高中數(shù)學(xué)第二章隨機變量及其分布2.3獨立重復(fù)試驗與二項分布學(xué)案新人教A版選修2-

獨立重復(fù)試驗與二項分布導(dǎo)思1.怎樣描述n次獨立重復(fù)試驗？2.二項分布是怎樣得出的？怎樣利用獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布解決一些簡單的實際問題？1.獨立重復(fù)試驗一般地，在相同條件下重復(fù)做的n次試驗稱為n次獨立重復(fù)試驗．要研究拋擲硬幣結(jié)果的規(guī)律，需做大量的擲硬幣試驗．其前提是什么？提示：條件相同．2．二項分布前提在n次獨立重復(fù)試驗中字母的含義X事件A發(fā)生的次數(shù)p每次試驗中事件A發(fā)生的概率分布列P(X＝k)＝Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(n))pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n結(jié)論隨機變量X服從二項分布記法記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率(1)二項分布與超幾何分布分別是怎樣得出的？提示：由古典概型得出超幾何分布，由獨立重復(fù)試驗得出二項分布．(2)二項分布與超幾何分布的明顯區(qū)別是什么？提示：在產(chǎn)品抽樣檢驗中，如果采用有放回地抽樣，則次品數(shù)服從二項分布；如果采用不放回地抽樣，則次品數(shù)服從超幾何分布．(3)二項分布與超幾何分布有何聯(lián)系？提示：在實際工作中，抽樣一般都采用不放回方式，因此在計算次品數(shù)為k的概率時應(yīng)該用超幾何分布，但是超幾何分布的數(shù)值涉及抽樣次數(shù)和一個概率值，計算相對復(fù)雜，并且二項分布的計算可以查專門的數(shù)表，所以，當產(chǎn)品總數(shù)很大而抽樣數(shù)不太大時，不放回抽樣可以認為是有放回抽樣，計算超幾何分布可以用計算二項分布來代替．1．辨析記憶(對的打“√”，錯的打“×”)(1)有放回地抽樣試驗是獨立重復(fù)試驗．(√)提示：因為有放回的試驗是在相同的條件下重復(fù)進行的試驗，所以它是獨立重復(fù)試驗．(2)在n次獨立重復(fù)試驗中，各次試驗的結(jié)果相互沒有影響．(√)提示：由獨立重復(fù)試驗的定義可知：在n次獨立重復(fù)試驗中，各次試驗的結(jié)果相互沒有影響．(3)在n次獨立重復(fù)試驗中，各次試驗中事件發(fā)生的概率可以不同．(×)提示：由獨立重復(fù)試驗的定義可知：在n次獨立重復(fù)試驗中，各次試驗中事件發(fā)生的概率是相同的．(4)如果在1次試驗中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率P(X＝k)＝Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(n))pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.(√)提示：由獨立重復(fù)試驗的概率公式可知，該命題正確．2．下列試驗為獨立性重復(fù)試驗的是()(1)依次投擲四枚質(zhì)地不同的硬幣，3次正面向上；(2)某人射擊，擊中目標的概率是穩(wěn)定的，他連續(xù)射擊了10次，其中6次擊中；(3)口袋裝有5個白球，3個紅球，2個黑球，從中依次抽取5個球，恰好抽出4個白球．A．(1)B．(2)C．(3)D．都不是【解析】選C.(1)由于試驗的條件不同(質(zhì)地不同)，因此不是獨立重復(fù)試驗．(2)某人射擊擊中的概率是穩(wěn)定的，因此是獨立性重復(fù)試驗．(3)每次抽取，試驗的結(jié)果有三種不同的顏色，且每種顏色出現(xiàn)的可能性不相等，因此不是獨立性重復(fù)試驗．3．(教材例題改編)某籃球運動員在比賽時罰球命中率為90%，則他在3次罰球中罰失1次的概率是________．【解析】設(shè)隨機變量X表示“3次罰球命中的次數(shù)”，則X～B(3，0.9)，所以他在3次罰球中罰失1次的概率為P(X＝2)＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))2×(1－0.9)＝0.243.答案：類型一求獨立重復(fù)試驗的概率(直觀想象、數(shù)學(xué)運算)1．某學(xué)校成立了A，B，C三個課外學(xué)習(xí)小組，每位學(xué)生只能申請進入其中一個學(xué)習(xí)小組學(xué)習(xí)．申請其中任意一個學(xué)習(xí)小組是等可能的，則該校的任意4位學(xué)生中，恰有2人申請A學(xué)習(xí)小組的概率是()A．eq\f(3,64)B．eq\f(3,32)C．eq\f(4,27)D．eq\f(8,27)【解析】選D.設(shè)每位學(xué)生申請課外學(xué)習(xí)小組為一次試驗，這是4次獨立重復(fù)試驗，記“申請A學(xué)習(xí)小組”為事件A，則P(A)＝eq\f(1,3)，由獨立重復(fù)試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率計算公式可知，恰有2人申請A學(xué)習(xí)小組的概率是Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(8,27).2．現(xiàn)有4個人去參加某娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇．為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲，擲出點數(shù)為1或2的人去參加甲游戲，擲出點數(shù)大于2的人去參加乙游戲．(1)求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率．(2)求這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率．【解析】依題意，這4個人中，每個人去參加甲游戲的概率為eq\f(1,3)，去參加乙游戲的概率為eq\f(2,3).設(shè)“這4個人中恰有i人去參加甲游戲”為事件Ai(i＝0，1，2，3，4)，則P(Ai)＝Ceq\o\al(\s\up1(i),\s\do1(4))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(i)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(4－i).(1)這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率為P(A2)＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(8,27).(2)設(shè)“這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)”為事件B，則B＝A3∪A4.由于A3與A4互斥，故P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)×eq\f(2,3)＋Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(4)＝eq\f(1,9).所以，這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率為eq\f(1,9).獨立重復(fù)試驗概率求法的三個步驟(1)判斷：依據(jù)n次獨立重復(fù)試驗的特征，判斷所給試驗是否為獨立重復(fù)試驗．(2)分拆：判斷所求事件是否需要分拆．(3)計算：就每個事件依據(jù)n次獨立重復(fù)試驗的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式計算．類型二二項分布(直觀想象、數(shù)學(xué)運算)【典例】某公司招聘員工，先由兩位專家面試，若兩位專家都同意通過，則視作通過初審予以錄用；若這兩位專家都未同意通過，則視作未通過初審不予錄用；當這兩位專家意見不一致時，再由第三位專家進行復(fù)審，若能通過復(fù)審則予以錄用，否則不予錄用．設(shè)應(yīng)聘人員獲得每位初審專家通過的概率均為eq\f(1,2)，復(fù)審能通過的概率為eq\f(3,10)，各專家評審的結(jié)果相互獨立．(1)求某應(yīng)聘人員被錄用的概率；(2)若4人應(yīng)聘，設(shè)X為被錄用的人數(shù)，試求隨機變量X的分布列．四步內(nèi)容理解題意條件：已知初審和復(fù)審?fù)ㄟ^的概率．結(jié)論：被錄用的概率；隨機變量X的分布列．思路探求解答本題可根據(jù)二項分布的概率計算方法解答，同時注意互斥事件概率公式的應(yīng)用．書寫表達設(shè)“兩位專家都同意通過”為事件A，“只有一位專家同意通過”為事件B，“通過復(fù)審”為事件C.(1)設(shè)“某應(yīng)聘人員被錄用”為事件D，則D＝A∪BC，因為P(A)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，P(B)＝2×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(1,2)，P(C)＝eq\f(3,10)，所以P(D)＝P(A∪BC)＝P(A)＋P(B)P(C)＝eq\f(2,5).(2)根據(jù)題意，X＝0，1，2，3，4，且X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(2,5)))，Ai表示“應(yīng)聘的4人中恰有i人被錄用”(i＝0，1，2，3，4)，因為P(A0)＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(4))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(4)＝eq\f(81,625)，P(A1)＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))×eq\f(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(3)＝eq\f(216,625)，P(A2)＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(2)＝eq\f(216,625)，P(A3)＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(3)×eq\f(3,5)＝eq\f(96,625)，P(A4)＝Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(0)＝eq\f(16,625).所以X的分布列為：注意書寫的規(guī)范性：①設(shè)“某應(yīng)聘人員被錄用”為事件D，則D＝A∪BC.②正確求出概率的值是求隨機變量X的分布列的關(guān)鍵．題后反思本例屬于二項分布，當X服從二項分布時，應(yīng)弄清X～B(n，p)中的試驗次數(shù)n與成功概率p.二項分布中需要注意的問題和關(guān)注點(1)當X服從二項分布時，應(yīng)弄清X～B(n，p)中的試驗次數(shù)n與成功概率p.(2)解決二項分布問題的兩個關(guān)注點①對于公式P(X＝k)＝Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(n))pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)，必須在滿足“獨立重復(fù)試驗”時才能應(yīng)用，否則不能應(yīng)用該公式．②判斷一個隨機變量是否服從二項分布，關(guān)鍵有兩點：一是對立性，即一次試驗中，事件發(fā)生與否兩者必有其一；二是重復(fù)性，即試驗是獨立重復(fù)地進行了n次．1．在某校籃球隊的首輪選拔測試中，參加測試的五名同學(xué)的投籃命中率分別為eq\f(3,5)，eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，eq\f(1,3)，每人均有10次投籃機會，至少投中6次才能晉級下一輪測試，假設(shè)每人每次投籃相互獨立，則晉級下一輪的人數(shù)大約為()A．2人B．3人C．4人D．5人【解析】選B.5名同學(xué)投籃各10次，相當于做了10次獨立重復(fù)事件，他們投中的次數(shù)服從二項分布，則他們投中的期望分別為10·eq\f(3,5)＝6，10·eq\f(1,2)＝5<6，10·eq\f(2,3)>6，10·eq\f(3,4)>6，10·eq\f(1,3)<6，故晉級下一輪大約有3人．2．甲、乙兩人各射擊一次擊中目標的概率分別是eq\f(2,3)和eq\f(3,4)，假設(shè)兩人射擊是否擊中目標，相互之間沒有影響，每次射擊是否擊中目標，相互之間也沒有影響．(1)求甲射擊4次，至少1次未擊中目標的概率．(2)求兩人各射擊4次，甲恰好擊中目標2次且乙恰好擊中目標3次的概率．(3)假設(shè)某人連續(xù)2次未擊中目標，則射擊停止，問：乙恰好射擊5次后中止射擊的概率是多少？【解析】設(shè)甲、乙兩人各射擊一次擊中目標分別記為A，B，則P(A)＝eq\f(2,3)，P(B)＝eq\f(3,4).(1)甲射擊4次，全擊中目標的概率為Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\s\up12(0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(4)＝eq\f(16,81).所以甲射擊4次至少1次未擊中目標的概率為P＝1－eq\f(16,81)＝eq\f(65,81).(2)甲、乙各射擊4次，甲恰好擊中2次，概率為Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\s\up12(2)＝6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(8,27).乙恰好擊中3次，概率為Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＝eq\f(27,64).所以概率為eq\f(8,27)×eq\f(27,64)＝eq\f(1,8).(3)乙射擊5次后，中止射擊，第3次擊中，第4，5次不中，而1，2次至少1次擊中目標，所以所求概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(3)＝eq\f(45,1024).類型三二項分布的綜合應(yīng)用(數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算)與二項分布有關(guān)的應(yīng)用問題【典例】某校有關(guān)研究性學(xué)習(xí)小組進行一種驗證性試驗，已知該種試驗每次成功的概率為eq\f(1,2).(1)求他們做了5次這種試驗至少有2次成功的概率．(2)如果在若干次試驗中，累計有兩次成功就停止試驗，求該小組做了5次試驗就停止試驗的概率．【思路導(dǎo)引】(1)注意已知中5次試驗的條件以及成功率，因而判斷是否符合二項分布；(2)注意為何做了5次試驗才停止．【解析】(1)設(shè)5次試驗中，只成功一次為事件A，一次都不成功為事件B，至少2次成功為事件C，則P(C)＝1－P(A∪B)＝1－P(A)－P(B)＝1－Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(5)－Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(5))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(5)＝eq\f(13,16).所以5次試驗至少2次成功的概率為eq\f(13,16).(2)該小組做了5次試驗后停止，所以前4次有且只有一次成功，且第5次成功．設(shè)該事件為D，則P(D)＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8).所以做了5次試驗就停止的概率為eq\f(1,8).可轉(zhuǎn)化為與二項分布有關(guān)的應(yīng)用問題【典例】甲、乙兩隊參加世博會知識競賽，每隊3人，每人回答一個問題，答對者為本隊贏得一分，答錯者得零分．假設(shè)甲隊中每人答對的概率均為eq\f(2,3)，乙隊中每人答對的概率分別為eq\f(2,3)，eq\f(2,3)，eq\f(1,2)，且各人答對正確與否相互之間沒有影響．用ξ表示甲隊的總得分．(1)求隨機變量ξ的分布列．(2)用A表示“甲、乙兩個隊總得分之和等于3”這一事件，用B表示“甲隊總得分大于乙隊總得分”這一事件，求P(AB).【思路導(dǎo)引】(1)可用二項分布的概率公式求出，(2)可把AB劃分為兩個互斥事件．【解析】(1)由已知，甲隊中3人回答問題相當于3次獨立重復(fù)試驗，所以ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,3))).P(ξ＝0)＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(3))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,27)，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(2,9)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(4,9)，P(ξ＝3)＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(8,27)，所以ξ的分布列為ξ0123Peq\f(1,27)eq\f(2,9)eq\f(4,9)eq\f(8,27)(2)用C表示“甲得2分乙得1分”這一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”這一事件，AB＝C∪D，C，D互斥．P(C)＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×(eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2))＝eq\f(10,81).P(D)＝eq\f(8,27)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(4,243).所以P(AB)＝P(C)＋P(D)＝eq\f(10,81)＋eq\f(4,243)＝eq\f(34,243).(1)二項分布的簡單應(yīng)用是求n次獨立重復(fù)試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率．解題的一般思路是：根據(jù)題意設(shè)出隨機變量→分析出隨機變量服從二項分布→找到參數(shù)n，p→寫出二項分布的分布列→將k值代入求解概率．(2)利用二項分布求解“至少”“至多”問題的概率，其實質(zhì)是求在某一取值范圍內(nèi)的概率，一般轉(zhuǎn)化為幾個互斥事件發(fā)生的概率的和，或者利用對立事件求概率．1．學(xué)校游園活動有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有3個白球、2個黑球，乙箱子里裝有1個白球、2個黑球，這些球除顏色外完全相同．每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個球，若摸出的白球不少于2個，則獲獎(每次游戲結(jié)束后將球放回原箱).(1)求在1次游戲中，①摸出3個白球的概率；②獲獎的概率；(2)求在2次游戲中獲獎次數(shù)X的分布列．【解析】(1)①設(shè)“在1次游戲中摸出i個白球”為事件Ai(i＝0，1，2，3)，則P(A3)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)))·eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)))＝eq\f(1,5).②設(shè)“在1次游戲中獲獎”為事件B，則B＝A2∪A3.又P(A2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)))·eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)))＋eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)))·eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)))＝eq\f(1,2)，且A2，A3互斥，所以P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,5)＝eq\f(7,10).(2)由題意可知，X的所有可能取值為0，1，2，則P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,10)))eq\s\up12(2)＝eq\f(9,100)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))×eq\f(7,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,10)))＝eq\f(21,50)，P(X＝2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,10)))eq\s\up12(2)＝eq\f(49,100).所以X的分布列為X012Peq\f(9,100)eq\f(21,50)eq\f(49,100)2.某學(xué)生在上學(xué)路上要經(jīng)過4個路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是eq\f(1,3)，遇到紅燈時停留的時間都是2min.(1)求這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個路口時首次遇到紅燈的概率；(2)求這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時間至多是4min的概率．【解析】(1)記“這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個路口時首次遇到紅燈”為事件A.因為事件A等價于事件“這名學(xué)生在第一和第二個路口都沒有遇到紅燈，在第三個路口遇到紅燈”，所以事件A發(fā)生的概率為：P(A)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\f(1,3)＝eq\f(4,27).(2)記“這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時間至多是4min”為事件B，“這名學(xué)生在上學(xué)路上遇到k次紅燈”為事件Bk(k＝0，1，2，3，4).由題意，得P(B0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(4)＝eq\f(16,81)，P(B1)＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(32,81)，P(B2)＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(8,27).由于事件B等價于事件“這名學(xué)生在上學(xué)路上至多遇到2次紅燈”，所以事件B發(fā)生的概率為P(B)＝P(B0)＋P(B1)＋P(B2)＝eq\f(8,9).1．某學(xué)生通過英語聽力測試的概率為eq\f(1,3)，他連續(xù)測試3次，那么其中恰有1次獲得通過的概率是()A．eq\f(2,9)B．eq\f(4,9)C．eq\f(4,27)D．eq\f(2,27)【解析】選B.記“恰有1次獲得通過”為事件A，則P(A)＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\