直線與平面平行的判定和性質(zhì)經(jīng)典練習(xí)及詳細(xì)答案詳解

直線與平面平行的判定和性質(zhì)經(jīng)典練習(xí)及詳細(xì)答案詳解

1.正確命題是：若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點。2.不能判斷兩個平面平行的是：①一個平面內(nèi)的一條直線平行于另一個平面；②一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面；③一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個平面。3.假命題是：①若m⊥α，m⊥n，則n∥α；②若m∥α，n∥α，則m∥n；④若m、n與α所成的角相等，則m∥n。4.真命題的個數(shù)是2，分別是命題①和命題③。5.必要而不充分。6.bα，a//b。7.平面α內(nèi)無數(shù)條直線與a平行。8.bα。9.無法確定。11.b//α的條件是b與α內(nèi)任意一條直線都平行。中，平面P經(jīng)過BC、B1C1兩點，交AB于點D，交A1B1于點E，交AC于點F，交A1C1于點G.證明：DEFG為矩形.連接EF、DG，易證EF∥DG，且DG=2EF.又∵P經(jīng)過BC、B1C1兩點，∴P平行于平面ABC、A1B1C1，且P與平面ABD、A1B1E相交于直線DE.∴DE、EF、DG均在平面P內(nèi)，且DE∥EF，DG∥EF，∴DEFG為平行四邊形，又DG=2EF，∴DEFG為矩形.在平面幾何中，有許多基礎(chǔ)性的定理和性質(zhì)需要掌握。下面將對兩道典型的題目進(jìn)行解答，并對其中的錯誤和問題進(jìn)行修改和改寫。1.已知三角形ABC中，BF與CE交于點G，且AG平分∠BAC，證明：BG/CG=AB/AC。解：首先，根據(jù)角平分線定理，AG平分∠BAC，則BG/CG=AB/AC。因此，我們只需要證明BF與CE交于點G即可。假設(shè)BF與CE不交于點G，而是交于點H，則根據(jù)帕斯卡定理可知，點A、B、C、E、F、H六點共線，與題目中的三角形ABC矛盾。因此，假設(shè)不成立，BF與CE交于點G，證畢。2.如圖所示，在四面體ABCD中，平面EFG與平面ABCD交于直線GH，證明：GH平分∠AGD。解：首先，我們需要明確一下題目中的圖形，四面體ABCD是一個三維圖形，平面EFG與平面ABCD的交線GH是一條直線。因此，我們需要運(yùn)用空間幾何中的定理和性質(zhì)進(jìn)行證明。由于GH是平面EFG與平面ABCD的交線，因此GH同時在平面EFG和平面ABCD上。又因為GH交于點G，所以我們只需要證明∠AGH=∠DGH即可證明GH平分∠AGD。根據(jù)平行線之間的夾角定理可知，平面EFG與平面ABCD平行，則∠EGB=∠DGC。又因為GH是平面EFG與平面ABCD的交線，所以GH同時在平面EGB和平面DGC上。因此，我們可以得到∠GHB=∠GDC。又因為ABCD是四面體，所以∠AGD=180°-∠BGC。因此，我們可以得到：∠AGH=∠BGH-∠BGA=∠BGH-(∠BGC-∠DGC)=∠BGH-∠DGC∠DGH=∠CGH-∠CGD=∠BGH-∠DGC因此，∠AGH=∠DGH，即GH平分∠AGD，證畢。根據(jù)圖中所示，有平面α∥平面β，點A∈α，C∈α，點B∈β，D∈β，點E，F(xiàn)分別在線段AB，CD上，且AE∶EB=CF∶FD。（1）要證明EF∥β；（2）如果E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，AC=4，BD=6，且AC，BD所成的角為60°，求EF的長度。（1）證明兩個平行平面同時與第三個平面相交，則交線平行；平行線分線段成比例方法①當(dāng)AB，CD在同一平面內(nèi)時，由α∥β，平面α∩平面ABDC=AC，平面β∩平面ABDC=BD，∴AC∥BD，因為AE∶EB=CF∶FD，∴EF∥BD，又EFβ，BDβ，∴EF∥β。方法②當(dāng)AB與CD異面時，設(shè)平面ACD∩β=DH，且DH=AC。因為α∥β，α∩平面ACDH=AC，∴AC∥DH，∴四邊形ACDH是平行四邊形，在AH上取一點G，使AG∶GH=CF∶FD，又因為AE∶EB=CF∶FD，∴GF∥HD，EG∥BH，又EG∩GF=G，∴平面EFG∥平面β。因為EF平面EFG，∴EF∥β。綜上，EF∥β。（2）解三角形中位線如圖所示，連接AD，取AD的中點M，連接ME，MF。因為E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，∴ME∥BD，MF∥AC，且ME=BD=3，MF=AC=2，∴∠EMF為AC與BD所成的角（或其補(bǔ)角），∴∠EMF=60°或120°，∴在△EFM中由余弦定理得，12121EF=ME2+MF2?2ME?MF?cos∠EMF=32+22±2×3×2×=13±6，2即EF=7或EF=19。20.正方形ABCD與正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一點P、Q，且AP=DQ。要證明：PQ∥平面BCE。證明方法一：平行四邊形的性質(zhì)如圖所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，連接MN。因為正方形ABCD和正方形ABEF有公共邊AB，∴AE=BD。又因為AP=DQ，∴PE=QB，又因為PM∥AB∥QN，∴QNBQPMPEPMQN=，，，∴PM=QN，DCBDABDCABAE∴四邊形PMNQ為平行四邊形，∴PQ∥MN。又MN平面BCE，PQ平面BCE，∴PQ∥平面BCE。方法二：相似三角形的性質(zhì)如圖所示，連接AQ，并延長交BC于K，連接EK，因為AE=BD，AP=DQ，∴PE=BQ，∴APDQ=PEBQ①所以PB=BC=PC=13，又∵PM∶MA=BN∶ND=5∶8，∴PM