【高一數(shù)學(xué)暑假培優(yōu)】第4章：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)基礎(chǔ)檢測卷（原卷+解析卷）-人教A版2023必修第一冊

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第4章：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)基礎(chǔ)檢測卷

（試卷滿分150分，考試用時120分鐘）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.

1．函數(shù)（且）的圖象恒過定點（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】對于函數(shù)，則，可得，則，

所以，函數(shù)（且）的圖象恒過定點坐標(biāo)為.故選：C.

2．設(shè)，那么m等于（）

A．B．9C．18D．27

【答案】B

【解析】,

，，故選：B.

3．函數(shù)的值域為（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】令，則，

又在上單調(diào)遞增，所以，

故函數(shù)的值域為．故選：B．

4．碘—131經(jīng)常被用于對甲狀腺的研究，它的半衰期大約是8天（即經(jīng)過8天的時間，有一半的碘—131會衰變?yōu)槠渌兀?今年3月1日凌晨，在一容器中放入一定量的碘—131，到3月25日凌晨，測得該容器內(nèi)還剩有2毫克的碘—131，則3月1日凌晨，放入該容器的碘—131的含量是（）

A．8毫克B．16毫克C．32毫克D．64毫克

【答案】B

【解析】設(shè)3月1日凌晨放入該容器的碘—131的含量是x毫克，

由題意，3月1日凌晨到月25日凌晨共經(jīng)歷了3個半衰期，所以，

解得，即放入該容器的碘—131的含量是16毫克.故選：B

5．若函數(shù)對任意都有，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】由得，在R上是減函數(shù)，

則有，解得.故選：D.

6．已知函數(shù)（為常數(shù)，其中）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】由函數(shù)圖象可知函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，結(jié)合可知，

當(dāng)時，，

當(dāng)時，，故，故選：D

7．函數(shù)在區(qū)間上的零點必屬于區(qū)間（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】解法一：二分法

由已知可求得，，，，

，.

對于A項，因為，所以A項錯誤；

對于B項，因為，所以B項錯誤；

對于C項，因為，所以C項錯誤；

對于D項，因為，所以D項正確.

解法二：因為，所以，

即函數(shù)在區(qū)間上的零點為2，故D正確.故選：D.

8．已知，，，則（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】因為在R上單調(diào)遞減，故，即，

因為在上單調(diào)遞增，故，

因為在上單調(diào)遞減，故，

故.故選：C．

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9．下列運算中正確的是（）

A．B．

C．若，則D．

【答案】BD

【解析】對于選項A，由換底公式可得，故A不正確；

對于選項B，，故B正確；

對于選項C，設(shè)，兩邊分別平方可得，

因為，所以，故，故C不正確；

對于選項D，，故D正確．故選：BD．

10．關(guān)于函數(shù)與函數(shù)說法正確的有（）

A．互為反函數(shù)B．的圖像關(guān)于原點對稱

C．必有一交點D．的圖像關(guān)于對稱

【答案】AD

【解析】與函數(shù)是互為反函數(shù)，

圖像關(guān)于對稱，故AD選項正確;

的圖像不關(guān)于原點對稱，故B選項錯誤;

當(dāng)時,沒有交點，故C選項錯誤;故選:AD.

11．（多選）定義在上的函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）

A．的單調(diào)遞減區(qū)間是B．的單調(diào)遞增區(qū)間是

C．的最大值是D．的最小值是

【答案】ACD

【解析】設(shè)，，則是增函數(shù)，且，

又函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故A正確，B錯誤；

，故C正確；

，，因此的最小值是，故D正確．故選:ACD．

12．關(guān)于函數(shù)，下列描述正確的有（）

A．在區(qū)間上單調(diào)遞增B．的圖象關(guān)于直線對稱

C．若則D．有且僅有兩個零點

【答案】ABD

【解析】根據(jù)圖象變換作出函數(shù)的圖象（，作出的圖象，

再作出其關(guān)于軸對稱的圖象，然后向右平移2個單位，

最后把軸下方的部分關(guān)于軸翻折上去即可得），如圖，

由圖象知在是單調(diào)遞增，A正確，函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，B正確；

，直線與函數(shù)圖象相交可能是4個交點，如圖，

如果最左邊兩個交點橫坐標(biāo)分別是，則不成立，C錯誤，

與軸僅有兩個公共點，即函數(shù)僅有兩個零點，D正確．故選：ABD．

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13．求函數(shù)的定義域______．

【答案】

【解析】要使原函數(shù)有意義，則，即，解得或．

所以，函數(shù)的定義域為．

故答案為：

14．設(shè)，，為奇函數(shù)，則的值為__________．

【答案】

【解析】要使為奇函數(shù)，∵,∴需，

∴，

由,得,．故答案為：1.

15．已知函數(shù)在區(qū)間上存在一個零點，用二分法求該零點的近似值，其參考數(shù)據(jù)如下：，，，，，，據(jù)此可得該零點的近似值為________．（精確到）

【答案】

【解析】因為，，即，

所以由零點存在定理可知的零點在之間，近似值為.故答案為：.

16．若方程的兩根分別在區(qū)間和內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是__________．

【答案】

【解析】令，

因為方程的兩根分別在區(qū)間和內(nèi)，

所以，解得，故答案為：

四．解答題：本小題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17．（1）化簡：；

（2）計算：．

【答案】（1）（2）

【解析】（1）；

（2）.

18．已知函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過點．

（1）求的值；

（2）比較的的大??；

（3）求函數(shù)的值域．

【答案】（1）a；（2）答案見解析；（3）

【解析】（1）因為函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過點，

所以，，

因為且，解得.

（2）因為函數(shù)為上的減函數(shù)，且，

當(dāng)時，，則，

當(dāng)時，，則.

綜上所述，當(dāng)時，；當(dāng)時，.

（3）因為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，

所以，.

19．某生物研究者于元旦在湖中放入一些鳳眼蓮（其覆蓋面積為），這些鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，二月底測得鳳眼蓮的覆蓋面積為，三月底測得鳳眼蓮的覆蓋面積為，鳳眼蓮的覆蓋面積（單位：）與月份（單位：月）的關(guān)系有兩個函數(shù)模型與可供選擇.

（1）試判斷哪個函數(shù)模型更合適并求出該模型的解析式；

（2）求鳳眼蓮的覆蓋面積是元旦放入鳳眼蓮面積倍以上的最小月份.（參考數(shù)據(jù)：，）.

【答案】（1）選擇模型符合要求，解析式為；（2）

【解析】（1）函數(shù)與在上都是增函數(shù)，

隨著的增加，函數(shù)的值增加的越來越快，

而函數(shù)的值增加的越來越慢，

由于鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，

因此選擇模型符合要求.

根據(jù)題意可知時，時，，

，解得.

故該函數(shù)模型的解析式為；

（2）當(dāng)時，，元旦放入鳳眼蓮的覆蓋面積是，

由，得，

，

，

即鳳眼蓮的覆蓋面積是元旦放入鳳眼蓮面積10倍以上的最小月份是六月份.

20．設(shè)，且.

（1）求的值及的定義域；

（2）求在區(qū)間上的最大值.

【答案】（1）2，；（2）2.

【解析】（1）∵，∴，∴.

由，解得，

∴函數(shù)的定義域為.

（2），

∴當(dāng)時，是增函數(shù)；當(dāng)時，是減函數(shù)，

函數(shù)在上的最大值是.

21．已知函數(shù)是偶函數(shù)．

（1）求的值；

（2）若函數(shù)，且在區(qū)間上為增函數(shù)，求m的取值范圍．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）由是偶函數(shù)可得，

則，即,

所以恒成立，故.

（2）由（1）得，

所以，

令，則．

為使為單調(diào)增函數(shù)，則

①時顯然滿足題意；

②；

③.

綜上：m的范圍為.

22．已知函數(shù)．

（1）求不等式的解集；

（2）若函數(shù)有三個零點，求實數(shù)的取值范圍．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）當(dāng)時，由，得；

當(dāng)時，由，得，

綜上所述，不等式的解集為：．

（2）函數(shù)有三個零點，即方程有三個不同實數(shù)根，

等價于函數(shù)與函數(shù)的圖象有三個不同的交點，如圖所示，

由圖可知，，解得或，

所以實數(shù)的取值范圍為：．

21世紀(jì)教育網(wǎng)精品試卷·第2頁（共2頁）

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第4章：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)基礎(chǔ)檢測卷

（試卷滿分150分，考試用時120分鐘）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.

1．函數(shù)（且）的圖象恒過定點（）

A．B．C．D．

2．設(shè)，那么m等于（）

A．B．9C．18D．27

3．函數(shù)的值域為（）

A．B．C．D．

4．碘—131經(jīng)常被用于對甲狀腺的研究，它的半衰期大約是8天（即經(jīng)過8天的時間，有一半的碘—131會衰變?yōu)槠渌兀?今年3月1日凌晨，在一容器中放入一定量的碘—131，到3月25日凌晨，測得該容器內(nèi)還剩有2毫克的碘—131，則3月1日凌晨，放入該容器的碘—131的含量是（）

A．8毫克B．16毫克C．32毫克D

5．若函數(shù)對任意都有，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A．B．C．D．

6．已知函數(shù)（為常數(shù)，其中）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是（）

A．B．C．D．

7．函數(shù)在區(qū)間上的零點必屬于區(qū)間（）

A．B．C．D．

8．已知，，，則（）

A．B．C．D．

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9．下列運算中正確的是（）

A．B．

C．若，則D．

10．關(guān)于函數(shù)與函數(shù)說法正確的有（）

A．互為反函數(shù)B．的圖像關(guān)于原點對稱

C．必有一交點D．的圖像關(guān)于對稱

11．（多選）定義在上的函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）

A．的單調(diào)遞減區(qū)間是B．的單調(diào)遞增區(qū)間是

C．的最大值是D．的最小值是

12．關(guān)于函數(shù)，下列描述正確的有（）

A．在區(qū)間上單調(diào)遞增B．的圖象關(guān)于直線對稱

C．若則D．有且僅有兩個零點

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13．求函數(shù)的定義域______．

14．設(shè)，，為奇函數(shù)，則的值為__________．

15．已知函數(shù)在區(qū)間上存在一個零點，用二分法求該零點的近似值，其參考數(shù)據(jù)如下：，，，，，，據(jù)此可得該零點的近似值為________．（精確到）

16．若方程的兩根分別在區(qū)間和內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是__________．

四．解答題：本小題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17．（1）化簡：；

（2）計算：．

18．已知函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過點．

（1）求的值；

（2）比較的的大??；

（3）求函數(shù)的值域．

19．某生物研究者于元旦在湖中放入一些鳳眼蓮（其覆蓋面積為），這些鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，二月底測得鳳眼蓮的覆蓋面積為，三月底測得鳳眼蓮的覆蓋面積為，鳳眼蓮的覆蓋面積（單位