工程力學(xué)-剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程

6剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程

剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量6.1剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程設(shè)剛體繞定軸z以角速度ω

轉(zhuǎn)動(dòng)，角加速度為ε。假設(shè)剛體是由無(wú)數(shù)個(gè)質(zhì)點(diǎn)所組成的，對(duì)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)，可根據(jù)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程：令I(lǐng)z＝Σmiri2

稱(chēng)為剛體對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,于是得xyzFy1Fy2FnF1F2MiriFx2Fx1Fz2

剛體對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積，等于作用于剛體上的外力對(duì)該軸之矩的代數(shù)和。以上各式均稱(chēng)為剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程。應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程可以解決動(dòng)力學(xué)兩類(lèi)問(wèn)題?；?/p>

在應(yīng)用上式進(jìn)行計(jì)算的過(guò)程中，注意此式只適用于單個(gè)物體，如果是一個(gè)物體系統(tǒng)，必須將其分開(kāi)來(lái)進(jìn)行研究。

由前知，剛體對(duì)軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義為：剛體上所有質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與該質(zhì)點(diǎn)到軸z

的垂直距離的平方乘積的算術(shù)和。即對(duì)于質(zhì)量連續(xù)分布的剛體，上式可寫(xiě)成積分形式

由定義可知，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不僅與質(zhì)量有關(guān)，而且與質(zhì)量的分布有關(guān)；在國(guó)際單位制中，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的單位是:kg·m2。同一剛體對(duì)不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是不同的，而它對(duì)某定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量卻是常數(shù)。因此在談及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)，必須指明它是對(duì)哪一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。6.2剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1.均質(zhì)細(xì)桿6.2.1簡(jiǎn)單形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量z1dxxxCzdxxxOl

設(shè)均質(zhì)細(xì)桿長(zhǎng)l，質(zhì)量為m，取微段dx,則2.均質(zhì)薄圓環(huán)對(duì)于中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)細(xì)圓環(huán)的質(zhì)量為m，半徑為R。則3.均質(zhì)圓板對(duì)于中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)圓板的質(zhì)量為m，半徑為R。將圓板分為無(wú)數(shù)同心的薄圓環(huán)，任一圓環(huán)的質(zhì)量為dm＝r·2prdr,r＝m/pR2,于是圓板轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

在工程上常用回轉(zhuǎn)半徑來(lái)計(jì)算剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，其定義為如果已知回轉(zhuǎn)半徑，則物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

回轉(zhuǎn)半徑的幾何意義是：假想地將物體的質(zhì)量集中到一點(diǎn)處，并保持物體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不變，則該點(diǎn)到軸的距離就等于回轉(zhuǎn)半徑的長(zhǎng)度。對(duì)于幾何形狀相同的均質(zhì)物體，其回轉(zhuǎn)半徑相同。6.2.2回轉(zhuǎn)半徑(慣性半徑)定理：剛體對(duì)于任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于剛體對(duì)于通過(guò)質(zhì)心、并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積，即6.2.3平行移軸定理z1dxxxCzdxxxOl例1如圖所示，已知均質(zhì)桿的質(zhì)量為m，對(duì)Z1軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I1，求桿對(duì)Z2的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I2

。解：由，得(1)－(2)得