遼寧省遼陽(yáng)市弓長(zhǎng)嶺區(qū)湯河學(xué)校2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

遼寧省遼陽(yáng)市弓長(zhǎng)嶺區(qū)湯河學(xué)校2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.某多面體的三視圖如圖所示，則該多面體各面的面積中最大的是（）A．1 B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；立體幾何．【分析】作出幾何體的直觀圖，根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征計(jì)算各個(gè)面的面積．【解答】解：由三視圖可知該幾何體為底面為正方形的四棱錐P﹣ABCD，P在底面的投影E在DA的延長(zhǎng)線上，且PE=AE=AD=CD=1，∴S△PAD==，S底面ABCD=1×1=1，PA==，PD==，PF==，∴S△PCD==，S△PAB==．S△PBC==．∴在四棱錐的五個(gè)面中，△PCD的面積最大．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征和三視圖，作出棱錐的直觀圖是解題關(guān)鍵．2.下列命題錯(cuò)誤的是（

）A.命題“若，則”的逆否命題為“若，則”B.若：，.則：，.C.若復(fù)合命題：“”為假命題，則，均為假命題D.“”是“”的充分不必要條件參考答案：C【分析】對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)逐一分析得解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,命題“若，則”的逆否命題為“若，則”是真命題，故選項(xiàng)A是正確的；對(duì)于選項(xiàng)B,若：，.則：，.是真命題，故選項(xiàng)B是正確的；對(duì)于選項(xiàng)C,若復(fù)合命題：“”為假命題，則，至少有一個(gè)為假命題，所以該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，故選項(xiàng)C是錯(cuò)誤的；對(duì)于選項(xiàng)D,因?yàn)?，所以或，所以“”是“”的充分不必要條件，故選項(xiàng)D是正確的.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查逆否命題和特稱命題的否定，考查復(fù)合命題的真假和充分不必要條件，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.3.將一顆骰子擲兩次,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),并記第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為m,第二次出現(xiàn)的點(diǎn)為

n,向量=(m,n),=(3,6),則向量與共線的概率為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D略4.設(shè)，則

(

)A．

B．C．

D．參考答案：C略5.已知函數(shù)，對(duì)于曲線上橫坐標(biāo)成等差數(shù)列的三個(gè)點(diǎn)A、B、C，給出以下四個(gè)判斷:①△ABC一定是鈍角三角形；②△ABC可能是直角三角形；③△ABC可能是等腰三角形；④△ABC不可能是等腰三角形.其中正確的判斷是（）A．①③

B．①④

C．②③

D．②④參考答案：B6.設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（

）(A) (B) (C)

(D)參考答案：C略7.

參考答案：C略8.的值為（

） A．1 B． C．-1 D．參考答案：B因?yàn)?，所以選B.9.函數(shù)的圖象大致是（

）參考答案：D10.已知函數(shù)f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1﹣x（a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若對(duì)任意給定的x0∈（0，e]，在（0，e]上總存在兩個(gè)不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，則a的取值范圍是（）A．（﹣∞，] B．（﹣∞，]C．（，2） D．[，）參考答案：A【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】根據(jù)若對(duì)任意給定的x0∈（0，e]，在區(qū)間（0，e]上總存在兩個(gè)不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，得到函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上不單調(diào)，從而求得a的取值范圍．【解答】解：∵g'（x）=（1﹣x）e1﹣x，∴g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，e]上單調(diào)遞減，又因?yàn)間（0）=0，g（1）=1，g（e）=e2﹣e＞0，∴g（x）在（0，e]上的值域?yàn)椋?，1]．，當(dāng)時(shí)，f′（x）=0，f（x）在處取得最小值，由題意知，f（x）在（0，e]上不單調(diào)，所以，解得，所以對(duì)任意給定的x0∈（0，e]，在（0，e]上總存在兩個(gè)不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，當(dāng)且僅當(dāng)a滿足條件且f（e）≥1因?yàn)閒（1）=0，所以恒成立，由f（e）≥1解得綜上所述，a的取值范圍是．故選：A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（5分）已知x，y滿足條件若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y（其中a＞0）僅在點(diǎn)（2，0）處取得最大值，則a的取值范圍是．參考答案：（，+∞）【考點(diǎn)】：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用．【專題】：不等式的解法及應(yīng)用．【分析】：作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，確定目標(biāo)取最優(yōu)解的條件，即可求出a的取值范圍．解：作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，由z=ax+y得y=﹣ax+z，∵a＞0，∴此時(shí)目標(biāo)函數(shù)的斜率k=﹣a＜0，要使目標(biāo)函數(shù)z=ax+y僅在點(diǎn)A（2，0）處取得最大值，則此時(shí)﹣a≤kAB=﹣，即a＞，故答案為：（，+∞）【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法．12.復(fù)數(shù)z滿足（﹣1+i）z=（1+i）2，其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=

．參考答案：1﹣i【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)相等的充要條件．【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)模型法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出．【解答】解：（﹣1+i）z=（1+i）2，∴z==﹣=﹣（i﹣1）=1﹣i．故答案為：1﹣i．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、共軛復(fù)數(shù)的定義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．13.函數(shù)的值域是

參考答案：14.若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的值為_(kāi)____________.參考答案：15.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)為為拋物線上的一點(diǎn)，且滿足，則的取值范圍是．參考答案：略16.已知x，y∈R，滿足x2+2xy+4y2=6，則z=x2+4y2的最小值為．參考答案：4【考點(diǎn)】基本不等式．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法．【分析】將x2+2xy+4y2=（x+2y）2﹣2xy=6，那么（x+2y）2=2xy+6，z=x2+4y2=（x+2y）2﹣4xy，利用基本等式的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：由題意x2+2xy+4y2=（x+2y）2﹣2xy=6，那么（x+2y）2=2xy+6，∵（x+2y）2≥4x?2y=8xy，當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)取等號(hào)．則：2xy+6≥8xy解得：xy≤1z=x2+4y2=（x+2y）2﹣4xy≥8xy﹣4yx=4．所以z=x2+4y2的最小值為4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式的變形和靈活的運(yùn)用能力．屬于中檔題．17.若球的球面上共有三點(diǎn)其中任意兩點(diǎn)間的球面距離都等于大圓周長(zhǎng)的經(jīng)過(guò)這三點(diǎn)的小圓周長(zhǎng)為，則球的體積為_(kāi)_________；

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（13分）已知橢圓E：（a>b>0）的一焦點(diǎn)F在拋物線y2=4x的準(zhǔn)線上，且點(diǎn)M（1，）在橢圓上（I）求橢圓E的方程；（II）過(guò)直線x=-2上一點(diǎn)P作橢圓E的切線，切點(diǎn)為Q，證明：PF⊥QF。參考答案：（Ⅰ）拋物線的準(zhǔn)線為，則，即.……2分又點(diǎn)在橢圓上，則，解得，

……4分故求橢圓的方程為.………………………5分（Ⅱ）設(shè)、.依題意可知切線的斜率存在，設(shè)為，則：，并代入到中，整理得：………………………8分因此，即.……………9分從而，，則；…………10分又，則，.…11分由于，故，即.………………13分19.已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，其中a為常數(shù)，設(shè)e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）當(dāng)a=﹣1時(shí)，求f（x）的最大值；（2）若f（x）在區(qū)間（0，e]上的最大值為﹣3，求a的值；（3）設(shè)g（x）=xf（x），若a＞0，對(duì)于任意的兩個(gè)正實(shí)數(shù)x1，x2（x1≠x2），證明：2g（）＜g（x1）+g（x2）．參考答案：【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用．【分析】（1）在定義域（0，+∞）內(nèi)對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，求其極大值，若是唯一極值點(diǎn)，則極大值即為最大值．（2）在定義域（0，+∞）內(nèi)對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，對(duì)a進(jìn)行分類討論并判斷其單調(diào)性，根據(jù)f（x）在區(qū)間（0，e]上的單調(diào)性求其最大值，并判斷其最大值是否為﹣3，若是就可求出相應(yīng)的最大值．（3）先求導(dǎo)，再求導(dǎo)，得到g′（x）為增函數(shù)，不妨令x2＞x1，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可證明【解答】解：（1）易知f（x）定義域?yàn)椋?，+∞），當(dāng)a=﹣1時(shí)，f（x）=﹣x+lnx，，令f′（x）=0，得x=1．當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)．f（x）max=f（1）=﹣1．∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的最大值為﹣1，（2）∵．①若，則f′（x）≥0，從而f（x）在（0，e]上是增函數(shù)，∴f（x）max=f（e）=ae+1≥0，不合題意，②若，則由，即由，即，從而f（x）在（0，﹣）上增函數(shù)，在（﹣，e]為減函數(shù)∴令，則，∴a=﹣e2，（3）證明：∵g（x）=xf（x）=ax2+xlnx，x＞0∴，∴g′（x）為增函數(shù)，不妨令x2＞x1令，∴，∵，∴而h（x1）=0，知x＞x1時(shí)，h（x）＞0故h（x2）＞0，即20.如圖，⊙O是△ABC的外接圓，D是的中點(diǎn)，BD交AC于E．（Ⅰ）求證：DC2=DE?DB；（Ⅱ）若CD=2，O到AC的距離為1，求⊙O的半徑r．參考答案：【考點(diǎn)】與圓有關(guān)的比例線段；相似三角形的判定；相似三角形的性質(zhì)．【專題】選作題．【分析】（I）先證明△BCD∽△CED，可得，從而問(wèn)題得證；

（II）OD⊥AC，設(shè)垂足為F，求出CF=，利用DC2=CF2+DF2，建立方程，即可求得⊙O的半徑．【解答】（I）證明：連接OD，OC，由已知D是弧AC的中點(diǎn)，可得∠ABD=∠CBD∵∠ABD=∠ECD∴∠CBD=∠ECD∵∠BDC=∠EDC∴△BCD∽△CED∴∴CD2=DE?DB．

（II）解：設(shè)⊙O的半徑為R∵D是弧AC的中點(diǎn)∴OD⊥AC，設(shè)垂足為F在直角△CFO中，OF=1，OC=R，CF=在直角△CFD中，DC2=CF2+DF2∴∴R2﹣R﹣6=0∴（R﹣3）（R+2）=0∴R=3【點(diǎn)評(píng)】本題是選考題，考查幾何證明選講，考查三角形的相似與圓的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．21.（14分）（2015?上海模擬）已知函數(shù)f（x）=．（1）當(dāng)a=b=1時(shí)，求滿足f（x）≥3x的x的取值范圍；（2）若y=f（x）的定義域?yàn)镽，又是奇函數(shù)，求y=f（x）的解析式，判斷其在R上的單調(diào)性并加以證明．參考答案：【考點(diǎn)】：指、對(duì)數(shù)不等式的解法；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．【專題】：計(jì)算題；綜合題．【分析】：（1）由題意可得≥3x從中解得﹣1≤3x≤，解此指數(shù)不等式即可求得x的取值范圍；（2）由f（0）=0，可求得a，f（1）+f（﹣1）=0可求得b，從而可得y=f（x）的解析式；利用單調(diào)性的定義，對(duì)任意x1，x2∈R，x1＜x2，再作差f（x1）﹣f（x2），最后判斷符號(hào)即可．解：（1）由題意，≥3x，化簡(jiǎn)得3?（3x）2+2×3x﹣1≤0…（2分）解得﹣1≤3x≤…（4分）所以x≤﹣1…（（6分），如果是其它答案得5分）（2）已知定義域?yàn)镽，所以f（0）==0?a=1，…（7分）又f（1）+f（﹣1）=0?b=3，…（8分）所以f（x）=；…（9分）f（x）==（）=（﹣1+）對(duì)任意x1，x2∈R，x1＜x2，可知f（x1）﹣f（x2）=（﹣）=﹣（）…（12分）因?yàn)閤1＜x2，所以﹣＞0，所以f（x1）＞f（x2），因此f（x）在R上遞減．…（14分）【點(diǎn)評(píng)】：本題考查指數(shù)不等式的解法，考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，屬于綜合題，難度大，運(yùn)算量大，屬于難題．22.已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且滿足Sn=2an﹣n2+3n+2（n∈N*）（Ⅰ）求證：數(shù)列{an+2n}是等比數(shù)列；（Ⅱ）設(shè)bn=ansinπ，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和；（Ⅲ）設(shè)Cn=﹣，數(shù)列{Cn}的前n項(xiàng)和為Pn，求證：Pn＜．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列與不等式的綜合；等比關(guān)系的確定；數(shù)列的求和．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（I）利用遞推式可得：an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1﹣2n+4，變形為an+2n=2[an﹣1+2（n﹣1）]，即可證明；（II）由（I）可得an=﹣2×2n﹣1﹣2n=﹣2n﹣2n．可得bn=ansinπ=﹣（2n+2n），由于==（﹣1）n，于是bn=（﹣1）n+1（2n+2n）．對(duì)n分類討論即可得出．（III）Cn=﹣=，當(dāng)n≥2時(shí)，cn．再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可證明．【解答】（I）證明：由Sn=2an﹣n2+3n+2（n∈N*），∴當(dāng)n≥2時(shí)，，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1﹣2n+4，變形為an+2n=2[an﹣1+2（n﹣1）]，當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=2a1﹣1+3+2，解得a1=﹣4，∴a1+2=﹣2，∴數(shù)列{an+2n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為﹣2，公比為2；（II）解：由（I）可得an=﹣2×2n﹣1﹣2n=﹣2n﹣2n．∴bn=ansinπ=﹣（2n+2n），∵==（﹣1）n，∴bn=（﹣