高考數(shù)江蘇試題及解析

2017年江蘇1.(2017年江蘇)已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}，若A∩B={1}，則實數(shù)a的值為.1.1【解析】由題意1∈B，顯然a2+3≥3，所以a=1，此時a2+3=4，滿足題意，故答案為1.2.(2017年江蘇)已知復(fù)數(shù)z=(1+i)(1+2i)，其中i是虛數(shù)單位，則的模是.2.eq\r(10)【解析】|z|=|(1+i)(1+2i)|=|1+i||1+2i|=eq\r(2)×eq\r(5)=eq\r(10).故答案為eq\r(10)．3.【答案】18【解析】應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取件，故答案為18．【考點(diǎn)】分層抽樣【名師點(diǎn)睛】在分層抽樣的過程中，為了保證每個個體被抽到的可能性是相同的，這就要求各層所抽取的個體數(shù)與該層所包含的個體數(shù)之比等于樣本容量與總體的個體數(shù)之比，即ni∶Ni＝n∶N．4.(2017年江蘇)右圖是一個算法流程圖，若輸入x的值為eq\f(1,16)，則輸出y的值是.4.-2【解析】由題意得y=2+log2eq\f(1,16)=-2.故答案為-2．5.(2017年江蘇)若tan(α+eq\f(π,4))=eq\f(1,6)則tanα=.5.eq\f(7,5)【解析】tanα=tan[(α-eq\f(π,4))+eq\f(π,4)]=eq\f(tan(α-eq\f(π,4))+taneq\f(π,4),1-tan(α-eq\f(π,4))taneq\f(π,4))=eq\f(eq\f(1,6)+1,1-eq\f(1,6))=eq\f(7,5).故答案為eq\f(7,5).6.(2017年江蘇)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則eq\f(V1,V2)的值是.6.eq\f(3,2)【解析】設(shè)球半徑為r，則eq\f(V1,V2)=eq\f(πr2×2r,eq\f(4,3)πr3)=eq\f(3,2)．故答案為eq\f(3,2)．7.(2017年江蘇)記函數(shù)f（x）=eq\r(6+x-x2)的定義域為D．在區(qū)間[-4，5]上隨機(jī)取一個數(shù)x，則x∈D的概率是.7.eq\f(5,9)【解析】由6+x-x2≥0，即x2-x-6≤0，得-2≤x≤3，根據(jù)幾何概型的概率計算公式得x∈D的概率是eq\f(3-（-2）,5-（-4）)=eq\f(5,9).8.(2017年江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線eq\f(x2,3)-y2=1的右準(zhǔn)線與它的兩條漸近線分別交于點(diǎn)P，Q，其焦點(diǎn)是F1，F(xiàn)2，則四邊形F1PF2Q的面積是.8.2eq\r(3)【解析】右準(zhǔn)線方程為x=eq\f(3,eq\r(10))=eq\f(3eq\r(10),10)，漸近線方程為y=±eq\f(eq\r(3),3)x，設(shè)P（eq\f(3eq\r(10),10)，eq\f(eq\r(30),10)），則Q（eq\f(3eq\r(10),10)，-eq\f(eq\r(30),10)），F(xiàn)1（-eq\r(10)，0），F(xiàn)2（eq\r(10)，0），則S=2eq\r(10)×eq\f(eq\r(30),10)=2eq\r(3).9.(2017·江蘇高考)等比數(shù)列{an}的各項均為實數(shù)，其前n項和為Sn.已知S3＝eq\f(7,4)，S6＝eq\f(63,4)，則a8＝________.16.(2017年江蘇)已知向量a＝(cosx,sinx),b＝(3,－eq\r(3)),x∈[0,π].（1）若a∥b,求x的值；（2）記f(x)＝a·b,求f(x)的最大值和最小值以及對應(yīng)的x的值.【解析】（1）∵a＝(cosx,sinx),b＝(3,－eq\r(3)),a∥b,∴－eq\r(3)cosx＝3sinx.若cosx＝0,則sinx＝0,與sin2x＋cos2x＝1矛盾,∴cosx≠0.于是tanx＝－eq\f(eq\r(3),3).又QUOTEx∈[0，π]錯誤!未找到引用源。,∴x＝eq\f(5π,6).（2）f(x)＝a·b＝(cosx,sinx)·(3,－eq\r(3))＝3cosx－eq\r(3)sinx＝2eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋eq\f(π,6))).∵QUOTEx∈[0，π]錯誤!未找到引用源。,∴x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(eq\f(π,6)，eq\f(7π,6))),∴－1≤coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋eq\f(π,6)))≤eq\f(eq\r(3),2).當(dāng)x＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,6),即x＝0時,f(x)取得最大值3；當(dāng)x＋eq\f(π,6)＝π,即x＝eq\f(5π,6)時,f(x)取得最小值－2eq\r(3).17.(2017年江蘇)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為eq\f(1,2)，兩準(zhǔn)線之間的距離為8．點(diǎn)P在橢圓E上，且位于第一象限，過點(diǎn)F1作直線PF1的垂線l1，過點(diǎn)F2作直線PF2的垂線l2．（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l1，l2的交點(diǎn)Q在橢圓E上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．17.解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為c．因為橢圓E的離心率為eq\f(1,2)，兩準(zhǔn)線之間的距離為8，所以eq\f(c,a)=eq\f(1,2)，eq\f(2a2,c)=8，解得a=2，c=1，于是b=eq\r(a2-c2)=eq\r(3)，因此橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程是eq\f(x2,4)+eq\f(y2,3)=1．（2）由（1）知，F(xiàn)1（-1，0），F(xiàn)2（1，0）.設(shè)P（x0，y0），因為P為第一象限的點(diǎn)，故x0＞0，y0＞0.當(dāng)x0=1時，l2與l1相交于F1，與題設(shè)不符.當(dāng)x0≠1時，直線PF1的斜率為eq\f(y0,x0+1)，直線PF2的斜率為eq\f(y0,x0-1).因為l1⊥PF1，l2⊥PF2，所以直線l1的斜率為-eq\f(x0+1,y0)，直線l2的斜率為-eq\f(x0-1,y0)，從而直線l1的方程：y=-eq\f(x0+1,y0)（x+1），①直線l2的方程：y=-eq\f(x0-1,y0)（x-1）．②由①②，解得x=-x0，y=eq\f(x02-1,y0)，所以Q（-x0，eq\f(x02-1,y0)）．因為點(diǎn)Q在橢圓上，由對稱性，得eq\f(x02-1,y0)=±y0，即x02-y02=1或x02+y02=1．又P在橢圓E上，故eq\f(x02,4)+eq\f(y02,3)=1．由eq\b\lc\{(\a\al(x02-y02=1，,eq\f(x02,4)+eq\f(y02,3)=1，))解得x0=eq\f(4eq\r(7),7)，y0=eq\f(3eq\r(7),7)；eq\b\lc\{(\a\al(x02-y02=1，,eq\f(x02,4)+eq\f(y02,3)=1，))無解．因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為（eq\f(4eq\r(7),7)，eq\f(3eq\r(7),7)）．18.(2017年江蘇)如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱臺形玻璃容器Ⅱ的高均為32cm，容器Ⅰ的底面對角線AC的長為10eq\r(7)cm，容器Ⅱ的兩底面對角線EG，E1G1的長分別為14cm和62cm．分別在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均為12cm．現(xiàn)有一根玻璃棒l，其長度為40cm．（容器厚度、玻璃棒粗細(xì)均忽略不計）（1）將l放在容器Ⅰ中，l的一端置于點(diǎn)A處，另一端置于側(cè)棱CC1上，求l沒入水中部分的長度；（2）將l放在容器Ⅱ中，l的一端置于點(diǎn)E處，另一端置于側(cè)棱GG1上，求l沒入水中部分的長度．18.解：（1）由正棱柱的定義，CC1⊥平面ABCD，所以平面A1ACC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC.記玻璃棒的另一端落在CC1上點(diǎn)M處.因為AC=10eq\r(7)，AM=40，所以MC=eq\r(402-（10eq\r(7)）2)=30，從而sin∠MAC=eq\f(3,4)，記AM與水面的交點(diǎn)為P1，過P1作P1Q1⊥AC，Q1為垂足，則P1Q1⊥平面ABCD，故P1Q1=12，從而AP1=eq\f(P1Q1,sin∠MAC)=16.答：玻璃棒l沒入水中部分的長度為16cm.(如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”，則結(jié)果為24cm) （2）如圖，O，O1是正棱臺的兩底面中心．由正棱臺的定義，OO1⊥平面EFGH，所以平面E1EGG1⊥平面EFGH，O1O⊥EG．同理，平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1，O1O⊥E1G1．記玻璃棒的另一端落在GG1上點(diǎn)N處．過G作GK⊥E1G1，K為垂足，則GK=OO1=32．因為EG=14，E1G1=62，所以KG1=eq\f(62-14,2)=24，從而GG1=eq\r(KG12+GK2)=eq\r(242+322)=40．設(shè)∠EGG1=α，∠ENG=β，則sinα=sin（eq\f(π,2)+∠KGG1）=cos∠KGG1=eq\f(4,5).因為eq\f(π,2)＜α＜π，所以cosα=-eq\f(3,5).在△ENG中，由正弦定理可得eq\f(40,sinα)=eq\f(14,sinβ)，解得sinβ=eq\f(7,25).因為0＜β＜eq\f(π,2)，所以cosβ=eq\f(24,25).于是sin∠NEG=sin（π-α-β）=sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=eq\f(4,5)×eq\f(24,25)+（-eq\f(3,5)）×eq\f(7,25)=eq\f(3,5)．記EN與水面的交點(diǎn)為P2，過P2作P2Q2⊥EG，Q2為垂足，則P2Q2⊥平面EFGH，故P2Q2=12，從而EP2=eq\f(P2Q2,sin∠NEG)=20．答：玻璃棒l沒入水中部分的長度為20cm．(如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”，則結(jié)果為20cm)19.(2017年江蘇)對于給定的正整數(shù)k，若數(shù)列{an}滿足：an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan對任意正整數(shù)n（n＞k）總成立，則稱數(shù)列{an}是“p（k）數(shù)列”．（1）證明：等差數(shù)列{an}是“p（3）數(shù)列”；（2）若數(shù)列{an}既是“p（2）數(shù)列”，又是“p（3）數(shù)列”，證明：{an}是等差數(shù)列．19.解：（1）因為{an}是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則an=a1+(n-1)d，從而，當(dāng)n≥4時，an-k+an+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d=2a1+2(n-1)d=2an，k=1，2，3，所以an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an，因此等差數(shù)列{an}是“p（3）數(shù)列”．（2）數(shù)列{an}既是“p（2）數(shù)列”，又是“p（3）數(shù)列”，因此，當(dāng)n≥3時，an-2+an-1+an+1+an+2=4an，①當(dāng)n≥4時，an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an．②由①知，an-3+an-2=4an-(an+an+1)，③an+2+an+3=4an+1-(an-1+an)，④將③④代入②，得an-1+an+1=2an，其中n≥4，所以a3，a4，a5，…是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d′．在①中，取n=4，則a2+a3+a5+a6=4a4，所以a2=a3-d′，在①中，取n=3，則a1+a2+a4+a5=4a3，所以a1=a3-2d′，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列．20.(2017年江蘇)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+1(a＞0，b∈R)有極值，且導(dǎo)函數(shù)f′(x)的極值點(diǎn)是f(x)的零點(diǎn)．（極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時對應(yīng)的自變量的值）（1）求b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（2）證明：b2＞3a；（3）若f(x)，f′(x)這兩個函數(shù)的所有極值之和不小于-eq\f(7,2)，求a的取值范圍．20.解：（1）由f(x)=x3+ax2+bx+1，得f′(x)=3x2+2ax+b=3(x+eq\f(a,3))2+b-eq\f(a2,3)．當(dāng)x=-eq\f(a,3)時，f′(x)有極小值b-eq\f(a2,3)．因為f′(x)的極值點(diǎn)是f(x)的零點(diǎn)．所以f(-eq\f(a,3))=-eq\f(a3,27)+eq\f(a3,9)-eq\f(ab,3)+1=0，又a＞0，故b=eq\f(2a2,9)+eq\f(3,a)．因為f(x)有極值，故f′(x)=0有實根，從而b-eq\f(a2,3)=eq\f(1,9a)(27-a3)≤0，即a≥3．當(dāng)a=3時，f′(x)＞0（x≠-1），故f(x)在R上是增函數(shù)，f(x)沒有極值；當(dāng)a＞3時，f′(x)=0有兩個相異的實根x1=eq\f(-a-eq\r(a2-3b),3)，x2=eq\f(-a+eq\r(a2-3b),3)．列表如下：x（-∞，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f′(x)+0–0+f(x)↗極大值↘極小值↗故f(x)的極值點(diǎn)是x1，x2．從而a＞3．因此b=eq\f(2a2,9)+eq\f(3,a)，定義域為（3，+∞）．（2）由（1）知，eq\f(b,eq\r(a))=eq\f(2aeq\r(a),9)+eq\f(3,aeq\r(a)).設(shè)g（t）=eq\f(2t,9)+eq\f(3,t)，則g′（t）=eq\f(2,9)-eq\f(3,t2)=eq\f(2t2-27,9t2).當(dāng)t∈（eq\f(3eq\r(6),2)，+∞）時，g′（t）＞0，從而g（t）在（eq\f(3eq\r(6),2)，+∞）上單調(diào)遞增.因為a＞3，所以aeq\r(a)＞3eq\r(3)，故g（aeq\r(a)）＞g（3eq\r(3)）=eq\r(3)，即eq\f(b,eq\r(a))＞eq\r(3).因此b2＞3a.（3）由（1）知，f(x)的極值點(diǎn)是x1，x2，且x1+x2=-eq\f(2,3)a，x12+x22=eq\f(4a2-6b,9)．從而f(x1)+f(x2)=x13+ax12+bx1+1+x23+ax22+bx2+1=eq\f(x1,3)(3x12+2ax1+b)+eq\f(x2,3)(3x22+2ax2+b)+eq\f(1,3)a(x12+x22)+eq\f(2,3)b(x1+x2)+2=eq\f(4a3-6ab,27)-eq\f(4ab,9)+2=0.記f(x)，f′(x)所有極值之和為h(a)，因為f′(x)的極值為b-eq\f(a2,3)=-eq\f(1,9)a2+eq\f(3,a)，所以h(a)=-eq\f(1,9)a2+eq\f(3,a)，a＞3．因為h′(a)=-eq\f(2,9)a-eq\f(3,a2)＜0，于是h(a)在（3，+∞）上單調(diào)遞減．因為h（6）=-eq\f(7,2)，于是h（a）≥h（6），故a≤6．因此a的取值范圍為（3，6]．21.(2017年江蘇)A．[選修4-1：幾何證明選講]如圖，AB為半圓O的直徑，直線PC切半圓O于點(diǎn)C，AP⊥PC，P為垂足．求證：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2=AP·AB．解：（1）因為PC切半圓O于點(diǎn)C，所以∠PCA=∠CBA，因為AB為半圓O的直徑，所以∠ACB=90°.因為AP⊥PC，所以∠APC=90°，所以∠APC=∠CBA.（2）由（1）知，△APC∽△ACB，故eq\f(AP,AC)=eq\f(AC,AB)，即AC2=AP·AB．B．[選修4-2：矩陣與變換]已知矩陣A=[0110]，B=[1002].（1）求AB；（2）若曲線C1：eq\f(x2,8)+eq\f(y2,2)=1在矩陣AB對應(yīng)的變換作用下得到另一曲線C2，求C2的方程．解：（1）因為A=[0110]，B=[1002]，所以AB=[0110][1002]=[0120].（2）設(shè)Q（x0，y0）為曲線C1上的任意一點(diǎn)，它在矩陣AB對應(yīng)的變換作用下變?yōu)镻(x，y)，則[0120][x0y0]=[xy]，即eq\b\lc\{(\a\al(2y0=x，,x0=y，))所以eq\b\lc\{(\a\al(x0=y，,y0=eq\f(x,2).))因為點(diǎn)Q（x0，y0）在曲線C1上，所以eq\f(x02,8)+eq\f(y02,2)=1，從而eq\f(x2,8)+eq\f(y2,2)=1，即x2+y2=8．因此曲線C1在矩陣AB對應(yīng)的變換作用下得到曲線C2：x2+y2=8．C．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程](2017年江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l的參考方程為eq\b\lc\{(\a\al(x＝－8＋t，,y＝eq\f(t,2)))(t為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\al(x＝2s2，,y＝2eq\r(2)s))(s為參數(shù)).設(shè)P為曲線C上的動點(diǎn),求點(diǎn)P到直線l的距離的最小值.【解析】直線l的普通方程為x－2y＋8＝0.因為點(diǎn)P在曲線C上,設(shè)P(2s2,2eq\r(2)s),所以點(diǎn)P到直線l的距離d＝eq\f(|2s2－4eq\r(2)s＋8|,eq\r(12＋(－2)2))＝eq\f(2(s－eq\r(2))2＋4,eq\r(5)).當(dāng)s＝eq\r(2)時,dmin＝eq\f(4eq\r(5),5).所以當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,4)時,曲線C上點(diǎn)P到直線l的距離的最小值為eq\f(4eq\r(5),5).D．［選修4-5：不等式選講］已知a,b,c,d為實數(shù),且a2＋b2＝4,c2＋d2＝16.求證：ac＋bd≤8.【證明】由柯西不等式得(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2).因為a2＋b2＝4,c2＋d2＝16,所以(ac＋bd)2≤64,所以ac＋bd≤8.22.(2017年江蘇)如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=eq\r(3)，∠BAD=120°．（1）求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B-A1D-A的正弦值．22.解：在平面ABCD內(nèi)，過點(diǎn)A作AE⊥AD，交BC于點(diǎn)E．因為AA1平面ABCD，所以AA1⊥AE，AA1⊥AD．如圖，以{eq\o(\s\up5(→),\s\do1(AE))，eq\o(\s\up5(→),\s\do1(AD))，eq\o(\s\up5(→),\s\do1(AA1))}為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．因為AB=AD=2，AA1=eq\r(3)，∠BAD=120°．則A（0，0，0），B（eq\r(3)，-1，0），D（0，2，0），E（eq\r(3)，0，0），A1（0，0，eq\r(3)），C1（eq\r(3)，1，eq\r(3)）.（1）eq\o(\s\up5(→),\s\do1(A1B))=（eq\r(3)，-1，-eq\r(3)），eq\o(\s\up5(→),\s\do1(AC1))=（eq\r(3)，1，eq\r(3)），則cos<eq\o(\s\up5(→),\s\do1(A1B))，eq\o(\s\up5(→),\s\do1(AC1))>=eq\f(eq\o(\s\up5(→),\s\do1(A1B))·eq\o(\s\up5(→),\s\do1(AC1)),|eq\o(\s\up5(→),\s\do1(A1B))||eq\o(\s\up5(→),\s\do1(AC1))|)=eq\f(（eq\r(3)，-1，-eq\r(3)）·（eq\r(3)，1，eq\r(3)）,7)=-eq\f(1,7).因此異面直線A1B與AC1所成角的余弦值為eq\f(1,7)．（2）平面A1DA的一個法向量為eq\o(\s\up5(→),\s\do1(AE))=（eq\r(3)，0，0）.設(shè)m=（x，y，z）為平面BA1D的一個法向量，又eq\o(\s\up5(→),\s\do1(A1B))=（eq\r(3)，-1，-eq\r(3)），eq\o(\s\up5(→),\s\do1(BD))=（-eq\r(3)，3，0），則eq\b\lc\{(\a\al(m·eq\o(\s\up5(→),\s\do1(A1B))=0，,m·eq\o(\s\up5(→),\s\do1(BD))=0，))即eq\b\lc\{(\a\al(eq\r(3)x-y-eq\r(3)z=0，,-eq\r(3)x+3y=0.))不妨取x=3，則y=eq\r(3)，z=2，所以m=（3，eq\r(3)，2）為平面BA1D的一個法向量，從而cos<eq\o(\s\up5(→),\s\do1(AE))，m>=eq\f(eq\o(\s\up5(→),\s\do1(AE))·m,|eq\o(\s\up5(→),\s\do1(AE))||m|)=eq\f(（eq\r(3)，0，0）（3，eq\r(3)，2）,eq\r(3)×4)=eq\f(3,4)，設(shè)二面角B-A1D-A的大小為θ，則|cosθ|=eq\f(3,4)．因為θ∈[0，π]，所以sinθ=eq\r(1-cos2θ)=eq\f(eq\r(7),4)．23.(2017年江蘇