(上課用)橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(第一課時(shí))

中國(guó)政法大學(xué)是一所以法學(xué)為特色和優(yōu)勢(shì)，兼有文學(xué)、史學(xué)、哲學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理學(xué)、教育學(xué)等多學(xué)科的“211工程”重點(diǎn)建設(shè)大學(xué)，直屬于國(guó)家教育部。學(xué)?，F(xiàn)有海淀區(qū)學(xué)院路和昌平區(qū)府學(xué)路兩個(gè)校區(qū)。學(xué)校的辦學(xué)目標(biāo)是：用20年左右的時(shí)間，把學(xué)校建設(shè)成為開放式、國(guó)際化、多科性、創(chuàng)新型的世界知名法科強(qiáng)校。

學(xué)校的前身是1952年由北京大學(xué)、清華大學(xué)、燕京大學(xué)、輔仁大學(xué)四校的法學(xué)、政治學(xué)、社會(huì)學(xué)等學(xué)科組合而成的北京政法學(xué)院。1954年，學(xué)校遷址至學(xué)院路。文革中學(xué)校被停辦，文革結(jié)束后復(fù)辦。1983年，北京政法學(xué)院與中央政法干校合并，組建為中國(guó)政法大學(xué)。1985年，學(xué)校開辟昌平校區(qū)新校址。學(xué)校形成一校及本科生院、進(jìn)修生院、研究生院三院辦學(xué)格局。進(jìn)修生院后更名為中央政法管理干部學(xué)院?jiǎn)为?dú)辦學(xué)，1997年復(fù)又合并于中國(guó)政法大學(xué)。橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(1)一、復(fù)習(xí)回顧：1.橢圓的定義:平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和為常數(shù)2a

（大于|F1F2|）的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡叫做橢圓。2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：3.橢圓中a,b,c的關(guān)系:當(dāng)焦點(diǎn)在X軸上時(shí)當(dāng)焦點(diǎn)在Y軸上時(shí)a2=b2+c2[1]橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程所表示的橢圓的范圍是什么？

[2]橢圓有幾條對(duì)稱軸？幾個(gè)對(duì)稱中心？

[3]上述方程表示的橢圓有幾個(gè)頂點(diǎn)？頂點(diǎn)坐標(biāo)是什么？[6]如何通過橢圓的離心率刻畫橢圓的扁平程度？[4]2a和2b表示什么？a和b又表示什么？[5]橢圓離心率是如何定義的？范圍是什么？二、導(dǎo)學(xué)導(dǎo)思：

-a≤x≤a,-b≤y≤b

∴橢圓位于直線x=±a,y=±b所圍成的矩形中，如圖所示：oyB2B1A1A2F1F2cab三、新課講解：1、橢圓的范圍：由x2、橢圓的對(duì)稱性：從圖形上看，橢圓關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱。F2F1Oxy橢圓關(guān)于y軸對(duì)稱。對(duì)稱性

在曲線方程里，如果以-y代y方程不變，那么曲線關(guān)于x軸對(duì)稱

在曲線方程里，如果以-x代x方程不變，那么曲線關(guān)于y軸對(duì)稱

在曲線方程里，如果同時(shí)以-x代x，以-y代y方程不變，那么曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱F2F1Oxy橢圓關(guān)于x軸對(duì)稱。A2A1A2F2F1Oxy橢圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。F2F1Oxy2、對(duì)稱性橢圓關(guān)于y軸、x軸、原點(diǎn)對(duì)稱。為什么？從方程上看：（1）把x換成-x方程不變，圖象關(guān)于

軸對(duì)稱；（2）把y換成-y方程不變，圖象關(guān)于

軸對(duì)稱；（3）把x換成-x，同時(shí)把y換成-y方程不變，圖象關(guān)于

成中心對(duì)稱。y

x

原點(diǎn)坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱中心。中心：橢圓的對(duì)稱中心叫做橢圓的中心。YXOP（x，y）P1（-x，y）P2（-x，-y）*長(zhǎng)軸、短軸：線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸。它們的長(zhǎng)分別等于2a和2b。a、b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)。oyB2B1A1A2F1F2cab(0,b)(0,-b)(a，0)(-a，0)3、橢圓的頂點(diǎn)：令x=0，得y=？說明橢圓與y軸的交點(diǎn)為（），令y=0，得x=？說明橢圓與x軸的交點(diǎn)為（）。0,±b±a,0*頂點(diǎn)：橢圓與它的對(duì)稱軸的四個(gè)交點(diǎn)，叫做橢圓的頂點(diǎn)。123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y12345-1-5-2-3-4x12345-1-5-2-3-4x根據(jù)前面所學(xué)有關(guān)知識(shí)畫出下列圖形（1）（2）A1

B1

A2

B2

B2

A2

B1

A1

004、橢圓的離心率離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比叫做橢圓的離心率。[1]離心率的取值范圍：[2]離心率對(duì)橢圓形狀的影響：0<e<1①e越接近1，橢圓就越扁；②e越接近0，橢圓就越圓。[3]e與a,b的關(guān)系:用e表示，即思考：當(dāng)e＝0時(shí)，曲線是什么？當(dāng)e＝1時(shí)曲線又是什么？(e用來刻畫橢圓扁平程度的量)4、離心率上面橢圓的形狀有什么變化？Oxy怎樣刻畫它們的扁平程度？4、離心率Oxy顯然，a不變，b越小，橢圓越扁。也即，a不變，c越大，橢圓越扁。把橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比稱為橢圓的離心率，用e表示，即離心率橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比值，叫做橢圓的離心率1當(dāng)e接近1時(shí)，c越接近a,從而越小，因此橢圓越扁。3當(dāng)e=0時(shí)，c=0,a=b兩焦點(diǎn)重合,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2當(dāng)e接近0時(shí)，c越接近0,從而b越接近a,圖形越接近于圓。圖形就是圓。標(biāo)準(zhǔn)方程范圍對(duì)稱性頂點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)半軸長(zhǎng)離心率

a、b、c的關(guān)系-a≤x≤a,-b≤y≤b關(guān)于x軸、y軸成軸對(duì)稱；關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a,短半軸長(zhǎng)為b.(a>b)知識(shí)歸納a2=b2+c2標(biāo)準(zhǔn)方程范圍對(duì)稱性頂點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)半軸長(zhǎng)離心率

a、b、c的關(guān)系關(guān)于x軸、y軸成軸對(duì)稱；關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a,短半軸長(zhǎng)為b.(a>b)(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)關(guān)于x軸、y軸成軸對(duì)稱；關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a,短半軸長(zhǎng)為b.(a>b)-a≤x≤a,-b≤y≤b-a≤y≤a,-b≤x≤ba2=b2+c2a2=b2+c2例題1:

求橢圓9x2+4y2=36的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)。橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是:離心率:焦點(diǎn)坐標(biāo)是:四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)是:橢圓的短軸長(zhǎng)是:2a=62b=4解題步驟：1、將橢圓方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程求a、b：2、確定焦點(diǎn)的位置和長(zhǎng)軸的位置.解：把已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程四、例題講解：練習(xí):求橢圓16x2+25y2=400的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)。解：把已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是:離心率:焦點(diǎn)坐標(biāo)是:四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)是:橢圓的短軸長(zhǎng)是:2a=102b=8例2:

求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）經(jīng)過點(diǎn)Ｐ（-3，0）、Ｑ（0，-2）；解：⑴方法一：設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，求出m＝1/9,n＝1/4。所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為方法二：利用橢圓的幾何性質(zhì)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)就是橢圓的頂點(diǎn)，于是焦點(diǎn)在x軸上，且點(diǎn)P、Q分別是橢圓長(zhǎng)軸與短軸的一個(gè)端點(diǎn)，故a＝3，b＝2，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

例2:

求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）經(jīng)過點(diǎn)Ｐ（-3，0）、Ｑ（0，-2）；（2）長(zhǎng)軸的長(zhǎng)等于20，離心率等于3/5。(2)由已知得，解：由于橢圓的焦點(diǎn)可能在x軸上，也可能在y軸上，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：練習(xí)：書本48頁第1、2、3題標(biāo)準(zhǔn)方程范圍對(duì)稱性頂點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)半軸長(zhǎng)離心率

a、b、c的關(guān)系關(guān)于x軸、y軸成軸對(duì)稱；關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a,短半軸長(zhǎng)為b.(a>b)(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)-a≤x≤a,-b≤y≤b-a≤y≤a,-b≤x≤ba2=b2+c2小結(jié)作業(yè)：書本49頁習(xí)題2.2第4、5題思考題：已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，長(zhǎng)軸是短軸的三倍，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)P（3，0），求橢圓的方程。小結(jié)：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了橢圓的幾個(gè)簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)：范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)坐標(biāo)、離心率等概念及其幾何