第十四章-第2講-坐標(biāo)系與參數(shù)方程

考試要求1.坐標(biāo)系的有關(guān)概念(A級(jí)要求)，極坐標(biāo)及方程的互化，參數(shù)方程和普通方程的互化(B級(jí)要求)；2.高考中對(duì)本講的考查以解答題為主，難度中等.預(yù)計(jì)高考中以極坐標(biāo)、參數(shù)方程化為普通方程為主，注重基本運(yùn)算及極坐標(biāo)、參數(shù)方程的運(yùn)用.第2講坐標(biāo)系與參數(shù)方程知

識(shí)

梳

理1.平面直角坐標(biāo)系2.極坐標(biāo)系 (1)極坐標(biāo)與極坐標(biāo)系的概念

在平面上取一個(gè)定點(diǎn)O，自點(diǎn)O引一條射線Ox，同時(shí)確定一個(gè)長(zhǎng)度單位和計(jì)算角度的正方向(通常取逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎较?，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系.點(diǎn)O稱為極點(diǎn)，射線Ox稱為極軸.平面內(nèi)任一點(diǎn)M的位置可以由線段OM的長(zhǎng)度ρ和從射線Ox到射線極徑OM的角度θ來(lái)刻畫(huà)(如圖所示).這兩個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)對(duì)(ρ，θ)稱為點(diǎn)M的極坐標(biāo).ρ稱為點(diǎn)M的______，θ稱為點(diǎn)M的______.由極徑的意義可知ρ≥0.當(dāng)極角θ的取值范圍是[0，2π)時(shí)，平面上的點(diǎn)(除去極點(diǎn))就與極坐標(biāo)(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.我們?cè)O(shè)定，極點(diǎn)的極坐標(biāo)中，極徑ρ＝0，極角θ可取任意角.極角(2)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化設(shè)M為平面內(nèi)的一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)為(x，y)，極坐標(biāo)為(ρ，θ).由圖可知下面關(guān)系式成立：這就是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式.3.常見(jiàn)曲線的極坐標(biāo)方程ρ＝r(0≤θ<2π)2rcosθρ＝2rsinθ(0≤θ<π)ρsinθ＝a(0<θ<π)4.參數(shù)方程和普通方程的互化 (1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式.一般地，可以_____________從參數(shù)方程得到普通方程.通過(guò)消去參數(shù)5.常見(jiàn)曲線的參數(shù)方程和普通方程x2＋y2＝r2診

斷

自

測(cè)∴過(guò)點(diǎn)(0，2)且與x軸平行的直線方程為y＝2.即為ρsinθ＝2.解因?yàn)榍€C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ，所以曲線C是圓心為(2，0)，直徑為4的圓.所以A為直線l與圓C的一個(gè)交點(diǎn).直線l2的方程為y＝－2x＋1，斜率為－2.考點(diǎn)一極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化、參數(shù)方程與普通方程的互化【例1－1】(1)以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求線段y＝1－x(0≤x≤1)的極坐標(biāo)方程； (2)在極坐標(biāo)系中，曲線C1和C2的方程分別為ρsin2θ＝cosθ和ρsinθ＝1.以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的非負(fù)半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求曲線C1和C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo).∴y＝1－x化成極坐標(biāo)方程為ρcosθ＋ρsinθ＝1，∵0≤x≤1，∴線段在第一象限內(nèi)(含端點(diǎn))，規(guī)律方法(1)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的前提條件：①極點(diǎn)與原點(diǎn)重合；②極軸與x軸的正半軸重合；③取相同的單位長(zhǎng)度.(2)直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程比較容易，只要運(yùn)用公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入并化簡(jiǎn)即可；而極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程則相對(duì)困難一些，解此類問(wèn)題常通過(guò)變形，構(gòu)造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，進(jìn)行整體代換.(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程；(2)若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2)，求l的斜率.當(dāng)cosα≠0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為y＝tanα·x＋2－tanα，當(dāng)cosα＝0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為x＝1.(2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.

①因?yàn)榍€C截直線l所得線段的中點(diǎn)(1，2)在C內(nèi)，所以①有兩個(gè)解，設(shè)為t1，t2.則t1＋t2＝0.故2cosα＋sinα＝0，于是直線l的斜率k＝tanα＝－2.規(guī)律方法

消去參數(shù)的方法一般有三種(1)利用解方程的技巧求出參數(shù)的表示式，然后代入消去參數(shù)；(2)利用三角恒等式消去參數(shù)；(3)根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征，靈活的選用一些方法從整體上消去參數(shù).將參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，要注意防止變量x和y取值范圍的擴(kuò)大或縮小，必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定函數(shù)f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范圍.【訓(xùn)練1】

在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為(x＋6)2＋y2＝25. (1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C的極坐標(biāo)方程；解

(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圓C的極坐標(biāo)方程ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.(2)在(1)中建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為θ＝α(ρ∈R).設(shè)A，B所對(duì)應(yīng)的極徑分別為ρ1，ρ2，將l的極坐標(biāo)方程代入C的極坐標(biāo)方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.考點(diǎn)二求曲線的極坐標(biāo)方程【例2】

在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1：x＝－2，圓C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (1)求C1，C2的極坐標(biāo)方程；解(1)因?yàn)閤＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的極坐標(biāo)方程為ρcosθ＝－2，C2的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.由于C2的半徑為1，則易得△C2MN為直角三角形，規(guī)律方法

求曲線的極坐標(biāo)方程的步驟(1)建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，設(shè)P(ρ，θ)是曲線上任意一點(diǎn).(2)由曲線上的點(diǎn)所適合的條件，列出曲線上任意一點(diǎn)的極徑ρ和極角θ之間的關(guān)系式.(3)將列出的關(guān)系式進(jìn)行整理、化簡(jiǎn)，得出曲線的極坐標(biāo)方程.所以圓C的圓心坐標(biāo)為(1，0).于是圓C過(guò)極點(diǎn)，所以圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cosθ.考點(diǎn)三參數(shù)方程的應(yīng)用(1)求α的取值范圍；(2)求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程.解(1)⊙O的普通方程為x2＋y2＝1.解得k<－1或k>1，規(guī)律方法(1)已知極坐標(biāo)系方程討論位置關(guān)系時(shí)，可以先化為直角坐標(biāo)方程.(2)在曲線的方程進(jìn)行互化時(shí)，一定要注意變量的范圍，注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性.(1)寫(xiě)出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)P在C1上，點(diǎn)Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時(shí)P的直角坐標(biāo).所以ρsinθ＋ρcosθ＝4.因此曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x＋y－4＝0.因?yàn)镃2是直線，所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d(α)的最小值.考點(diǎn)四極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的綜合應(yīng)用解

法一直線l的參數(shù)方程化為普通方程得4x