第二講效用函數(shù)

第二講效用函數(shù)第1頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月對效用的理解:《最好吃的東西》兔子和貓爭論，世界上什么東西最好吃。兔子說，“世界上蘿卜最好吃。蘿卜又甜又脆又解渴，我一想起蘿卜就要流口水。”貓不同意，說，“世界上最好吃的東西是老鼠。老鼠的肉非常嫩，嚼起來又酥又松，味道美極了！”兔子和貓爭論不休、相持不下，跑去請猴子評理。猴子聽了，不由得大笑起來：“瞧你們這兩個傻瓜蛋，連這點(diǎn)兒常識都不懂！世界上最好吃的東西是什么？是桃子！桃子不但美味可口，而且長得漂亮。我每天做夢都夢見吃桃子?！蓖米雍拓埪犃耍贾睋u頭。那么，世界上到底什么東西最好吃？以上的故事說明效用完全是個人的心理感覺。不同的偏好決定了對同一種商品效用大小的不同評價。第2頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月圣彼得堡悖論

(St.PetersburgParadox/game)

圣彼得堡悖論是數(shù)學(xué)家丹尼爾·伯努利（DanielBernoulli）的表兄尼古拉·伯努利(NicolausBernoulli)在1738提出的一個概率期望值悖論，它來自于一種擲幣游戲，即圣彼得堡游戲(表1)。問題：你愿意花100元來參加一次圣彼得堡游戲嗎？第3頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月§2.1

理性行為公理問題： 某公司擬推出一種新產(chǎn)品，經(jīng)預(yù)測該產(chǎn)品在市場看好的情況下，可以獲利10萬；在市場前景較差時，將虧損1萬元。市場看好和較差的概率分別為0.6和0.4，是否推出該新產(chǎn)品？ 若另有一產(chǎn)品可穩(wěn)獲利2萬元，推出哪種產(chǎn)品更好？ 這是一個隨機(jī)決策問題。第4頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月§2.1

理性行為公理 在隨機(jī)決策中，決策系統(tǒng)中的決策方案均是在狀態(tài)空間背景中加以比較，并按照某種規(guī)則，選出決策者最滿意的行動方案。 在本章中，我們用事態(tài)體表示在隨機(jī)性狀態(tài)空間中的行動方案，方案的比較表示為事態(tài)體的比較，并引入效用的概念，用以衡量事態(tài)體（行動方案）的優(yōu)劣。第5頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月§2.1

理性行為公理2.1.1事態(tài)體及其關(guān)系1．事態(tài)體的概念

定義2.1

具有兩種或兩種以上有限個可能結(jié)果的方案（或事情），稱為事態(tài)體。 事態(tài)體中各可能結(jié)果出現(xiàn)的概率是已知的。 事態(tài)體即隨機(jī)性狀態(tài)空間中的行動方案。第6頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月1．事態(tài)體的概念 設(shè)某事態(tài)體的n個可能結(jié)果為：

o1,o2,…,on

各結(jié)果出現(xiàn)的概率是相應(yīng)為：

p1,p2,…,pn

則該事態(tài)體記為：

T＝（p1,o1；p2,o2；…；pn,on）特別當(dāng)n＝2時，稱T為簡單事態(tài)體，此時

T＝（p,o1；1－p,o2）第7頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月1．事態(tài)體的概念 事態(tài)體可以用樹形圖表示如下：Tp1p2︰︰︰pno1o2︰︰︰on當(dāng)n＝2時：pT1-po1o2第8頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月事態(tài)體集合?的性質(zhì)①在凸線性組合下，?是閉集。即： 若T1∈?，T2∈?，則當(dāng)0≤λ≤1時，有

λT1＋(1－λ)T2∈?

兩個事態(tài)體的凸線性組合仍是一個事態(tài)體。②T＝(0,o1；0,o2；…；1,oj；…；0,on)∈? 稱T為退化事態(tài)體。

退化事態(tài)體仍屬于事態(tài)體集合。第9頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月2．事態(tài)體的比較定義2.2

設(shè)o1，o2是事態(tài)體T的任意兩個結(jié)果值，根據(jù)決策目標(biāo)和決策者偏好，o1和o2有如下關(guān)系：①若偏好結(jié)果值o1，則稱o1優(yōu)于o2，記作o1o2；反之，稱o1劣于o2，記作o1

o2。②若對結(jié)果值o1,o2無所偏好，則稱o1無差異于o2，記作o1～o2。③若不偏好結(jié)果值o1，則稱o1不優(yōu)于o2，記作o1?o2；反之，稱o1不劣于o2，記作o1

?o2。第10頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月2．事態(tài)體的比較定義2.3

設(shè)兩個簡單事態(tài)體T1，T2具有相同的結(jié)果值o1，o2，即：T1＝（p1,o1；1－p1,o2） T2＝（p2,o1；1－p2,o2） 并假定o1o2，則：①若p1＝p2，稱事態(tài)體T1無差異于T2，記作T1～T2。②若p1＞p2，稱事態(tài)體T1優(yōu)于T2，記作T1T2；反之，稱事態(tài)體T1劣于T2，記作T1

T2。第11頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月2．事態(tài)體的比較定義2.4

設(shè)兩個簡單事態(tài)體T1，T2僅具有一個相同結(jié)果值，另一個結(jié)果值不相同，即： T1＝（p1,o1；1－p1,o0） T2＝（p2,o2；1－p2,o0） 且o2

o1o0，①若p1≤p2，則事態(tài)體T2優(yōu)于T1，記作T2T1。②若T1～T2，則必有p1＞p2。第12頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月§2.1

理性行為公理2.1.2理性行為公理公理2.l（連通性，可比性）

事態(tài)體集合?上事態(tài)體的優(yōu)劣關(guān)系是連通的。即若 T1，T2∈? 則或者T1T2，或者T2T1，或者T1～T2，三者必居其一。表示任意兩個事態(tài)體都是可以比較其優(yōu)劣的！第13頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月§2.1

理性行為公理2.1.2理性行為公理公理2.2（傳遞性）

事態(tài)體集合?上事態(tài)體的優(yōu)劣關(guān)系是傳遞的。即若 T1、T2、T3∈?，且T1T2，T2T3，則必有 T1T3。 表示任意多個事態(tài)體的優(yōu)劣是可以排序的（若有些事態(tài)體無差異，可排在同一位置。）

滿足公理2.1和公理2.2的事態(tài)體集合稱為全序集。

第14頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月§2.1

理性行為公理2.1.2理性行為公理公理2.3（復(fù)合保序性，替代性）

若 T1，T2，Q∈?，且0＜p＜1，則T1T2當(dāng)且僅當(dāng)

pT1＋(1－p)Q

pT2＋(1－p)Q。 表示任意事態(tài)體的優(yōu)劣關(guān)系是可以復(fù)合的，復(fù)合后的事態(tài)體保持原有的優(yōu)劣關(guān)系不變。第15頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月§2.1

理性行為公理2.1.2理性行為公理公理2.4（相對有序性，連續(xù)性，偏好的有界性）

若 T1，T2，T3∈?，且T1T2T3則存在數(shù)p，q，0＜p＜l，0＜q＜1，使得：

pT1＋(1－p)T3

T2

qT1＋(1－q)T3

表示任意事態(tài)體都不是無限優(yōu)，也不是無限劣。第16頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月§2.1

理性行為公理2.1.3事態(tài)體的基本性質(zhì)性質(zhì)2.1

設(shè)事態(tài)體

T1＝（p,o1；1－p,o0） T2＝（x,o2；1－x,o0） 且 o1o0，

o2o0，若o2o1 則存在 x=p’＜p 使得

T1～T2 稱x為可調(diào)概率值。第17頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月§2.1

理性行為公理2.1.3事態(tài)體的基本性質(zhì)性質(zhì)2.2（確定當(dāng)量和無差異概率）

設(shè)事態(tài)體T＝（x,o1；1－x,o2）且o1o2。則對于滿足優(yōu)劣關(guān)系o1oξ

o2的任意結(jié)果值oξ，必存在x＝p（0＜p＜l），使得

T＝（p,o1；1－p,o2）～oξ 稱結(jié)果值oξ為事態(tài)體T的確定當(dāng)量，稱p為oξ關(guān)于o1與o2的無差異概率。第18頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月2.1.3事態(tài)體的基本性質(zhì)性質(zhì)2.3

任一事態(tài)體無差異于一個簡單事態(tài)體。 設(shè)有事態(tài)體T＝（p1,o1；p2,o2；…；pn,on）則必存在一個簡單事態(tài)體

T’＝（p’,o*；1－p’,o0

）～T其中： o*?max{o1,o2,…,on} o0?min{o1,o2,…,on}且：這里，qj(j=1,2,…,n)為oj關(guān)于o*與o0的無差異概率。第19頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月2.1.3事態(tài)體的基本性質(zhì)根據(jù)性質(zhì)2.3

比較一般事態(tài)體之間的優(yōu)劣關(guān)系，可以轉(zhuǎn)化為比較簡單事態(tài)體之間的優(yōu)劣關(guān)系（將問題簡化）

得到事態(tài)體之間兩兩的優(yōu)劣或無差異關(guān)系后，再根據(jù)公理2.2（傳遞性）即可得到所討論事態(tài)體的排序。第20頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月§2.2

效用函數(shù)的定義和構(gòu)造 設(shè)有決策系統(tǒng)，在離散情況下，結(jié)果值可以表示為決策矩陣：第21頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月§2.2

效用函數(shù)的定義和構(gòu)造 矩陣O的第i行表示第i個可行方案的n個可能結(jié)果值，即事態(tài)體

Ti＝（p1,oi1；p2,oi2；…；pn,oin）

(i=1,2,…,m)

決策就是要對這m個事態(tài)體進(jìn)行排序。 由第一節(jié)中的性質(zhì)2.3知，存在簡單事態(tài)體T’，使得

Ti’＝（pi’,o*；1－pi’,o0

）～Ti

問題又化為對這m個簡單事態(tài)體Ti’進(jìn)行排序。第22頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月§2.2

效用函數(shù)的定義和構(gòu)造

Ti’＝（pi’,o*；1－pi’,o0

）～Ti

注意到這m個簡單事態(tài)體Ti’具有相同的結(jié)果值o*、o0

，根據(jù)定義2.3，其優(yōu)劣關(guān)系可以由比較pi’的大小決定。 根據(jù)性質(zhì)2.3qjj是結(jié)果值oij關(guān)于o*與o0的無差異概率。其中： o*?o0?第23頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月§2.2

效用函數(shù)的定義和構(gòu)造2.2.1效用和效用函數(shù)的概念效用的概念定義2.5

設(shè)決策問題的各可行方案有多種可能的結(jié)果值o，依據(jù)決策者的主觀愿望和價值傾向，每個結(jié)果值對決策者均有不同的價值和作用。反映結(jié)果值o對決策者的價值和作用大小的量值稱為效用。第24頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月§2.2

效用函數(shù)的定義和構(gòu)造2.2.1效用和效用函數(shù)的概念效用函數(shù)的概念定義2.6 若在事態(tài)體集合?上存在實值函數(shù)u，有：(1)對任意的T1、T2∈?，T1T2當(dāng)且僅當(dāng)u(T1)>u(T2)(2)對任意的T1、T2∈?，且0≤λ≤1，有u[λT1＋(1－λ)T2]=λu(T1)＋(1－λ)u(T2) 則稱u(T)為定義在?上的效用函數(shù)。第25頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2.1效用和效用函數(shù)的概念估計效用函數(shù)的方法（1）標(biāo)準(zhǔn)效用測定法(概率當(dāng)量法，V－M法)思路：對于給定的結(jié)果值，測定其效用值。 設(shè)有決策系統(tǒng)（Ω，A，F(xiàn)），其結(jié)果值集合為： O＝（o1,o2,…,on）記： o*?max{o1,o2,…,on} o0?min{o1,o2,…,on}

對于每一個結(jié)果值oj都存在一個概率值pj，使得 oj～（pj,o*；1－pj,o0）

pj就可以作為結(jié)果值oj的效用值。第26頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2.1效用和效用函數(shù)的概念（1）標(biāo)準(zhǔn)效用測定法(概率當(dāng)量法，V－M法)步驟①設(shè)u(o*)=1，u(o0)=0；②建立簡單事態(tài)體（x,o*；1-x,o0），其中x稱為可調(diào)概率；③通過反復(fù)提問，不斷改變可調(diào)概率值x，讓決策者權(quán)衡比較，直至當(dāng)x=pj時

oj～（pj,o*；1－pj,o0）④測得結(jié)果值oj的效用

u(oj)=pj=pju(o*)＋(1－pj)u(o0)第27頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2.1效用和效用函數(shù)的概念估計效用函數(shù)的方法（2）確定當(dāng)量法(修正的V－M法)思路：對于給定的效用值，測定其結(jié)果值。步驟①設(shè)u(o*)=1，u(o0)=0；②對于給定的效用值pj，構(gòu)造簡單事態(tài)體 （pj,o*；1－pj,o0）③通過反復(fù)提問，不斷改變結(jié)果值oξ

，讓決策者權(quán)衡比較，直至當(dāng)oξ=oj時

oj～（pj,o*；1－pj,o0）④得效用值pj對應(yīng)的結(jié)果值為oj，即u(oj)=pj。第28頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2.2效用函數(shù)的構(gòu)造 介紹一種實用的效用函數(shù)的構(gòu)造方法?；舅悸?/p>

對于決策問題的結(jié)果值集合，先用確定當(dāng)量法找出一個基準(zhǔn)效用值，即效用值等于0.5的結(jié)果值，稱為確定當(dāng)量oξ。其余效用值不再測定，而是按比例用線性內(nèi)插的方法，用同一個標(biāo)準(zhǔn)計算得到。第29頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2.2效用函數(shù)的構(gòu)造方法 設(shè)決策問題結(jié)果值集合為： O＝（o1,o2,…,on）①取

o*?max{o1,o2,…,on} o0?min{o1,o2,…,on}

并令u(o*)=1，u(o0)=0；②構(gòu)造簡單事態(tài)體（0.5,o*；0.5,o0），用確定當(dāng)量法找到該事態(tài)體的確定當(dāng)量oξ，使得： oξ～（0.5,o*；0.5,o0）第30頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2.2效用函數(shù)的構(gòu)造方法③對結(jié)果值進(jìn)行歸一化處理，記歸一化的結(jié)果值為x(oj)

則：x*=x(o*)=1，x0=x(o0)=0，0≤x(oj)≤1④記確定當(dāng)量oξ的歸一化值為ε，也記為x0.5第31頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月得到經(jīng)歸一化變換后的效用曲線上的三個點(diǎn)： （0,0）,（ε,0.5）,（1,1）ux011ε0.5第32頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2.2效用函數(shù)的構(gòu)造方法⑤在新區(qū)間[0,ε]和[ε,1]按同樣方法插入點(diǎn)（x0.25,0.25）和（x0.75,0.75），保持比例關(guān)系計算得：第33頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月效用曲線上新增兩個點(diǎn)： （ε2,0.25）,（2ε－ε2,0.75）ux011ε0.50.25ε20.752ε－ε2第34頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月⑥若認(rèn)為點(diǎn)數(shù)太少，效用曲線不夠精確，可繼續(xù)按同樣方法在新產(chǎn)生的區(qū)間內(nèi)插入效用中點(diǎn)，直到產(chǎn)生足夠的點(diǎn)為止。若在效用區(qū)間[0,1]中插入2n個分點(diǎn)：記相應(yīng)的歸一化的結(jié)果值為△k，有：第35頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2.3效用與風(fēng)險的關(guān)系在風(fēng)險型或不確定型決策問題中，決策者選擇方案幾乎都要承擔(dān)一定的風(fēng)險，不同的決策者對風(fēng)險的態(tài)度是有區(qū)別的。效用表示了決策者對決策方案各結(jié)果值的偏好程度，也反映了不同類型的決策者對風(fēng)險的不同態(tài)度。因此從不同類型的效用函數(shù)可以看出決策者對風(fēng)險的不同態(tài)度。第36頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2.3效用與風(fēng)險的關(guān)系中立型效用函數(shù)

設(shè)有效用函數(shù)u=u(x)，若對xl＜x2，有則稱該效用函數(shù)為中立型。其效用曲線是一條直線。中立型效用函數(shù)的效用值和結(jié)果值成正比例，因此可以用結(jié)果值直接評選方案。第37頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2.3效用與風(fēng)險的關(guān)系保守型效用函數(shù)

設(shè)有效用函數(shù)u=u(x)，若對xl＜x2，有則稱該效用函數(shù)為保守型。其效用曲線是一條上凸曲線，表示效用值隨結(jié)果值的增加而增加，但增加的速度逐漸由快至慢。反映了決策者隨結(jié)果值增加越來越謹(jǐn)慎，對風(fēng)險持厭惡態(tài)度。第38頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2.3效用與風(fēng)險的關(guān)系冒進(jìn)型效用函數(shù)

設(shè)有效用函數(shù)u=u(x)，若對xl＜x2，有則稱該效用函數(shù)為冒進(jìn)型。其效用曲線是一條下凸曲線，表示效用值隨結(jié)果值的增加而增加，且增加的速度越來越快。反映了決策者隨結(jié)果值增加越來越敢于冒險追求高額回報的態(tài)度。第39頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2.3效用與風(fēng)險的關(guān)系ux110中立型效用函數(shù)保守型效用函數(shù)冒進(jìn)型效用函數(shù)第40頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2.3效用與風(fēng)險的關(guān)系混合型效用函數(shù) 三種基本效用函數(shù)的混合，如：ux110混合型效用函數(shù)表示當(dāng)x＜x0時，即結(jié)果值不大時，決策者具有一定冒險精神；當(dāng)x＞x0時，即結(jié)果值較大時，決策者對風(fēng)險轉(zhuǎn)而持謹(jǐn)慎態(tài)度。x0第41頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月2.3效用函數(shù)表一、效用函數(shù)表的構(gòu)造 實際構(gòu)造效用函數(shù)時，取n=6定出效用曲線上的26（64）個點(diǎn)，效用函數(shù)的精度已經(jīng)足夠。 書后附表6給出了n=6對于不同的權(quán)衡指標(biāo)值ε(ε<0.5)的效用函數(shù)值。ε<0.5時，對應(yīng)的是保守（上凸）型效用函數(shù)，效用函數(shù)值可直接查表。ε>0.5時，對應(yīng)的是冒進(jìn)（下凸）型效用函數(shù)，效用函數(shù)值無法直接查表。第42頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月2.3效用函數(shù)表一、效用函數(shù)表的構(gòu)造可以證明：

ε>0.5的效用曲線u(x)與ε’=1－ε的效用曲線u’(x)是關(guān)于直線u=x對稱的。因此，ε>0.5的效用函數(shù)值可以按下面的方法求得：u(x)＝1－u’(1－x)具體步驟見教材P62。注：查表時在給定的ε列若沒有對應(yīng)的x值，則找出與之相鄰的兩個值x1、x2，查出對應(yīng)的效用值后用線性內(nèi)插的方法確定u(x)。第43頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月2.3效用函數(shù)表二、效用函數(shù)表的使用例2.1某企業(yè)欲投產(chǎn)一種新產(chǎn)品，有三種方案可供選擇。已知市場存在三種狀態(tài)：暢銷、一般、滯銷，三種方案在不同的市場狀態(tài)下所獲利潤額構(gòu)成以下的決策矩陣：決策者認(rèn)為：oξ＝4.5～（0.5,20；0.5,－5）第44頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.1試求該企業(yè)決策者的效用矩陣。解：o*?max{oij}＝20， o0?min{oij}＝－5

u(o*)=1， u(o0)=0將決策矩陣的結(jié)果值歸一化：得歸一化后的決策矩陣為：第45頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.1試求該企業(yè)決策者的效用矩陣。由 oξ＝4.5～（0.5,20；0.5,－5）得：查P369附表6，ε＝0.38所在列，以x22＝0.5為例：0.490621＜x22＝0.5

＜0.503698而 u(0.490621)＝0.65625，u(0.503698)＝0.671875用線性內(nèi)插法：解得u(x22)＝0.6675。第46頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.1試求該企業(yè)決策者的效用矩陣。同理得：u(x11)＝0.7300，u(x12)＝0.6091，

u(x13)＝0.4306，u(x31)＝0.8742

u(x32)＝0.5596，u(x33)＝0.2068且 u(x21)＝u(o*)=1，u(x23)＝u(o0)=0得決策者的效用矩陣為：第47頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.2在上例中，若決策者認(rèn)為：

oξ＝11.25～（0.5,20；0.5,－5）

試求該企業(yè)決策者的效用矩陣。

解：同上例方法得歸一化后的決策矩陣為：第48頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.2

由 oξ＝11.25～（0.5,20；0.5,－5）得：查P369附表6，ε’＝1-0.65=0.35所在列，以x32＝0.44為例，

u(x32)＝1－u’(1－x32)＝1－u’(0.56)： 0.53689＜0.56

＜0.5775而 u(0.53689)＝0.734375，u(0.5775)＝0.75用線性內(nèi)插法解得u’(0.56)＝0.7433，因此：

u(x32)＝1－u’(0.56)＝0.2567第49頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.2

同理得：u(x11)＝0.3819，u(x12)＝0.2598，

u(x13)＝0.1271，u(x22)＝0.2920

u(x31)＝0.5725，u(x33)＝0.0251且 u(x21)＝u(o*)=1，u(x23)＝u(o0)=0得決策者的效用矩陣為：第50頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月§2.4

效用函數(shù)的曲線擬合

前面討論了針對特定的結(jié)果值，如何測定其效用，我們得到的只是一些離散的效用值，要得到連續(xù)的效用函數(shù)，則需要用曲線擬合的方法。常見的擬合曲線形式線性函數(shù)型

u(x)＝c1＋a1（x－c2） 其中c1、a1、c2為待定參數(shù)。

前面查表時用內(nèi)插法確定某些效用值，實際上就相當(dāng)于效用函數(shù)為分段線性函數(shù)。第51頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月§2.4

效用函數(shù)的曲線擬合常見的擬合曲線形式指數(shù)函數(shù)型其中ci、ai（i＝1，2，3）均為待定參數(shù)。雙指數(shù)函數(shù)型指數(shù)加線性函數(shù)型第52頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月§2.4