高中數(shù)學-基本不等式（第一課時）教學設(shè)計學情分析教材分析課后反思

《基本不等式》教學設(shè)計教學目標知識與技能：了解基本不等式的幾何背景，探索基本不等式的證明過程，會用基本不等式解決簡單最大（小）值問題。過程與方法：進一步讓學生探究不等式的代數(shù)證明，加深對基本不等式的理解和認識，提高學生邏輯推理的能力和嚴謹?shù)乃季S方式。情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學生觀察問題、分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)學生形成數(shù)形結(jié)合的思想意識。教學重難點教學重點：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索基本不等式的證明過程，基本不等式在實際問題中的應(yīng)用。教學難點：用基本不等式求最大值和最小值。教材分析最新版教材之所以把“基本不等式”前置是經(jīng)過了學習的重要性與可能性兩方面的綜合考量。相比舊教材，“基本不等式”的教材地位與教學要求都發(fā)生的變化，由于“基本不等式”本身內(nèi)涵非常豐富，其學習過程不可能一蹴而就，“反復認知，螺旋上升”才是課堂教學的有效策略。學情分析本節(jié)課針對的是高一年級學生，知識上，剛系統(tǒng)學完了不等式性質(zhì)，一元二次不等式，在初中階段，也了解了數(shù)學家趙爽“弦圖”推出勾股定理，圓的垂徑定理，算數(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)。方法上，能夠運用數(shù)形結(jié)合和化歸的思想提煉基本不等式，闡述基本不等式的幾何意義。能力上，運用作差法，綜合法能從數(shù)量關(guān)系上進行邏輯推理驗證基本不等式。教學方法1、借助“折紙游戲”，從特殊到一般的猜想，發(fā)現(xiàn)基本不等式（數(shù)學抽象、直觀想象）。2、探索基本不等式的證明過程，會用作差比較法、綜合法，分析法，證明基本不等式（邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想象）。3、從不同角度理解基本不等式（直觀想象）。

4、感知與基本不等式相近一些不等式的證明（邏輯推理、數(shù)學運算）。師生活動：【新課導入】教師：同學們，上節(jié)課我們從趙爽的弦圖中推導出重要不等式，讓我們一起來回顧一下。通過比較四個直角三角形和其拼接而成的正方形的面積大小，我們獲得了結(jié)論：任意a,b屬于R，有，當且僅當a=b時，等號成立。除了這種幾何的證明方式，我們能否從代數(shù)的角度給出證明呢，哪位同學來說一下？學生：比較法，做差得到大小關(guān)系。教師：非常好請坐。那現(xiàn)在我們來思考一個問題，如果用根a,b代替式子中的a和b，會得出什么樣的結(jié)論呢？學生：教師:那這個結(jié)論是如何得到的，又有哪些要求呢，下面讓我們通過一個折紙游戲來探究一下。【探索新知】教師：請同學們看我手中的兩個正方形，面積分別是a和b，沿對角線對折后，得到兩個三角形，則這個大三角形的面積是？學生齊答：a/2教師：小三角形的面積是？學生齊答：b/2教師：三角形的腰分別是？學生齊答：根號a和根號b教師：現(xiàn)在請同學們小組互助動手嘗試，看如何拼接翻折得到一個長是根號a寬是根號b的矩形。（學生上臺演示）教師：讓我們對比這兩個三角形的面積之和與矩形的面積，能得到什么不等關(guān)系？學生：教師：歷史上，在實際的生產(chǎn)生活中得到了一些數(shù)學結(jié)論，后經(jīng)數(shù)學家們的嚴格證明得到了數(shù)學公式和定理，你能否利用代數(shù)的方法得到這個結(jié)論學生：比較法，做差得到大小關(guān)系。教師：很好，那么我們得到的這個不等關(guān)系就稱作基本不等式（板書）基本不等式文字語言可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).教師：接下來，讓我們共同探究，能否利用幾何的方法證明基本不等式。觀察這個以直徑為一邊、圓內(nèi)接的一個三角形。如何用a,b表示OD？學生：如何用a,b表示CD？學生：觀察OD和DC，他們有什么不等關(guān)系？學生：ODDC，，顯然，當且僅當點C與圓心重合，即當a=b時，上述不等式的等號成立.教師：圓的半徑長不小于半弦長，這就是基本不等式的幾何意義。教師：讓我們一起來回顧一下，類比重要不等式，我們從代數(shù)和幾何兩個方法證明了基本不等式.在我們應(yīng)用它之前，再對著黑板認識一遍：首先.a,b大于0得到...注意當且僅當a=b時等號成立。【例題應(yīng)用】下面我們學以致用看一下例題1:已知，求的最小值.教師：類比基本不等式，這道題中的a是學生：x教師：b是學生：教師：那么大于等于學生：教師：我們發(fā)現(xiàn)結(jié)果x剛好學生：消去了教師：得到定值學生：2教師：當且僅當學生：時等號成立教師：這時我們得到的是學生：最小值2教師：好的，我們類比這道例題完成三個變式，這里請三位同學上來板書變式1：已知，求的最小值.變式2：已知，求的最大值.變式3：已知，求的最小值.教師：我們看變式3，如果時，最值還是這個答案嗎學生：不是教師：原因是什么學生：當且僅當?shù)南嗟冉處煟核晕覀冞\用基本不等式求最值的條件可以總結(jié)為學生：一正、二定、三相等教師：觀察我們例1和變式，我們發(fā)現(xiàn)在利用基本不等式后兩正數(shù)之積為定值，這時我們能求出兩正數(shù)之和的最小值，那么我們是否可以得到結(jié)論：讓我們一起來證明一下這里我們得到了第一個模型：學生：積確定和有最小值教師：那么當和確定時我們能獲得什么結(jié)論呢？學生：積最小教師：那讓我們類比第一問，證明第二問（學生答案投影并講解）教師：這里我們得到了第二個模型學生：和確定積有最大值教師：讓我們利用兩個模型完成練習，并總結(jié)出兩個結(jié)論【歸納總結(jié)】學生對本節(jié)課小結(jié)，教師作補充。本節(jié)課通過重要不等式類比學習了基本不等式，通過代數(shù)、幾何兩種方法證明。利用基本不等式求最值基本不等式的兩個模型：積定和最小，和定積最大通過數(shù)形結(jié)合的思想，理解“形少數(shù)時難入微，數(shù)缺形時少直觀”【課堂小測】學生三分鐘限時小測，學生對答案，解決問題。1.判斷對錯：(5)對任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab均成立．()(6)若a>0，b>0，則ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2).()2.如果a>0，那么a＋eq\f(1,a)＋2的最小值是()A．2B．2eq\r(2)C．3D．4【作業(yè)布置】A層：課本46頁1.2.3，48頁1.2B層：課本46頁4（嘗試一題多解），48頁5設(shè)計意圖：由簡單問題引入，通過數(shù)學知識的內(nèi)部提出問題。培養(yǎng)學生自主學習能力，靈活運用已學知識，體會證明的答題過程。用折紙游戲、代數(shù)法、幾何法分別得到基本不等式的證明過程，分析并理解。培養(yǎng)學生分析問題的能力，感受發(fā)現(xiàn)問題和推導過程讓學生主動觀察、思考、討論的氛圍.在教師的指導下，一方面讓學生經(jīng)歷從特殊到一般，從已知到未知，步步深入的過程。培養(yǎng)學生分析問題的能力，感受發(fā)現(xiàn)問題和推導過程。培養(yǎng)學生自主學習能力，靈活運用已學知識，體會證明的答題過程《基本不等式》學情分析本節(jié)課針對的是高一年級學生，知識上，剛系統(tǒng)學完了不等式性質(zhì)，一元二次不等式，在初中階段，也了解了數(shù)學家趙爽“弦圖”推出勾股定理，圓的垂徑定理，算數(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)。方法上，能夠運用數(shù)形結(jié)合和化歸的思想提煉基本不等式，闡述基本不等式的幾何意義。能力上，運用作差法，綜合法能從數(shù)量關(guān)系上進行邏輯推理驗證基本不等式?！痘静坏仁健沸Ч治龌静坏仁健彪m然表現(xiàn)出很多“基本”的屬性，但實際上基本不等式蘊含了豐富背景與內(nèi)涵，需要深入挖掘；在運用其解決最值問題時也并非只要抓住“一正二定三等”就可以了，很大程度上依賴于變形化簡的技巧，需要花時間去掌握。因此，學生對數(shù)學知識的理解并不是一蹴而就的，尤其是面對數(shù)學一些核心概念、重要的定理與公式，一般需要經(jīng)歷從簡單到復雜、從具體到抽象、由低級到高級，在已有理解基礎(chǔ)上擴展、深化的反復認知過程。正是基于這個基本認知規(guī)律的考量，新教材對“基本不等式”采用了“螺旋上升”的設(shè)計策略，整塊內(nèi)容被分為兩節(jié)，前后知識內(nèi)容雖然有適當?shù)闹貜?，但在學習要求上逐步提高，并使后面的內(nèi)容成為前面內(nèi)容的擴展和深化，從而使教材體現(xiàn)出一個“因襲與擴張”相融合的學習進程?！痘静坏仁健方滩姆治鲎钚掳娼滩闹园选盎静坏仁健鼻爸檬墙?jīng)過了學習的重要性與可能性兩方面的綜合考量。相比舊教材，“基本不等式”的教材地位與教學要求都發(fā)生的變化，由于“基本不等式”本身內(nèi)涵非常豐富，其學習過程不可能一蹴而就，“反復認知，螺旋上升”才是課堂教學的有效策略。本節(jié)在前面研究不等式的性質(zhì)的基礎(chǔ)上，展開了對一種具體的不等式——基本不等式的研究。研究基本不等式的定義、幾何解釋、證明方法與應(yīng)用?；静坏仁脚c學生在初中學過的乘法公式有類似的作用，乘法公式能夠簡化某些特殊形式的代數(shù)式的恒等變形，而基本不等式使解決滿足一定條件的代數(shù)式的最值問題有路可循?；静坏仁娇梢酝ㄟ^許多有趣的方式建立起來，本節(jié)從重要不等式、（上一節(jié)由第24屆國際數(shù)學家大會的會標中抽象得出）說起，取這個不等式的特殊形式，完成推導過程。教學中可以借助上一節(jié)的會標圖形，幫助學生從直觀上理解a與b是否相等與不等式a2十b2≥2ab取什么符號之間的關(guān)系。接下來，教科書闡述了基本不等式的代數(shù)解釋，這不僅有利于加深學生對基本不等式的理解，而且與學生已有的平均數(shù)概念建立了聯(lián)系，便于學生記憶這個不等式。此外，教科書在本課時的練習和習題安排了利用基本不等式求代數(shù)式的最大值或最小值的變式練習，如第46頁"練習"的第4題，習題2.2的第1題的第（1）小題，是通過變形構(gòu)造兩個正數(shù)的和為定值或積為定值的問題。教學中可以根據(jù)給定代數(shù)式的形式，結(jié)合基本不等式的使用條件，引導學生對代數(shù)式進行變形。對于這類問題，教科書有意控制了這種變式問題的難度，設(shè)置的問題都是通過簡單變形就符合基本不等式應(yīng)用條件的問題。教學中也要注意本部分內(nèi)容的教學重點是"能用基本不等式解決簡單的最大值或最小值問題"。例1是用基本不等式求代數(shù)式最小值問題中的最簡情形.教科書在解決問題之前，先解釋了求代數(shù)式最小值的含義，在本例之后，還強調(diào)了代數(shù)式的最小值必須是代數(shù)式能取到的值.本例的解答則從所求代數(shù)式與基本不等式在形式上的聯(lián)系入手，教學中可以用"一正、二定、三相等"這種通俗易懂的語言幫助學生理解和記憶能應(yīng)用基本不等式解決問題的特點。例2讓學生用基本不等式證明兩類最值問題。教科書設(shè)置例2的目的，一是在例1的基礎(chǔ)上再給出一道直接利用基本不等式證明數(shù)學問題的例題;二是借此題的題干給出了利用基本不等式解決問題的兩個數(shù)學模型，根據(jù)這兩個數(shù)學模型可知，有兩類最值問題可以用基本不等式解決，即"兩個正數(shù)的積為定值，當這兩個數(shù)取什么值時，它們的和有最小值"和"兩個正數(shù)的和為定值，當這兩個數(shù)取什么值時，它們的積有最大值"，這就為第二課時解決例3，例4埋下了伏筆?！痘静坏仁健氛n后反思基本不等式雖然表現(xiàn)出很多“基本”的屬性，但實際上蘊含了豐富背景與內(nèi)涵，需要深入挖掘，結(jié)合學生自己已有的經(jīng)驗和知識，類比重要不等式證明的兩個方法，讓學生經(jīng)歷了概念概括的過程，從具體到一般的推廣過程，發(fā)展了學生理性的思維能力，樹立了敢于批判質(zhì)疑的意識，形成勇于探究思考的習慣。在運用其解決最值問題時也并非只要抓住“一正二定三等”就可以了，很大程度上依賴于變形化簡的技巧，需要花時間去掌握。因此，學生對數(shù)學知識的理解并不是一蹴而就的，尤其是面對數(shù)學一些核心概念、重要的定理與公式，一般需要經(jīng)歷從簡單到復雜、從具體到抽象、由低級到高級，在已有理解基礎(chǔ)上擴展、深化的反復認知過程。正是基于這個基本認知規(guī)律的考量，新教材對“基本不等式”采用了“螺旋上升”的設(shè)計策略，整塊內(nèi)容被分為兩節(jié)，前后知識內(nèi)容雖然有適當?shù)闹貜?，但在學習要求上逐步提高，并使后面的內(nèi)容成為前面內(nèi)容的擴展和深化，從而使教材體現(xiàn)出一個“因襲與擴張”相融合的學習進程。在本次賽課的準備階段經(jīng)過一次次的琢磨、改正、調(diào)整，我在專業(yè)上得到了進步，不僅對本節(jié)課有了更深的理解和把握，同時也加強了我的教學基本功。在今后的授課當中，也要本著“整合、精簡、建構(gòu)，提高”的方向去努力，提高我的教學能力?！痘静坏仁健吩u測練習【例1】已知，求的最小值.變式1：已知，求的最小值.變式2：已知，求的最大值.變式3：已知，求的最小值.【例2】已知x，y都是正數(shù)，求證：練習：當堂檢測判斷對錯：(5)對任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab均成立．()(6)若a>0，b>0，則ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2).()2.如果a>0，那么a＋eq\f(1,a)＋2的最小值是()A．2B．2eq\r(2)C．3D．4作業(yè)布置A層：課本46頁1.2.3，48頁1.2B層：課本46