2015年廣西南寧三中外地生入學數(shù)學試卷

2015年廣西南寧三中外地生入學數(shù)學試卷

2015年南寧三中外地優(yōu)秀生入學測試數(shù)學試題本場考試包括數(shù)學和物理，同時發(fā)卷，兩科考試時間一共150分鐘，數(shù)學分值為150分，物理分值為100分。請將條形碼貼在數(shù)學答題卡的相應(yīng)位置，客觀題用2B鉛筆在答題卡上作答，主觀題用黑色水性筆在答題卡上作答，在試卷上作答無效。一、選擇題（每題6分，共30分）1、已知二次函數(shù)$y=ax^2-6x+3$，若a在數(shù)組(-4，-3，-2，-1，1，2，3)中隨機取一個，則所得拋物線的對稱軸在直線$x=-1$的右側(cè)時的概率為（）A．$\frac{1}{7}$B．$\frac{2}{7}$C．$\frac{3}{7}$D．$\frac{4}{7}$2、如圖，在矩形AOBC中，點A的坐標是（-2，1），點C的縱坐標是4，則B、C兩點的坐標為（）A.(-4，4)、(-1，4)B.(-4，1)、(-1，4)C.(-4，1)、(-1，1)D.(-2，4)、(-1，4)3、設(shè)$a+1=3a$，$b+1=3b$，且$a\neqb$，則代數(shù)式$\frac{1}{a-b}+\frac{ab}{(a+b)^2}$的值為（）A．5B．7C．9D．114、如圖，⊙O的直徑AB長為10，弦AC長為6，∠ACB的平分線交⊙O于D，則CD的長為（）A．7B．9C．8D．25、如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC的平分線BP交于點P，若∠BPC=40°，則∠CAP的度數(shù)是（）A．40°B．45°C．50°D．60°二、填空題（每題6分，共30分）6、二次函數(shù)$y=x+bx+c$的圖像與x軸的正半軸交于A、B兩點，與y軸的正半軸交于點C，已知AB=3AC，$\angleCAO=30^\circ$，則$c=$______。7、一輛客車、一輛貨車和一輛小轎車在一條筆直的公路上朝同一方向勻速行駛．在某一時刻，客車在前，小轎車在后，貨車在客車與小轎車的正中間．過了10分鐘，小轎車追上了貨車；又過了5分鐘，小轎車追上了客車；再過$t$分鐘，貨車追上了客車，則$t=$______。8、如圖矩形紙片ABCD，$AB=5$cm，$BC=10$cm，$CD$上有一點$E$，$ED=2$cm，$AD$上有一點$P$，$PD=3$cm，過$P$作$PF\perpAD$交$BC$于$F$，將紙片折疊，使$P$點與$E$點重合，折痕與$PF$交于$Q$點，則$PQ$的長是______cm。9、將半徑為4cm的半圓圍成一個圓錐，在圓錐內(nèi)接一個圓柱（如圖示），當圓柱的側(cè)面的面積最大時，圓柱的底面半徑是______cm。（注意：本題需要插入圖片，但是在文本中無法插入圖片，請在答題卡上作答）10、如圖，在平面直角坐標系中，多邊形OABCDE的頂點坐標分別是O(0,0)，A(0,6)，B(4,6)，C(4,4)，D(6,4)，E(6,0)。若直線l經(jīng)過點M(2,3)，且將多邊形OABCDE分割成面積相等的兩部分，則直線l的函數(shù)表達式是___________。11、（本題12分）在等腰直角三角形ABC中，AB=1，點E為腰AC的中點，點F在底邊BC上，且FE⊥BE，求△CEF的面積。12、（本題18分）設(shè)AD，BE，CF為△ABC的三條高，若AB=6，BC=5，EF=3，求線段BE的長度。13、（本題20分）如圖①，在正方形ABCD中，點A、B的坐標分別為(0,10)，(8,4)，點C在第一象限。動點P在正方形ABCD的邊上，從點A出發(fā)，沿A→B→C→D勻速運動，同時動點Q以相同速度在x軸正半軸上運動，當P點到達D點時，兩點同時停止運動，設(shè)運動的時間為t秒。(1)當P點在邊AB上運動時，點Q的橫坐標x（單位長度）關(guān)于運動時間t（秒）的函數(shù)圖象如圖②所示，請寫出點Q開始運動時的坐標及點P運動的速度；(2)求正方形的邊長及頂點C的坐標；(3)在(1)中，當t為何值時，△OPQ的面積最大，并求此時P點的坐標；(4)如果點P、Q保持原速度不變，當點P沿A→B→C→D勻速運動時，OP與PQ能否相等，若能，直接寫出所有符合條件的t的值；若不能，請說明理由。14、（本題20分）如圖，已知拋物線的方程C1：y=-(x+2)/(m(x-m))(m>0)與x軸交于點B、C，與y軸交于點E，且點B在點C的左側(cè)。（1）若拋物線C1過點M(2,2)，求實數(shù)m的值；（2）在(1)的條件下，求△BCE的面積；（3）在第四象限內(nèi)，拋物線C1上是否存在點F，使得以點B、C、F為頂點的三角形與△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由。15、（本題20分）如圖，拋物線y=(x-3)2-1與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，頂點為D。（1）求點A、B、D的坐標；（2）連接CD，過原點O作OE⊥CD，垂足為H，OE與拋物線的對稱軸交于點E，連接AE、AD。求線段DE的長度。以點E為圓心，1為半徑畫圓，在對稱軸右側(cè)的拋物線上有一動點P。過點P作圓E的切線，切點為Q。求當PQ的長最小時，點P的坐標。解析：(1)過點B作BF⊥y軸于點F，BE⊥x軸于點E，則BF＝8，OE＝BE＝4，AF＝10－4＝6。(2)在Rt△AFB中，AB＝√(82+62)=10，Cos∠BAC=3/5，Sin∠BAC=4/5。(3)過點C作CG⊥x軸于點G，與FB的延長線交于點H。因為△ABC為直角三角形，所以△ABF≌△BCH，BH＝AF＝6，CH＝BF＝8，OG＝FH＝8＋6＝14，CG＝8＋4＝12。所以點C的坐標為（14，12）。(4)過點P作PM⊥y軸于點M，PN⊥x軸于點N，則△APM∽△ABF，AM=t，PM=t，PN=OM=10-t。設(shè)△OPQ的面積為S，則S=(10-t)(1+t)/20=1/4-t2/20（0≤t≤10）。(5)當t=0或t=10時，OP與PQ相等，此時P的坐標分別為（2，0）和（0，2）。(6)當t=-4/5時，PQ最短，此時P的坐標為（9/5，6/5）。注：未注明自變量的取值范圍不扣分。（2）當$m=4$時，$y=-(x+2)(x-4)=-x^2+x+2$。因此，$C(4,0)$，$E(0,2)$。根據(jù)勾股定理，$S_{\triangleBCE}=BC\cdotOE=\frac{6\cdot2}{2}=6$。（3）（1）頂點$D$的坐標為$(3,-1)$。解方程$(x-3)^2-1=0$，得到$x_1=3+2$，$x_2=3-2$。因為點$A$在點$B$的左側(cè)，令$y=0$，得到$A$點坐標$(1,0)$，$B$點坐標$(5,0)$。（2）過$D$作$DG\perpy$軸，垂足為$G$，則$G(3,-1)$，$GD=3$。設(shè)對稱軸交$x$軸于點$M$，則$C$點坐標為$(3,-\frac{7}{9})$，$GC=-(-1)=1$。因為$OE\perpCD$，所以$\angleGCD+\angleCOH=90^\circ$。又因為$\angleMOE+\angleCOH=90^\circ$，所以$\angleMOE=\angleGCD$。又因為$\angleCGD=\angleOMN=90^\circ$，所以$\triangleDCG\sim\triangleEOM$。令$x=\frac{12}{9}$，則$y=\frac{9}{2}$，所以$\frac{CG}{DG}=\frac{3}{2}$，即$\frac{OM}{EM}=\frac{3}{2}$，所以$EM=2$，即點$E$坐標為$(3,2)$，$ED=3$。（3）由$\odotE$的半徑為$1$，根據(jù)勾股定理，得$PQ^2=EP^2-1$。要使切線長$PQ$最小，只需$EP$長最小，即$EP^2$最小。設(shè)$P$坐標為$(x,y)$，由勾股定理，得$EP^2=(x-3)^2+(y-2)^2$。因為$y=\frac{1}{2}(x-3)^2-1