蘇教版高數(shù)必修五第6講：等比數(shù)列的概念、性質(zhì)(教師版)

等比數(shù)列的概念、性質(zhì)____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________教學(xué)重點：掌握并理解等比數(shù)列的概念及性質(zhì)，通項公式的求解，等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系教學(xué)難點：理解等比數(shù)例性質(zhì)及與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系等比數(shù)列的概念一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用表示。等比數(shù)列的通項公式等比中項如果三個數(shù)組成等比數(shù)列，那么叫做和的等比中項，其中等比數(shù)列的性質(zhì)（1）公比為的等比數(shù)列的各項同乘以一個不為零的數(shù)，所得數(shù)列仍是等比數(shù)列，公比仍為（2）若，則（3）若等比數(shù)列的公比為，則是以為公比的等比數(shù)列（4）等比數(shù)列中，序號成等差數(shù)列的項構(gòu)成等比數(shù)列（5）若與均為等比數(shù)列，則也為等比數(shù)列等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系等比數(shù)列的通項公式當(dāng)且時，是一個指數(shù)函數(shù)，設(shè)則，等比數(shù)列可以看成是函數(shù)，因此，等比數(shù)列各項所對應(yīng)的點是函數(shù)的圖像上的一群孤立的點。根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，我們可以得到等比數(shù)列的增減性的下列結(jié)論：等比數(shù)列遞增或等比數(shù)列遞減或等比數(shù)列為常數(shù)列等比數(shù)列為擺動數(shù)列類型一：等比數(shù)列的判定及通項公式的求解例1.（2014重慶）對任意等比數(shù)列，下列說法一定正確的是（）A.數(shù)列不可能是等比數(shù)列B.數(shù)列（為常數(shù)）一定是等比數(shù)列C.若，則一定是等差數(shù)列D.數(shù)列是等比數(shù)列，其公比與數(shù)列的公比相等解析：A項，若數(shù)列為非-1的常數(shù)列，則是非零的常數(shù)列，顯然是公比為1的等比數(shù)列，故該選項不正確；B項，若，則，此時數(shù)列不是等比數(shù)列，所以該選項不正確；D項，因為，所以若數(shù)列為等比數(shù)列，則數(shù)列是等比數(shù)列，其公比為數(shù)列的公比的平方，所以該選項不正確，所以選C答案：C練習(xí)1.對任意等比數(shù)列，下列說法一定正確的是（）A.成等比數(shù)列B.成等比數(shù)列C.成等比數(shù)列D.成等比數(shù)列答案：D練習(xí)2.已知數(shù)列中，證明：數(shù)列是等比數(shù)列求答案：（1）數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列（2）例2.已知等比數(shù)列中，且，求解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為由得即解得或（舍去），因此所以的通項公式為答案：練習(xí)3.已知等比數(shù)列中，，求答案：練習(xí)4.若等比數(shù)列滿足則公比為（）A.2B.4C.8D.16答案：B類型二：等比數(shù)列的性質(zhì)例3.（2015廣東梅州摸底）在等比數(shù)列中，且則（）A.27B.16C.81D.36解析：設(shè)公比為由已知得因為所以解得或（舍），故答案：A練習(xí)5.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，則（）A.B.C.D.答案：A練習(xí)6.已知數(shù)列為等比數(shù)列，若則的值為（）A.10B.20C.60D.100答案：D例4.若等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且則解析：因為等比數(shù)列中，所以由可解得所以答案：50練習(xí)7.若等比數(shù)列滿足則________________答案：練習(xí)8.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若則的值是_________答案：4類型三：等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系；等差數(shù)列與等比數(shù)列的結(jié)合例5.已知等比數(shù)列中，求解析：由知等比數(shù)列的公比，設(shè)其通項公式為由已知得解得或當(dāng)時；當(dāng)時；故或答案：或練習(xí)9.已知是等差數(shù)列，公差且成等比數(shù)列，則（）A.B.C.D.答案：D練習(xí)10.設(shè)為公比的等比數(shù)列，若和是方程的兩根，則______________答案：18例6.（2015山西太原質(zhì)檢）設(shè)等差數(shù)列的公差不為0，若是與的等比中項，則（）A.2B.4C.6D.8解析：由題意得又所以即解得或（舍）答案：B練習(xí)11.各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的公比且成等差數(shù)列，則的值為（）A.B.C.D.或答案：C練習(xí)12.已知成等比數(shù)列，如果和都成等差數(shù)列，則__________答案：21.公差不為零的等差數(shù)列{an}，a2，a3，a7成等比數(shù)列，則它的公比為()A．－4B．－eq\f(1,4)C.eq\f(1,4)D．4答案：D2.若2a，b,2c成等比數(shù)列，則函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸的交點個數(shù)是(A．0B．1C．2D．0或2答案：B3.若等比數(shù)列的首項為eq\f(9,8)，末項為eq\f(1,3)，公比為eq\f(2,3)，則這個數(shù)列的項數(shù)為()A．3B．4C．5D．6答案：B4.在等比數(shù)列{an}中，a4＋a5＝10，a6＋a7＝20，則a8＋a9等于()A．90B．30C．70D．40答案：D5.對任意等比數(shù)列{an}，下列說法一定正確的是()A．a(chǎn)1，a3，a9成等比數(shù)列B．a(chǎn)2，a3，a6成等比數(shù)列C．a(chǎn)2，a4，a8成等比數(shù)列D．a(chǎn)3，a6，a9成等比數(shù)列答案：D6.等比數(shù)列{an}各項為正數(shù)，且3是a5和a6的等比中項，則a1·a2·…·a10＝()A．39B．310C．311D．312答案：B7.在等比數(shù)列{an}中，若a3a5a7a9a11＝243，則eq\f(a\o\al(2,9),a11)的值為(A．9B．1C．2D．3答案：D__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基礎(chǔ)鞏固1.已知等比數(shù)列{an}中，有a3a11＝4a7，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且b7＝a7，則b5＋b9等于(A．2B．4C．8D．16答案：C2.在等比數(shù)列{an}中，an>an＋1，且a7·a11＝6，a4＋a14＝5，則eq\f(a6,a16)等于()A.eq\f(3,2)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,6)D．6答案：A3.已知{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝eq\f(1,4)，則公比q等于()A．－eq\f(1,2)B．－2C．2D.eq\f(1,2)答案：D4.已知等比數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，則a7＝()A．64B．81C．128D．243答案：A5.如果－1，a，b，c，－9成等比數(shù)列，那么()A．b＝3，ac＝9B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9 D．b＝±3，ac＝9答案：B6.已知等比數(shù)列{an}中，a3＝3，a10＝384，則該數(shù)列的通項an＝__________.答案：3·2n－37.已知等比數(shù)列前3項為eq\f(1,2)，－eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，則其第8項是________．答案：－eq\f(1,256)8.已知等比數(shù){an}中，a1＝eq\f(1,27)，a7＝27，求an.答案：由a7＝a1q6，得27＝eq\f(1,27)·q6，∴q6＝272＝36，∴q＝±3.當(dāng)q＝3時，an＝a1qn－1＝eq\f(1,27)×3n－1＝3n－4；當(dāng)q＝－3時，an＝a1qn－1＝eq\f(1,27)×(－3)n－1＝－(－3)－3·(－3)n－1＝－(－3)n－4.故an＝3n－4或an＝－(－3)n－4.9.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a2＝1，a8＝a6＋2a4，則a6的值是________答案：410.已知等比數(shù)列{an}的公比q＝－eq\f(1,3)，則eq\f(a1＋a3＋a5＋a7,a2＋a4＋a6＋a8)等于________．答案：－311.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列．(1)若a1＋a2＋a3＝21，a1a2a3＝216，求a(2)若a3a5＝18，a4a8＝72，求公比答案：(1)∵a1a2a3＝216，∴a2＝∴a1a3＝又∵a1＋a3＝21－a2＝15，∴a1、a3是方程x2－15x＋36＝0的兩根3和12.當(dāng)a1＝3時，q＝eq\f(a2,a1)＝2，an＝3·2n－1；當(dāng)a1＝12時，q＝eq\f(1,2)，an＝12·(eq\f(1,2))n－1.(2)∵a4a8＝a3q·a5q3＝a3a5q4＝18q4＝∴q4＝4，∴q＝±eq\r(2).能力提升12.設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，那么a3·a6·a9·…·a30等于()A．210B．220C．216D．215答案：B13.如果數(shù)列{an}是等比數(shù)列，那么()A．?dāng)?shù)列{aeq\o\al(2,n)}是等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列{2an}是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列{lgan}是等比數(shù)列D．?dāng)?shù)列{nan}是等比數(shù)列答案：A14.在等比數(shù)列{an}中，公比為q，則下列結(jié)論正確的是()A．當(dāng)q>1時，{an}為遞增數(shù)列B．當(dāng)0<q<1時，{an}為遞增數(shù)列C．當(dāng)n∈N＋時，anan＋2>0成立D．當(dāng)n∈N＋時，anan＋2an＋4>0成立答案：C15.等比數(shù)列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5>a2，則an＝(A．(－2)n－1B．－(－2)n－1C．(－2)nD．－(－2)n答案：A16.各項都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比q≠1，且a2，eq\f(1,2)a3，a1成等差數(shù)列，則eq\f(a3＋a4,a4＋a5)的值為()A.eq\f(1－\r(5),2)B.eq\f(\r(5)＋1,2)C.eq\f(\r(5)－1,2)D.eq\f(\r(5)＋1,2)或eq\f(\r(5)－1,2)答案：C17.在等比數(shù)列{an}中，an>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，則a4＋a5的值為()A．16B．27C．36D．81答案：B18.若正數(shù)a，b，c依次成公比大于1的等比數(shù)列，則當(dāng)x>1時，logax，logbx，logcx()A．依次成等差數(shù)列B．依次成等比數(shù)列C．各項的倒數(shù)依次成等差數(shù)列D．各項的倒數(shù)依次成等比數(shù)列答案：C19.在8和5832之間插入5個數(shù)，使它們組成以8為首項的等比數(shù)列，則此數(shù)列的第5項是__________．答案：64820.從盛滿20L純酒精的容器里倒出1升后用水添滿，再倒出1L混合溶液，再用水添滿，這樣連續(xù)進(jìn)行，一共倒5次，這時容器里有純酒精約__________L(答案：15.521.已知2a＝3,2b＝6,2c＝12，則a，b，c(A．成等差數(shù)列不成等比數(shù)列B．成等比數(shù)列不成等差數(shù)列C．成等差數(shù)列又成等比數(shù)列D．既不成等差數(shù)列又不成等比數(shù)列答案：A22.公差不為零的等差數(shù)列{an}中，2a3－aeq\o\al(2,7)＋2a11＝0，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且b7＝a7，則b6b8＝________.答案：1623.在3和一個未知數(shù)間填上一個數(shù)，使三數(shù)成等差數(shù)列，若中間項減去6則成等比數(shù)列，則此未知數(shù)是__________．答案：3或2724.{an}為等比數(shù)列，且a1a9＝64，a3＋a7＝20，求a11答案：∵{an}為等比數(shù)列，∴a1·a9＝a3·a7＝64，又a3＋a7＝20，∴a3、a7是方程t2－20t＋64＝0的兩個根．∴a3＝4，a7＝16或a3＝16，a7＝4，當(dāng)a3＝4時，a3＋a7＝a3＋a3q4＝20，∴1＋q4＝5，∴q4＝4.當(dāng)a3＝16時，a3＋a7＝a3(1＋q4)＝20，∴1＋q4＝eq\f(5,4)，∴q4＝eq\f(1,4).∴a11＝a3q8＝64或1.25.設(shè){an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，bn＝log2an，若b1＋b2＋b3＝3，b1·b2·b3＝－3，求此等比數(shù)列的通項公式an.答案：由b1＋b2＋b3＝3，得log2(a1·a2·a3)＝3，∴a1·a2·a3＝23＝8，∵aeq\o\al(2,2)＝a1·a3，∴a2＝2，又b1·b2·b3＝－3，設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，得log2(eq\f(2,q))·log2(2q)＝－3.∴1－(log2q)2＝－3，∴l(xiāng)og2q＝±2.解得q＝4或eq\f(1,4)，∴所求等比數(shù)列{an}的通項公式為an＝a2·qn－2＝22n－3或an＝25－2n.26.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S3＝aeq\o\al(2,2)，且S1，S2，S4成等比數(shù)列，求{an}的通項公式．答案：設(shè){an}的公差為d.由S3＝aeq\o\al(2,2)，得3a2＝aeq\o\al(2,2)，故a2＝0或a2＝3.由S1，S2，S4成等比數(shù)列得Seq\o\al(2,2)＝S1S4.又S1＝a2－d，S2＝2a2－d，S4＝4a2＋2故(2a2－d)2＝(a2－d)(4a2＋2d若a2＝0，則d2＝－2d2，所以d＝0，此時Sn＝0，不合題意；若a2＝3，則(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)，解得d＝0或d＝2.因此{(lán)an}的通項公式為an＝3或an＝2n－1.27.在等比數(shù)列{an}中，(1)若a4＝27，q＝－3，求a7；(2)若a2＝18，a4＝8，求a1和q；(3)若a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3.答案：(1)∵a4＝a1q3，∴a1＝eq\f(a4,q3)＝eq\f(27,－27)＝－1.∴a7＝a1q6＝－(－3)6＝－729.(2)由已知，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q＝18,a1q3＝8