減函數(shù)為增函數(shù)，減

函數(shù)減去一個(gè)增函數(shù)為減函數(shù)．

③對(duì)于復(fù)合函數(shù)

yyyf(x)x(a0)的圖象與性質(zhì)

上為增函數(shù)，分別在[yf(x)If(x)Mf(x)

f(xyyyf(x)x(a0)的圖象與性質(zhì)

上為增函數(shù)，分別在[yf(x)If(x)Mf(x)

f(x)M

yf(x)IIf(x)m；（2）存在xIf(x)

f(x)的最小值，記作f(x)m．圖象f[g(x)]為增；若yf(u)f[g(x)]為減．a(chǎn)xa,0)a]f(x)IMMm滿足：（1）對(duì)于任m．那么，我們稱(chēng)判定方法f(u)為增，u、(0,上為減函的定義域?yàn)?，如果存在?shí)數(shù)滿足：（1）對(duì)于；m是為減，ug(x)為減，則yg(x)為減，則yf[g(x)]為減；若yf[g(x)]為增；f(u)為減，ug(x)為

若

增，則

（2）打“√”函數(shù)

f(x)分別在(,a]、[a,)

數(shù)．

（3）最大（?。┲刀x

①一般地，設(shè)函數(shù)

任意的xI，都有

（2）存在x，使得．那么，我們稱(chēng)M是函數(shù)的最00大值，記作．max②一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在?shí)數(shù)

意的x，都有，使得0函數(shù)max【1.3.2】奇偶性

（4）函數(shù)的奇偶性

①定義及判定方法

函數(shù)的定義性質(zhì)

（1）利用定義（要先判斷定．f(．－．原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)）（2）利用圖象（圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)）（1）利用定義（要先判斷定．f(．－．原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)）（2）利用圖象(x)為奇函數(shù)，且在x(0)0．yy義域是否關(guān)于義域是否關(guān)于0

如果對(duì)（1）利用定義（要先判斷定．f(．－．原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)）（2）利用圖象（圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)）（1）利用定義（要先判斷定．f(．－．原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)）（2）利用圖象(x)為奇函數(shù)，且在x(0)0．yy義域是否關(guān)于義域是否關(guān)于0

f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有

x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函

數(shù)f(x)叫做奇函．．

數(shù)．．

函數(shù)的

奇偶性如果對(duì)于函數(shù)

f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有

x)=．．．f(x)．．．．,那么函數(shù)

f(x)叫做偶函數(shù)．．．．

（圖象關(guān)于y

軸對(duì)稱(chēng)）

②若函數(shù)f處有定義，則f

③奇函數(shù)在軸兩側(cè)相對(duì)稱(chēng)的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在軸兩側(cè)相對(duì)稱(chēng)的區(qū)

間增減性相反．

④在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函數(shù)（或

奇函數(shù)），兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的積（或商）是偶函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)與一

個(gè)奇函數(shù)的積（或商）是奇函數(shù)．

〖補(bǔ)充知識(shí)〗函數(shù)的圖象

（1）作圖

利用描點(diǎn)法作圖：

f(x)f(x)f(x)f(x)軸yf(x)原點(diǎn)yf(x)去掉yff(x)f(x)f(x)f(x)軸yf(x)原點(diǎn)yf(x)去掉yf(x)保留y|f(x)|h0,左移y0y0Ayxf(x)yy軸左邊圖象保留y軸右邊圖象，并作其關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)圖象x軸上方圖象將x軸下方圖象翻折上去個(gè)單位h0,h|1,伸1,1,縮A1,伸f(x)yf(|x|)f(xh)y縮Af(x)f(x)直線f(x)f(x)f(x)軸yyxk0,上移yyyk個(gè)單位k0,k|f(xff(x)k)1(x)

③討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性）；④畫(huà)出函數(shù)的圖象．

利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：

要準(zhǔn)確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函

數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖象．

①平移變換

y

②伸縮變換

y

y

③對(duì)稱(chēng)變換

y

y

y

y

（2）識(shí)圖

對(duì)于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢(shì)、對(duì)稱(chēng)

性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，注意圖象與函數(shù)解析

式中參數(shù)的關(guān)系．

（3）用圖

函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問(wèn)題提供了“形”的直

觀性，它是探求解題途徑，獲得問(wèn)題結(jié)果的重要工具．要重視數(shù)形結(jié)合解題

的思想方法．

基本初等函數(shù)(Ⅰ)nnnnn．(naaaa的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義．rs)raaaa)n|a|mnmn注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反aara,an叫做根指數(shù)，a叫做被開(kāi)方數(shù)．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，aan(1)maars(abr(aR,x；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，am(an0,r,sR基本初等函數(shù)(Ⅰ)nnnnn．(naaaa的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義．rs)raaaa)n|a|mnmn注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反aara,an叫做根指數(shù)，a叫做被開(kāi)方數(shù)．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，aan(1)maars(abr(aR,x；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，am(an0,r,sR0,bR,n1na0)0,m,nN,1)n)0,r，且nnn(a0)且n．0的正(1)ma(a②(aR)Naan為偶數(shù)時(shí)，．0,m,nN,rs，那么x叫做a的n次方根．當(dāng)n是奇；當(dāng)且)ars(a0,r,sR)

〖2.1〗指數(shù)函數(shù)

【2.1.1】指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算

（1）根式的概念

①如果x數(shù)時(shí)，a的n次方根用符號(hào)表示；當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)a的正的n次方根用

符號(hào)表示，負(fù)的n次方根用符號(hào)表示；0的n次方根是0；負(fù)數(shù)a沒(méi)有n

次方根．

②式子叫做根式，這里

a為任意實(shí)數(shù)；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a0

③根式的性質(zhì)：

nn

（2）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念

①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：

分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0．

②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：

n1)．0

數(shù)．

（3）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)

①a

③(ab

【2.1.2】指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

指數(shù)函數(shù)函數(shù)0ay1xR(0,圖象過(guò)定點(diǎn)(0,1)，即當(dāng)時(shí)，．非奇非偶在R上是增函數(shù)ax1(xax圖象在第一象限內(nèi)，圖象越低．y1axyO)xy在R上是減函數(shù)1指數(shù)函數(shù)函數(shù)0ay1xR(0,圖象過(guò)定點(diǎn)(0,1)，即當(dāng)時(shí)，．非奇非偶在R上是增函數(shù)ax1(xax圖象在第一象限內(nèi)，圖象越低．y1axyO)xy在R上是減函數(shù)1(x0)1(xax(a0y1x00)ax0)且aa(0,1)1ax1(xax1)叫做指數(shù)函數(shù)x1(x0)1(xy0)0)

函數(shù)名稱(chēng)

定義

a1y

y

(0,1)

O圖象

定義域

值域

過(guò)定點(diǎn)

奇偶性

單調(diào)性

函數(shù)值的ax變化情況

a變化對(duì)a越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，a越大

的影響

x，log，log．NNN

0,a1,M0,N0logMaMaM函數(shù)a1logb2.71828…）．logNaalogMnyx，log，log．NNN

0,a1,M0,N0logMaMaM函數(shù)a1logb2.71828…）．logNaalogMny0aN(aNlog(MN)Mannblogx(a010,且ax②減法：loga(nlogM(ba且aa1)N(alogNR)0,na1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，則x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x0,alog④aR)NlogN1,NMNlogaN⑥換底公式：log，其中a叫0)NlogNlogba．(b0,且b1)

【2.2.1】對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算

（1）對(duì)數(shù)的定義

①若aa做底數(shù)，N叫做真數(shù)．

②負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù)．

③對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：xa（2）幾個(gè)重要的對(duì)數(shù)恒等式

log10a1abaaa（3）常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)

常用對(duì)數(shù)：lg，即log；自然對(duì)數(shù)：lnN，即log（其中e10（4）對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a，那么

①加法：a③數(shù)乘：nloga⑤logabb

【2.2.2】對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

（5）對(duì)數(shù)函數(shù)

函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)名稱(chēng)

定義a圖象

x1a(1,0)(0,R圖象過(guò)定點(diǎn)(1,0)，即當(dāng)時(shí)，．非奇非偶在(0,上是增函數(shù)logxa0(xalogxa圖象在第一象限內(nèi)，a越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，大圖象越靠高．y(y)yx)x)0(xx1a(1,0)(0,R圖象過(guò)定點(diǎn)(1,0)，即當(dāng)時(shí)，．非奇非偶在(0,上是增函數(shù)logxa0(xalogxa圖象在第一象限內(nèi)，a越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，大圖象越靠高．y(y)yx)x)0(xa1)a0(0f(x)．如果對(duì)于y在C中的任何一個(gè)值，通過(guò)式子x(y)ylogxO1在(0,上是減函數(shù)1)logxx1)的定義域?yàn)锳，值域?yàn)镃，從式子y(y)表示x是的函數(shù)，函數(shù)xyxy)logx0(xlogxf(x)，x在A中都有唯(x100(x1)0(0x1)中解出x，得式子y)y1)叫做函logxa

(1,0)O

定義域

值域

過(guò)定點(diǎn)

奇偶性

單調(diào)性

函數(shù)值的logx變化情況a

a變化對(duì)a越

的影響

(6)反函數(shù)的概念

設(shè)函數(shù)

x

一確定的值和它對(duì)應(yīng)，那么式子x

yyfy)；yyP(a,b)在原函數(shù)yyyf(x)的反函數(shù)，記作xf(x)1(fy)改寫(xiě)成yf(x)yf(x)的定義域、值域分別是其反函數(shù)yyfy)；yyP(a,b)在原函數(shù)yyyf(x)的反函數(shù)，記作xf(x)1(fy)改寫(xiě)成yf(x)yf(x)的定義域、值域分別是其反函數(shù)yf(x)P,a)yf(x)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù)．xfy)，習(xí)慣上改寫(xiě)成y中反解出1(與反函數(shù)f的圖象上，則在反函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中x為自變量，是常數(shù)．1(ffyx1(x)'(f1(x)1(x)的值域、定義域．f1(x)，并注明反函數(shù)的定義域．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)．1(x)．的圖象

（7）反函數(shù)的求法

①確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；②從原函數(shù)式

x

③將x

（8）反函數(shù)的性質(zhì)

①原函數(shù)

②函數(shù)

③若

上．

④一般地，函數(shù)

〖2.3〗冪函數(shù)

（1）冪函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)

（2）冪函數(shù)的圖象

y)00，則冪函數(shù)的圖象在(0,)x軸yp,q互質(zhì)，pZpypy[0,y)00，則冪函數(shù)的圖象在(0,)x軸yp,q互質(zhì)，pZpypy[0,)上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無(wú)限接近qpxpyx,x（其中和q），若為奇數(shù)q為奇數(shù)時(shí)，則qp(0,)1x1x是偶函數(shù)，若為偶數(shù)q為奇數(shù)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，若0，其圖象在直線yqpxx是奇函數(shù)，qp是

①圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無(wú)圖象．冪函數(shù)

是偶函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、二象限(圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng))；是奇函數(shù)時(shí)，圖象

分布在第一、三象限(圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng))；是非奇非偶函數(shù)時(shí)，圖象只分布在第

一象限．

②過(guò)定點(diǎn)：所有的冪函數(shù)在(0,都有定義，并且圖象都通過(guò)點(diǎn)(1,1)．

③單調(diào)性：如果，則冪函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)，并且在上為增函數(shù)．如果

與軸．

④奇偶性：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為偶函數(shù)．當(dāng)

若為奇數(shù)q為偶數(shù)時(shí)，則非奇非偶函數(shù)．

⑤圖象特征：冪函數(shù)y

1yx1x11yxf(x)a(x2f(x)f(x)b4acb22a4a

0,][,)f(x)b2af(x)xax2x)(x1yx1x11yxf(x)a(x2f(x)f(x)b4acb22a4a

0,][,)f(x)b2af(x)xax2x)(xxax2,)．

bb2ab4a,)ax2bx)(abx4acb2bbbxc(a0)c(a；當(dāng)a時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，函數(shù)在(f(x)c(a0)②頂點(diǎn)式：f(x)（2）求二次函數(shù)解析式的方法0)的圖象是一條拋物線，對(duì)稱(chēng)軸方程為x0,]4acb24a0)當(dāng)a(xb2a．b2h)2,4ac0k(a頂時(shí)，圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)0)③兩根式：

上方，若x，其圖象在直線下方．

〖補(bǔ)充知識(shí)〗二次函數(shù)

（1）二次函數(shù)解析式的三種形式

①一般式：

f(x)1①已知三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，宜用一般式．

②已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對(duì)稱(chēng)軸有關(guān)或與最大（?。┲涤嘘P(guān)時(shí)，常使

用頂點(diǎn)式．

③若已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且橫線坐標(biāo)已知時(shí)，選用兩根式求

更方便．

（3）二次函數(shù)圖象的性質(zhì)

①二次函數(shù)

點(diǎn)坐標(biāo)是(

②當(dāng)a時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，函數(shù)在(上遞增，當(dāng)

x

增，在[上遞減，當(dāng)x

③二次函數(shù)

M(x,0),M(x,0),|MM|xx11221212

222ax2ya0x1yf(k)0Oky(k)0kx2f(k)0a01bxcbxx2b2axxb2axbxcbxc2，從以下四個(gè)方面來(lái)分析此類(lèi)問(wèn)題：①開(kāi)口方向：a②對(duì)稱(chēng)xf(?k)222ax2ya0x1yf(k)0Oky(k)0kx2f(k)0a01bxcbxx2b2axxb2axbxcbxc2，從以下四個(gè)方面來(lái)分析此類(lèi)問(wèn)題：①開(kāi)口方向：a②對(duì)稱(chēng)xf(?k)x1a0x10(a0(a④端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)．b2ak0b2axf?(k)O0)0),xOx1a0k20k根的分布的兩實(shí)根為x，且xx2xx2xxx．令

一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分知識(shí)在初中代數(shù)

中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判

別式和根與系數(shù)關(guān)系定理（韋達(dá)定理）的運(yùn)用，下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性

質(zhì)，系統(tǒng)地來(lái)分析一元二次方程實(shí)根的分布．

設(shè)一元二次方程ax1

f(x)

軸位置：x

①k＜x≤x12y

f(k)0?Ok

x

②x≤x＜12y

a0?Ox2x1

x

③x＜k＜xaf(k)＜012y

a0

Ox1

?

a0fx2k1a0fk2k1(k2f(x)f(x)在區(qū)間[p,q]上的最大值為M0b2af(q)y(k1)k1k2b2a0，y(k1)x2)ax212x0k2xf(k?1)00x0bx(pq)p，則mf(kOf?(k2)a0f(k1)O?a0c(a．f(p)pa0fx2k1a0fk2k1(k2f(x)f(x)在區(qū)間[p,q]上的最大值為M0b2af(q)y(k1)k1k2b2a0，y(k1)x2)ax212x0k2xf(k?1)00x0bx(pq)p，則mf(kOf?(k2)a0f(k1)O?a0c(a．f(p)pb2x100x1f(k2)0)在閉區(qū)間[p,q]上的最值②若)x2k2k10b0xx2qm2axf()qbb2a2a③若，則112