復(fù)變函數(shù)復(fù)習(xí)資料

(一)復(fù)數(shù)的觀點(diǎn)1.復(fù)數(shù)的觀點(diǎn)：zxiy，x,y是實(shí)數(shù),xRez,yImz.i21.注：一般兩個(gè)復(fù)數(shù)不比較大小，但其模（為實(shí)數(shù)）有大小.①兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部與虛部分別相等。②一個(gè)復(fù)數(shù)等于零，當(dāng)且僅當(dāng)它的實(shí)部與虛部同時(shí)等于零。③稱復(fù)數(shù)x+iy和x-iy互為共軛復(fù)數(shù)。2.復(fù)數(shù)的表示1）模：zx2y2；2）幅角：在z0時(shí)，矢量與x軸正向的夾角，記為Argz（多值函數(shù)）；主值argz是位于0,2中的幅角。（Argz有無量個(gè)值，argz是復(fù)數(shù)z的輻角的主值A(chǔ)rg=zargz+2kπ3）argz與arctany之間的關(guān)系以下：x當(dāng)當(dāng)

x0,argzarctany；xy0,argzyarctanx0,x；arctanyy0,argzx4）三角表示：zr(cosisin)，此中Arg(z)；注：中間必定是“+”號。（r=|z|）5）指數(shù)表示：zrei，此中Arg(z)。(二)復(fù)數(shù)的運(yùn)算1.加減法：若z1x1,i1y2z，則xz1z2x1x2··i1y2y乘除法：1）若z1x1iy1,z2x2iy2，則0z1z2x1x2y1y2ix2y1x1y2；z1x1iy1x1iy1x2iy2x1x2y1y2iy1x2y2x1。zxiy2xiy2xiy2x2y2x2y2222222222）若z1z1ei1,z2z2ei2,則z1z2i12；z1z1i12z1z2ez2z2e乘冪與方根①對任何整數(shù)n,有znrnein，特別地當(dāng)r=1時(shí)，有（ei)nein，即(cosisin)nconsisin②若wnz則稱復(fù)數(shù)w為復(fù)數(shù)z的n次方根，記作nz設(shè)zrei,wei，則有1rn,02Kπn1p2kπ故wrnen

k=0,..(n-1）rei與zrei(2kπ）表示的是同一個(gè)復(fù)數(shù)。一個(gè)圓心在原點(diǎn)，半徑為R的圓可表示為：|z|=R.一個(gè)圓心在z0，半徑為R的圓可表示為：|zz0|R（三）復(fù)變函數(shù)1．復(fù)變函數(shù)2．復(fù)初等函數(shù)1）指數(shù)函數(shù)：ezexcosyisiny，在z平面到處可導(dǎo)，到處分析；且ezez。注：ez是以2i為周期的周期函數(shù)。（注意與實(shí)函數(shù)不一樣）1⑵對數(shù)函數(shù)：Lnzlnz2kπi(k0,1,2)（多值函數(shù)）；Lnzlnzi(argz2k)(k0,1,2)主值：lnzlnziargz。（單值函數(shù)）Lnz的每一個(gè)主值分支lnz在除掉原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的z平面內(nèi)到處解析，且lnz1；z注：負(fù)復(fù)數(shù)也有對數(shù)存在。（與實(shí)函數(shù)不一樣）3）乘冪與冪函數(shù)：zeLnz4）三角函數(shù)：sinzeizeiz,coszeizeiz,tgzsinz,ctgzcosz2i2coszsinzsinz,cosz在z平面內(nèi)分析，且sinzcosz,coszsinz注：有界性sinz1,cosz1不再建立；（與實(shí)函數(shù)不一樣）雙曲函數(shù)shzezez,chzezez；22奇函數(shù)，是偶函數(shù)。在z平面內(nèi)分析，且shzchzsh,zchzshzc,hzchz。shz導(dǎo)數(shù)1．復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1）點(diǎn)可導(dǎo)：fz=limfz0zfz0；0z0z2）地區(qū)可導(dǎo)：fz在地區(qū)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)可導(dǎo)。2．分析函數(shù)的觀點(diǎn)1）點(diǎn)分析：fz在z0及其z0的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，稱fz在z0點(diǎn)分析；2）地區(qū)分析：fz在地區(qū)內(nèi)每一點(diǎn)分析，稱fz在地區(qū)內(nèi)分析；3）若f(z)在z0點(diǎn)不分析，稱z0為fz的奇點(diǎn)；3．分析函數(shù)的運(yùn)算法例：分析函數(shù)的和、差、積、商（除分母為零的點(diǎn)）仍為分析函數(shù)；分析函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為分析函數(shù)；2（五）函數(shù)可導(dǎo)與分析的充要條件1．函數(shù)可導(dǎo)的充要條件：fzux,yivx,y在ux,y和vx,y在x,y可微，且在x,y處知足

zxiy可導(dǎo)CD條件：uv,uv,此時(shí)，有fzuiv。xyyxxx2．函數(shù)分析的充要條件：fzux,yivx,y在地區(qū)內(nèi)分析ux,y和vx,y在x,y在D內(nèi)可微，且知足CD條件：uv,uv；此時(shí)fzuiv。xyyxxx注意：若ux,y,vx,y在地區(qū)D擁有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則ux,y,vx,y在地區(qū)D內(nèi)是可微的。所以在使用充要條件證明時(shí)，只需能說明u,v擁有一階連續(xù)偏導(dǎo)且知足CR條件時(shí)，函數(shù)f(z)uiv必定是可導(dǎo)或分析的。3．函數(shù)可導(dǎo)與分析的鑒別方法1）利用定義（題目要求用定義）2）利用充要條件（函數(shù)以fzux,yivx,y形式給出）3）利用可導(dǎo)或分析函數(shù)的四則運(yùn)算定理。（函數(shù)fz是以z的形式給出）（八）分析函數(shù)與調(diào)解函數(shù)的關(guān)系1．調(diào)解函數(shù)的觀點(diǎn)：若二元實(shí)函數(shù)h(x,y)在D內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且知足hxx(x,y)hyy(x,y)0，h(x,y)為D內(nèi)的調(diào)解函數(shù)。2．分析函數(shù)與調(diào)解函數(shù)的關(guān)系分析函數(shù)fzuiv的實(shí)部u與虛部v都是調(diào)解函數(shù)，并且它們的3一階偏導(dǎo)數(shù)知足柯西—黎曼方程，則稱虛部v為實(shí)部u的共軛調(diào)和函數(shù)。兩個(gè)調(diào)解函數(shù)u與v構(gòu)成的函數(shù)f(z)uiv不必定是分析函數(shù)；但是若u,v假如知足柯西—黎曼方程，則uiv必定是分析函數(shù)。3．已知分析函數(shù)fz的實(shí)部或虛部，求分析函數(shù)fzuiv的方法。1）偏微分法：若已知實(shí)部uux,y，利用CR條件，得v,v；xy對vu兩邊積分，得vudygx（*）yxx再對（*）式兩邊對x求偏導(dǎo)，得vxudygx（**）xx由CR條件，uv，得uxudygx，可求出gx；yxyx代入（*）式，可求得虛部vudygx。x2）線積分法：若已知實(shí)部uux,y，利用CR條件可得vvuudvdxdydxdy，xyyxx,y故虛部為vx0,y0

udxudyc；yx因?yàn)樵摲e分與路徑?jīng)]關(guān)，可選用簡單路徑（如折線）計(jì)算它，其中x0,y0與x,y是分析地區(qū)中的兩點(diǎn)。3）不定積分法：若已知實(shí)部uux,y，依據(jù)分析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和CR條件得悉，fzuivuiuxyxy將此式右端表示成z的函數(shù)Uz，因?yàn)閒z仍為分析函數(shù)，故fzUzdzc（c為實(shí)常數(shù)）注：若已知虛部v也可用近似方法求出實(shí)部u.4（六）復(fù)變函數(shù)積分的觀點(diǎn)與性質(zhì)1．復(fù)變函數(shù)積分的觀點(diǎn)：nfkzk，c是圓滑曲線。fzdzlimcn1k注：復(fù)變函數(shù)的積分實(shí)質(zhì)是復(fù)平面上的線積分。2．復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)1）2）

fzdzc1fzdz（c1與c的方向相反）；c[fzgz]dzfzdzgzdz,,是常數(shù)；ccc3）若曲線c由c1與c2連結(jié)而成，則fzdzfzdzfzdz。cc1c23．復(fù)變函數(shù)積分的一般計(jì)算法1）化為線積分：fzdzudxvdyivdxudyccc；（常用于理論證明）2）參數(shù)方法：設(shè)曲線c：zzt(t)，此中對應(yīng)曲線c的起點(diǎn)，對應(yīng)曲線c的終點(diǎn)，則fzdzf[zt]z(t)dt。c（被積函數(shù)不分析時(shí)，積分結(jié)果與路徑相關(guān)；反之，沒關(guān)）（七）對于復(fù)變函數(shù)積分的重要定理與結(jié)論1．柯西定理：設(shè)fz在單連域B內(nèi)分析，c為B內(nèi)任一閉曲線，則fzdz0c2．復(fù)合閉路定理：設(shè)fz在多連域D內(nèi)分析，c為D內(nèi)隨意一條簡單閉曲線，c1,c2,cn是c內(nèi)的簡單閉曲線，它們互不包括互不訂交，并且以c1,c2,cn為界限的地區(qū)全含于D內(nèi)，則n①②

fzdzfzdz,此中c與ck均取正向；ck1ckfzdz0，此中由c及c1(k1,2,n)所構(gòu)成的復(fù)合閉路。53．閉路變形原理：一個(gè)在地區(qū)D內(nèi)的分析函數(shù)fz沿閉曲線c的積分，不因c在D內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值，只需在變形過程中c不經(jīng)過使fz不分析的奇點(diǎn)。4．分析函數(shù)沿非閉曲線的積分：設(shè)fz在單連域B內(nèi)分析，Gz為fz在B內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)，則z2fzdzGz2Gz1(z1,z2B)z1說明：分析函數(shù)fz沿非閉曲線的積分與積分路徑?jīng)]關(guān)，計(jì)算時(shí)只需求出原函數(shù)即可。5?？挛鞣e分公式：設(shè)f(z)在簡單正向閉曲線c及其所圍地區(qū)D內(nèi)到處分析，z為D內(nèi)隨意一點(diǎn)，那么（z0)1cf(z)dzπzz02if(z)dzπ即cz02i(z0)z6．分析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：分析函數(shù)fz的導(dǎo)數(shù)仍為分析函數(shù)，它的n階導(dǎo)數(shù)為fzdz2ifnz0(n1,2)z0)n1c(zn!此中c為fz的分析地區(qū)D內(nèi)環(huán)繞z0的任何一條正向簡單閉曲線，并且它的內(nèi)部完整屬于D。7．重要結(jié)論：1dz2i,n0。（c是包括a的隨意正向簡單閉曲線）c(za)n10,n08．復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算方法1）若fz在地區(qū)D內(nèi)到處不分析，用一般積分法fzdzf[zt]ztdtc62）設(shè)fz在地區(qū)D內(nèi)分析，c是D內(nèi)一條正向簡單閉曲線，則由柯西—古薩定理，fzdz0cc是D內(nèi)的一條非閉曲線，z1,z2對應(yīng)曲線c的起點(diǎn)和終點(diǎn)，則有fzdzz2fzdzFz2Fz1z1c3）設(shè)fz在地區(qū)D內(nèi)不分析fzdz2ifz0cz曲線c內(nèi)僅有一個(gè)奇點(diǎn)：z0（f(z)在c內(nèi)分析）fz2i1dznz0c(zz0)nfn!曲線c內(nèi)有多于一個(gè)奇點(diǎn)：fzdznfzdz（ci內(nèi)只有一個(gè)奇k1cck點(diǎn)zk）或：nRes[f(z),zk]（留數(shù)基本定理）fzdz2ick1若被積函數(shù)不可以表示成fz，則須改用留數(shù)定理來計(jì)算。(zzo)n1（九）復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)1．復(fù)數(shù)列的極限1）復(fù)數(shù)列{n}{anibn}（n1,2）收斂于復(fù)數(shù)abi的充要條件為limana,limbnb（同時(shí)建立）nn2）復(fù)數(shù)列{n}收斂實(shí)數(shù)列{an},{bn}同時(shí)收斂。2．復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)1）復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)n(nanibn)收斂的充要條件是級數(shù)an與bn同n0n0n0時(shí)收斂；2）級數(shù)收斂的必需條件是

limn0。n注：復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)的斂散性能夠概括為兩個(gè)實(shí)數(shù)項(xiàng)級數(shù)的斂散性問題的議論。7（十）冪級數(shù)的斂散性1．冪級數(shù)的觀點(diǎn)：表達(dá)式2．冪級數(shù)的斂散性

cn(zz0)n或cnzn為冪級數(shù)。n0n01）冪級數(shù)的收斂定理—阿貝爾定理(Abel)：假如冪級數(shù)cnzn在n0z00處收斂，那么對知足zz0的全部z，該級數(shù)絕對收斂；如果在0處發(fā)散，那么對知足zz0的全部z，級數(shù)必發(fā)散。z2）冪級數(shù)的收斂域—圓域冪級數(shù)在收斂圓域內(nèi)，絕對收斂；在圓域外，發(fā)散；在收斂圓的圓周上可能收斂；也可能發(fā)散。3）收斂半徑的求法：收斂圓的半徑稱收斂半徑。比值法假如limcn10，則收斂半徑R1；cn根值法limcn0，則收斂半徑R1；n假如0，則R；說明在整個(gè)復(fù)平面上到處收斂；假如，則R0；說明僅在zz0或z0點(diǎn)收斂；注：若冪級數(shù)出缺項(xiàng)時(shí)，不可以直接套用公式求收斂半徑。（如cnz2n）n03．冪級數(shù)的性質(zhì)1）代數(shù)性質(zhì)：設(shè)anzn,bnzn的收斂半徑分別為R1與R2，記n0n0RminR1,R2，則當(dāng)zR時(shí)，有(anbn)znanznbnzn（線性運(yùn)算）n0n0n0(anzn)(bnzn)(anb0an1b1a0bn)zn（乘積運(yùn)算）n0n0n082）復(fù)合性質(zhì)：設(shè)當(dāng)r時(shí)，fann，當(dāng)zR時(shí)，gz分析n0且gzr，則當(dāng)zR時(shí)，f[gz]an[gz]n。n03）剖析運(yùn)算性質(zhì)：設(shè)冪級數(shù)anzn的收斂半徑為R0，則n0其和函數(shù)fzanzn是收斂圓內(nèi)的分析函數(shù)；n0在收斂圓內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)，收斂半徑不變；且fznanzn1n0zR在收斂圓內(nèi)可逐項(xiàng)求積，收斂半徑不變；zdzanzn1fz0n0n1zR（十一）冪函數(shù)的泰勒睜開1.泰勒睜開：設(shè)函數(shù)fz在圓域zz0R內(nèi)分析，則在此圓域內(nèi)fz能夠睜開成冪級數(shù)fzfnz0zz0n；并且此睜開式是唯n0n!一的。注：若fz在z0分析，則fz在z0的泰勒睜開式建立的圓域的收斂半徑Rz0a；此中R為從z0到fz的距z0近來一個(gè)奇點(diǎn)a之間的距離。2．常用函數(shù)在z00的泰勒睜開式1）ez1zn1zz2z3znzn0n!2!3!n!2）1zn1zz2znz11zn093）sinz(1)nz2n1zz3z5(1)nz2n1zn0(2n1)!3!5!(2n1)!4）cosz(1)nz2n1z2z4(1)nz2nzn0(2n)!2!4!(2n)!3．分析函數(shù)睜開成泰勒級數(shù)的方法1）直接法：直接求出cn1fnz0，于是fzcnzz0n。n!n02）間接法：利用已知函數(shù)的泰勒睜開式及冪級數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、復(fù)合運(yùn)算和逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)求積等方法將函數(shù)睜開。（十二）冪函數(shù)的洛朗睜開1.洛朗級數(shù)的觀點(diǎn)：cnzz0n，含正冪項(xiàng)和負(fù)冪項(xiàng)。n2．洛朗睜開定理：設(shè)函數(shù)fz在圓環(huán)域R1zz0R2內(nèi)到處分析，c為圓環(huán)域內(nèi)繞z0的隨意一條正向簡單閉曲線，則在此在圓環(huán)域內(nèi)，有fzcnzz0n，且睜開式獨(dú)一。n3．分析函數(shù)的洛朗睜開法：洛朗級數(shù)一般只好用間接法睜開。*4．利用洛朗級數(shù)求圍線積分：設(shè)

fz在rzz0R內(nèi)分析，c為rzz0R內(nèi)的任何一條正向簡單閉曲線，則fzdz2ic1。此中cc1為f(z)在rzz0R內(nèi)洛朗睜開式中1的系數(shù)。zz0說明：圍線積分可轉(zhuǎn)變?yōu)榍蟊环e函數(shù)的洛朗睜開式中(zz0)1的系數(shù)。留數(shù)（十三）孤立奇點(diǎn)的觀點(diǎn)與分類1。孤立奇點(diǎn)的定義：fz在z0點(diǎn)不分析,但在z0的0zz0內(nèi)10分析。2。孤立奇點(diǎn)的種類：1）可去奇點(diǎn)：睜開式中不含zz0的負(fù)冪項(xiàng)；fz0c1cz020zzz2c2）極點(diǎn)：睜開式中含有限項(xiàng)zz0的負(fù)冪項(xiàng)；fzcmc(m1)c1c0c1(zz0)c2(zz0)2gz,(zz)m(zz)m(zz)m1(zz)0000此中g(shù)zcmc(m1)(zz0)c1(zz0)m1c0(zz0)m在z0分析，且gz00,m1,cm0；3）天性奇點(diǎn)：睜開式中含無量多項(xiàng)zz0的負(fù)冪項(xiàng)；fzcmc1c0c1(zz0)cm(zz0)m(zz0)m(zz0)（十四）孤立奇點(diǎn)的鑒別方法1．可去奇點(diǎn)：limfzc0常數(shù)；zz02．極點(diǎn)：limfzzz03．天性奇點(diǎn)：limfz不存在且不為。zz04．零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系1）零點(diǎn)的觀點(diǎn)：不恒為零的分析函數(shù)fz，假如能表示成fz(zz0)mz，此中z在z0分析，z00,m為正整數(shù)，稱z0為fz的m級零點(diǎn)；2）零點(diǎn)級數(shù)判其他充要條件z0是fz的m級零點(diǎn)

ff

nz00,(n1,2,m1)mz003）零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系：z0是fz的m級零點(diǎn)z0是1的m級極點(diǎn)；fz114）重要結(jié)論若za分別是z與z的m級與n級零點(diǎn)，則za是zz的mn級零點(diǎn)；當(dāng)mn時(shí)，za是z的mn級零點(diǎn)；z當(dāng)mn時(shí)，za是z的nm級極點(diǎn)；z當(dāng)mn時(shí)，za是z的可去奇點(diǎn)；z當(dāng)mn時(shí)，za是zz的l級零點(diǎn)，lmin(m,n)當(dāng)mn時(shí)，za是zz的l級零點(diǎn)，此中l(wèi)m(n)（十五）留數(shù)的觀點(diǎn)1．留數(shù)的定義：設(shè)z0為fz的孤立奇點(diǎn)，fz在z0的去心鄰域0zz0內(nèi)分析，c為該域內(nèi)包括z的任一正向簡單閉曲線，則稱0積分1fzd為zfz在z0的留數(shù)（或殘留），記作2icRes[fz,z0]1fzdzic22．留數(shù)的計(jì)算方法若z0是fz的孤立奇點(diǎn)，則Res[fz,z]c1，此中c1為fz在0z0的去心鄰域內(nèi)洛朗睜開式中(zz0)1的系數(shù)。1）可去奇點(diǎn)處的留數(shù)：若z0是fz的可去奇點(diǎn)，則Res[fz,z]002）m級極點(diǎn)處的留數(shù)法例I若z0是fz的m級極點(diǎn)，則1dm1Res[fz,z0]limm1[(zz0)mfz](m1)!zz0dz12特別地，若z0是fz的一級極點(diǎn)，則Res[fz,z0]lim(zz0)fzzz0注：假如極點(diǎn)的實(shí)質(zhì)級數(shù)比m低，上述規(guī)則仍舊有效。法例II設(shè)fzPz，PzQzQz00,Qz0

,Qz在z0分析，Pz00,Pz,z0Pz00，則Res[]z0QzQ（十六）留數(shù)基本定理設(shè)fz在地區(qū)D內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)z1,z2,zn外到處分析，c為D內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡單閉曲線，則cfzdz2iRes[fz,zn]n1說明：留數(shù)定理把求沿簡單閉曲線積分的整體問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蟊环e函數(shù)fz在c內(nèi)各孤立奇點(diǎn)處留數(shù)的局部問題。積分變換復(fù)習(xí)綱要一、傅里葉變換的觀點(diǎn)F[f(t)]f(t)ejwtdtF(w)F1[F( )]1F( )ejtdf(t)2二、幾個(gè)常用函數(shù)的傅里葉變換F[e(t)]1jF[u(t)]1( )jF[(t)]1F[1]2( )13三、傅里葉變換的性質(zhì)位移性（時(shí)域）：F[f(tt0)]ejwt0F[f(t)]位移性（頻域）：F[ejw0tf(t)]F(w)wwwF(ww0)0位移性推論：位移性推論：

F[sinw0tf(t)]1w0)F(ww0)][F(w2jF[cosw0tf(t)]1w0)F(ww0)][F(w2微分性（時(shí)域）：F[f(t)](jw)F(w)（t,f(t)0），F(xiàn)[f(n)(t)](jw)nF(w)，t,f(n1)(t)0微分性（頻域）：F[(jt)ft]Fw,F[(jt)nf(t)]F(n)(w)相像性：1w(a0)F[f(at)]F()aa四、拉普拉斯變換的觀點(diǎn)L[f(t)]f(t)estdtF(s)0五、幾個(gè)常用函數(shù)的拉普拉斯變換L[ekt]1；skm](m1)m!1,(m1)m(m)）L[tsm1m1(m是自然數(shù))；（(1)1,( )s2L[u(t)]L[1]1；sL[(t)]1L[sinkt]k,L[coskt]ss2k2s2k2L[shkt]k,L[chkt]ss2k2s2k2設(shè)f(tT)f(t)，則L[f( )]t1Ttdt。（f(t)是以T為周期的周期1eTs( )f0函數(shù)）六、拉普拉斯變換的性質(zhì)14微分性（時(shí)域）：微分性（頻域）：

L[ft]sFsf0,L[f(t)]s2F(s)sf(0)f(0)L([)tft]Fs，L[(t)nft]F(n)s積分性（時(shí)域）：tftdt]FsL[s0積分性（頻域）：ft]Fsds（收斂）L[ts位移性（時(shí)域）：L[eatft]Fsa位移性（頻域）：L[ft]esFs（0,t0,f(t)0）1s(a0)相像性：L[f(at)]F()aa七、卷積及卷積定理f1(t)*f2(t)f1( )f2(t)dF[f1(t)f2(t)]F1(w)F2(w)F[f1(t)f2(t)]1F1(w)F2(w)2L[f1(t)f2(t)]F1(s)F2(s)八、幾個(gè)積分公式f(t)(t)dtf(0)f(t)(tt0)dtf(t0)0f(t)dtL[f(t)]dsF(s)ds15t000f(t)ektdtL[f(t)]sk15《復(fù)變函數(shù)》考試一試題一、填空題．（每題２分）１．設(shè)zr(cosisin)，則zn___________________．２．設(shè)函數(shù)f(z)u(x,y)iv(x,y)，Au0iv0，z0x0iy0，則limf(z)A的充要條件zz0______________________．３．設(shè)函數(shù)f(z)在單連通地區(qū)D內(nèi)分析，則f(z)在D內(nèi)沿隨意一條簡單閉曲線C的積分f(z)dz_________________________．C４．設(shè)za為f(z)的可去奇點(diǎn)，limf(z)____________________．za５．設(shè)f(z)z2(ez21)，則z0是f(z)的________階零點(diǎn)．６．設(shè)f(z)1，則f(z)在z0的鄰域內(nèi)的泰勒展式為_________________．1z2７．設(shè)zazab，此中a,b為正常數(shù)，則點(diǎn)z的軌跡曲線是_________________．８．設(shè)zsinicos，則z的三角表示為_________________________．1i___________________________．９．zezdz0１０．設(shè)f(z)z2sin1，則f(z)在z0處的留數(shù)為________________________．z二、計(jì)算題．１．計(jì)算以下各題．（９分）1i(3)(1i)1i(1)Ln(34i)；(2)e6;2．求解方程z320．（７分）３．設(shè)u2(x1)y，考證u是調(diào)解函數(shù)，并求分析函數(shù)f(z)uiv，使之f(2)i．（８分）1iy)ix2]dz，此中路徑為（１）自原點(diǎn)到點(diǎn)1i的直線段；４．計(jì)算積分0[(x(2)自原點(diǎn)沿虛軸到i，再由i沿水平方向向右到1i．（10分）５．試將函數(shù)f(z)1在z1的鄰域內(nèi)的泰勒睜開式．（８分）(z2)６．計(jì)算以下積分．（８分）sinzdz；z22(1)(2)dz．z2(z)2z4z2(z3)22d．（６分）７．計(jì)算積分053cos16８．求以下冪級數(shù)的收斂半徑．（６分）(1)(1i)nzn；(2)(n!)n2zn．n1n1n９．設(shè)f(z)my3nx2yi(x3lxy2)為復(fù)平面上的分析函數(shù)，試確立l，m，n的值．（６分）三、證明題．１．設(shè)函數(shù)f(z)在地區(qū)D內(nèi)分析，f(z)在地區(qū)D內(nèi)也分析，證明f(z)必為常數(shù)．（５分）２．試證明azazb0的軌跡是向來線，此中a為復(fù)常數(shù)，b為實(shí)常數(shù)．（５分）《復(fù)變函數(shù)》考試一試題參照答案一、1、rncosnisinn2、limux,yu0且limvx,yxx0xx0yy0yy03、0