空間向量與立體幾何測(cè)試題

空間向量與立體幾何測(cè)試題

空間向量與立體幾何測(cè)試題1.空間的一個(gè)基底確定的平面?zhèn)€數(shù)為（）。A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)以上2.已知點(diǎn)A(1,2,-1)關(guān)于平面xOy的對(duì)稱點(diǎn)為B，而點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C，則向量BC的坐標(biāo)為（）。A.(0,4,2)B.(0,-4,-2)C.(0,4,0)D.(2,-4,2)3.已知向量a=(x1,y1,z1)，b=(x2,y2,z2)，且a≠b，設(shè)a-b=R，則向量a-b與x軸夾角的余弦值為（）。A.(x1-x2)/RB.(x2-x1)/RC.(x1-x2)/RD.±(x1-x2)/R4.若向量MA,MB,MC互不重合且無(wú)三點(diǎn)共線，O是空間任一點(diǎn)，則能使MA=MB+MC成立的點(diǎn)O滿足（）。A.OM=OA+OB+OCB.MA≠M(fèi)B+MCC.OM=OA+OB+OCD.MA=2MB-MC5.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是線段A1B1的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到平面ABC1D1的距離為（）。A.1/√3B.√3/2C.√2/3D.3/√26.一條長(zhǎng)為a的線段，夾在互相垂直的兩個(gè)平面之間，它和這兩個(gè)平面所成的角分別是45°和30°，由這條線段兩端向兩平面的交線引垂線，垂足的距離是（）。A.3a/2B.2a/√2C.a/√2D.2a/√37.若向量a與b的夾角為60°，b=4，(a+2b)(a-3b)=-72，則向量a的長(zhǎng)度為（）。A.2B.4C.6D.128.設(shè)P是60°的二面角α-l-β內(nèi)一點(diǎn)，PA⊥平面α，PB⊥平面β，A，B為垂足，PA=4，PB=2，則線段AB的長(zhǎng)度為（）。A.4√5B.2√5C.5D.5√29.二面角P-AD-C為60°，PD⊥AD，PD=AD=2，ABCD為正方形，P為平面ABCD外一點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面AB的距離為（）。A.2√2B.3C.2D.710.已知向量p=(x,y,z)，向量q=(a,b,c)且xyz≠0，abc≠0，若有等式(x^2+y^2+z^2)(a^2+b^2+c^2)=(ax+by+cz)^2成立，則向量p和q之間的關(guān)系是（）。A.平行B.垂直C.相交D.以上都可能11．已知平面α與β所成二面角為80°，P為α，β外一定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P一條直線與α，β所成的角都是30°，則這樣的直線有且僅有（）A．1條B．2條C．3條D．4條答案：B解析：過(guò)點(diǎn)P的直線只能與α和β各相交一次，因?yàn)槿绻c其中一個(gè)平面相交兩次，那么與另一個(gè)平面的夾角就不是30°了。所以直線與α和β各相交一次，共兩條。12．如圖1，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB平面α，點(diǎn)P為α內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且∠APB=∠DPC，則P點(diǎn)AB=2BC=2CD=4，的軌跡為（）A．直線B．圓C．橢圓D．雙曲線答案：B解析：連接AC，由題意可知∠APC=∠BPD=90°，所以四邊形APCB是一個(gè)圓。又因?yàn)锳B∥CD，所以AP=2PD，PC=2PB，所以P點(diǎn)在圓的直徑上，即軌跡為直線。13．已知a=(1-t,1-t,t)，b=(2,t,t)，則b-a的最小值是答案：√2解析：b-a=(1+t,t-1,0)，所以|b-a|=√[(1+t)2+(t-1)2]=√(2t2+2)。當(dāng)t=1時(shí)，|b-a|=√2，為最小值。14．在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，向量BA1與向量AC所成的角為。答案：π/4解析：由于ABCD-A1B1C1D1是正方體，所以BA1與AC平面垂直于ABCD面，所以它們的夾角等于它們?cè)贏BCD面上的投影的夾角，即直角三角形ABC中的∠BAC，因?yàn)锳B=AC=a，BC=a√2，所以sin∠BAC=BC/AC=√2/2，所以∠BAC=π/4。15．如圖2，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，若AD與平面AAC1C所成的角為α，則sinα=。答案：1/√3解析：由于AD∥CC1，所以AD與平面AAC1C的夾角等于AD與平面ABC的夾角，又因?yàn)锳B=1，BD=1，所以AD=√3，且∠ABD=120°，所以三角形ABD是等邊三角形，所以∠ADB=∠ABD=120°。又因?yàn)锳D與平面ABC的夾角等于∠ADB減去ABC的補(bǔ)角，所以α=60°，所以sinα=1/√3。16．已知m，l是異面直線，那么：①必存在平面α過(guò)m且與l平行；②必存在平面β過(guò)m且與l垂直；③必存在平面γ與m，l都垂直；④必存在平面δ與m，l距離都相等。其中正確命題的序號(hào)是答案：①、③解析：①顯然成立，因?yàn)榭梢匀的一個(gè)點(diǎn)作為平面α的一點(diǎn)，然后取l上的一點(diǎn)作為平面α的另一個(gè)點(diǎn)，這樣就可以確定一個(gè)平面與l平行。②不成立，因?yàn)槿绻矫姒屡cl垂直，那么它也與m垂直，與m與l異面矛盾。③顯然成立，可以取m上的一點(diǎn)作為平面γ的一點(diǎn)，然后取l上的一點(diǎn)作為平面γ的法向量，這樣就可以確定一個(gè)平面與m，l都垂直。④不成立，因?yàn)槿绻矫姒呐cm，l距離相等，那么它們的交線應(yīng)該與m，l的距離相等，這與m，l是異面矛盾。17．設(shè)空間兩個(gè)不同的單位向量a=(x,y1,，0)，b=(x2,y2,0)與向量c=(111)，，的夾角都等于π/2。答案：x1x2+y1y2=0解析：設(shè)a與c的夾角為α，b與c的夾角為β，由于a和b都是單位向量，所以有a·a=1，b·b=1，c·c=1，又因?yàn)閍與c垂直，所以a·c=0，同理b·c=0，所以有以下四個(gè)方程：x1+y1=0x2+y2=0x1x2+y1y2=0x12+y12=1x22+y22=1解方程組得x1x2+y1y2=0。18．如圖3，已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，底面ABCD是直角梯形，∠ADC是直角，AB∥CD，AB=4，AD=2，DC=1，求異面直線BC1與DC成角的大小。答案：cosθ=5/9解析：設(shè)異面直線BC1與DC的交點(diǎn)為E，連接AE，DE，由于底面ABCD是直角梯形，所以∠ADC=90°，所以四面體AEDC是直角四面體，所以DE2=AD2+DC2=5。又因?yàn)锳B∥CD，所以∠AEB=∠DEC，所以四面體AEBE1和四面體DEC1E是相似的，所以BE/DE=AE/CE1，即BE/(√5/2)=2/(1+CE1)，又因?yàn)锳B=4，AD=2，所以BC1=2√5/3，CE1=3/2，代入上式得BE=5/9√5，所以cosθ=BE/BC1=5/9。19．如圖4，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)，問(wèn)AE等于何值時(shí)，二面角D1-EC-D的大小為π/4。答案：AE=√2-1解析：設(shè)∠D1EC=θ，∠AED1=α，由于二面角D1-EC-D的大小為π/4，所以cosθ=cos(π/4)=1/√2，又因?yàn)椤螪1EC=π/2，所以sinθ=1/√2，所以tanθ=1，即CE=DE，又因?yàn)锳B∥CD，所以∠ADE=∠BCE，所以四邊形ABCE是平行四邊形，所以AE=BC=√[(AB+CE)2+AE2]=√(5-2√2)，所以AE=√2-1。20．如圖5所示的多面體是由底面為ABCD的長(zhǎng)方體被截面AEC1F所截而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1。（1）求BF；（2）求點(diǎn)C到平面AEC1F的距離。答案：（1）BF=3；（2）點(diǎn)C到平面AEC1F的距離為√10/2。解析：（1）連接BF，CF，由于ABCD是長(zhǎng)方體，所以BF=DC1=3。（2）設(shè)點(diǎn)P為點(diǎn)C在平面AEC1F上的投影，連接AP，BP，CP，由于ABCD是長(zhǎng)方體，所以AP=BD=√(42+22)=2√5，BP=AC1=√(32+12)=√10，所以∠APB=π/2，所以點(diǎn)P在直線AB上，又因?yàn)椤螩1AE=∠C1EF，所以四邊形AEC1F是平行四邊形，所以PC1=AE=√(22+12)=√5，所以C1P=√(CC12-PC12)=√(8-5)=√3，所以點(diǎn)C到平面AEC1F的距離為BP·C1P/BF=√10/2。21．如圖6，在三棱錐P-ABC中，ABBC，AB=BC=kPA，點(diǎn)O，D分別是AC，PC的中點(diǎn)，OP底面ABC。（1）求證：OD∥平面PAB；（2）當(dāng)k=2時(shí)，求直線PA與平面PBC所成角的大?。唬?）當(dāng)k為何值時(shí)，O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心？OB=b，OC=c，可構(gòu)成空間向量的一組基底。答案：（1）連接AD，BD，由于OD是AC，BD的中垂線，所以O(shè)D∥AB，又因?yàn)锳BBC，所以O(shè)D∥平面PAB；（2）由于ABBC，所以kPA2=PA2+AB2=PA2+k2PA2，所以PA=k√2，PC=k√2/2，由于OP底面ABC，所以O(shè)P是底面ABC的中垂線，所以BP=CP，又因?yàn)椤螧PC=π/2，所以BP=CP=k√3/2，所以cos∠PBC=BP/PC=k√3/2·2/√2=k√3/2，所以∠PBC=π/6；（3）設(shè)O在平面PBC內(nèi)的射影為H，由于OP底面ABC，所以O(shè)H=OP·sin∠PBC=k√2/2·√3/2=k√6/4，又因?yàn)镠是△PBC的重心，所以O(shè)H=2/3PH，所以PH=3k√6/8，又因?yàn)镺是AC，BD的中點(diǎn)，所以O(shè)H=OD/2，所以O(shè)D=3k√6/8，又因?yàn)镺D平行于平面PAB，所以O(shè)D的長(zhǎng)度等于平面PAB到點(diǎn)O的距離，所以3k√6/8=2k/√2，解得k=√6。面六面體OADB-CAD1B1是否為正六面體。首先，需要對(duì)文章進(jìn)行格式修正和刪除明顯有問(wèn)題的段落。修正后的文章如下：給定向量a=(a1,a2,a3)，b=(b1,b2,b3)，c=(c1,c2,c3)，在向量已有的運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上，新定義一種運(yùn)算a×b=(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)，顯然a×b的結(jié)果仍為一向量，記作p。(1)求證：向量p為平面OAB的法向量；(2)求證：以O(shè)A，OB為邊的平行四邊形OADB的面積等于a×b；(3)將四邊形OADB按向量OC=c平移，得到一個(gè)平行六面體OADB-CAD1B1，試判斷平面六面體OADB-CAD1B1是否為正六面體。接下來(lái)，對(duì)每段話進(jìn)行小幅度的改寫(xiě)，使其更加易懂。給定向量a、b、c，定義向量叉乘運(yùn)算a×b=(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)，結(jié)果記作p。顯然，向量p仍為一向量。(1)求證：向量p為平面OAB的法向量。證明：向量a、b在平面OAB上，因此它們的叉積p垂直于平面OAB。即p為平面OAB的法向量。(2)求證：以O(shè)A，OB為邊的平行四邊形OADB的面積等于a×b。證明：平行四邊形OADB的面積為底邊OA與高h(yuǎn)的乘積，其中h為OA在向量p上的投影長(zhǎng)度。由于p垂直于OA，因此h為p的模長(zhǎng)與OA的模長(zhǎng)的乘積，即|h|=|p|×|OA|。又因?yàn)閜=a×b，因此|h|=|a×b|×|OA|。將其代入面積公式得到：S=|OA|×|a×b|，即以O(shè)A，OB為邊的平行四邊形OADB的面積等于a×b。(3)將四邊形OADB按向量OC=c平移，得到一個(gè)平行六面體OADB-CAD1B1，試判斷平面六面體OADB-CAD1B1是否為正六面體。判斷：由于平行六面體的六個(gè)面都是平行四邊形，因此只需要證明平行六面體的相鄰三個(gè)面的面積相等即可。設(shè)向量AD=a，向量BD=b，向量CD1=d，則平行六面體的三組相鄰面為：OADB和OAD1B1，OADB和OCAB，OADB和OD1C