2022-2023學年浙江省臺州市振華中學高三數學理期末試卷含解析

2022-2023學年浙江省臺州市振華中學高三數學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若集合，那么（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A略2.（理）已知函數，則下列關于函數的零點的個數判斷正確的是A．當時有3個零點，當時有2個零點。B．當時有4個零點，當時有1個零點。

C．無論取何值均有2個零點

D．無論取何值均有4個零點。參考答案：B3.設復數z=（i為虛數單位），z的共軛復數為，則在復平面內i對應當點的坐標為（）A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（1，﹣1） D．（﹣1，﹣1）參考答案：C【考點】復數代數形式的乘除運算．【分析】化簡復數為a+bi的形式，即可得到復數i對應當點的坐標．【解答】解：復數z=====﹣1+i，i=1﹣i，在復平面內i對應當點的坐標為（1，﹣1）．故選：C．4.在中，是的中點，則的長度為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A5.設函數f（x）滿足x2f′（x）+2xf（x）=，f（2）=，則x＞0時，f（x）（）A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值C．既有極大值又有極小值 D．既無極大值也無極小值參考答案：D【考點】函數在某點取得極值的條件；導數的運算．【專題】壓軸題；導數的綜合應用．【分析】令F（x）=x2f（x），利用導數的運算法則，確定f′（x）=，再構造新函數，確定函數的單調性，即可求得結論．【解答】解：∵函數f（x）滿足，∴令F（x）=x2f（x），則F′（x）=，F（2）=4?f（2）=．由，得f′（x）=，令φ（x）=ex﹣2F（x），則φ′（x）=ex﹣2F′（x）=．∴φ（x）在（0，2）上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增，∴φ（x）的最小值為φ（2）=e2﹣2F（2）=0．∴φ（x）≥0．又x＞0，∴f′（x）≥0．∴f（x）在（0，+∞）單調遞增．∴f（x）既無極大值也無極小值．故選D．【點評】本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與極值，考查學生分析解決問題的能力，難度較大．6.數列滿足，，記數列前n項的和為Sn，若對任意的恒成立，則正整數的最小值為

（

）

A．10

B．9

C．8

D．7參考答案：A7.設i是虛數單位，是復數z的共軛復數，若z=2（+i），則z=（）A．﹣1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．1﹣i參考答案：B【考點】復數代數形式的乘除運算．【專題】數系的擴充和復數．【分析】設出復數z=a+bi（a，b∈R），代入z?=2（+i）后整理，利用復數相等的條件列關于a，b的方程組求解a，b，則復數z可求．【解答】解：設z=a+bi（a，b∈R），則=a﹣bi，由z=2（+i），得（a+bi）（a﹣bi）=2[a+（b﹣1）i]，整理得a2+b2=2a+2（b﹣1）i．則，解得．所以z=1+i．故選B．【點評】本題考查了復數代數形式的混合運算，考查了復數相等的條件，兩個復數相等，當且僅當實部等于實部，虛部等于虛部，是基礎題．8.從1開始的自然數按如圖所示的規(guī)則排列，現有一個三角形框架在圖中上下或左右移動，使每次恰有九個數在此三角形內，則這九個數的和可以為（） A．2097 B． 2112 C． 2012 D． 2090參考答案：C略9.從正方形四個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，則這2個點的距離不小于該正方形的邊長的概率為

（

）(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：C10.如下圖所示，由若干個點組成形如三角形的圖形，每條邊（包括兩個端點）有個點，每個圖形總的點數記為，則（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若雙曲線的左、右焦點分別為F1,F2，線段F1F2被拋物線的焦點分成5：3兩段，則此雙曲線的離心率為_____________.參考答案：略12.已知點分別為雙曲線的左、右焦點，點為該雙曲線左支上的任意一點．若的最小值為，則該雙曲線離心率的取值范圍是

參考答案：略13.不等式+kx+1≥0對于x∈[﹣1，1]恒成立，則實數k的取值范圍是

．參考答案：[﹣1，1]【考點】函數恒成立問題．【專題】函數的性質及應用．【分析】將不等式恒成立轉化為函數關系，構造函數，利用數形結合進行求解即可．【解答】解：不等式+kx+1≥0對于x∈[﹣1，1]恒成立，等價為+1≥﹣kx對于x∈[﹣1，1]恒成立，設y=+1（y≥1），則等價為x2+（y﹣1）2=1對應的軌跡為以（0，1）為圓心，半徑為1的上半圓，則A（1，1），B（﹣1，1），若+1≥﹣kx對于x∈[﹣1，1]恒成立，則等價為A，B在直線y=﹣kx的上方或在直線上即可，即A（1，1），B（﹣1，1），在不等式y(tǒng)≥﹣kx對應的區(qū)域內，則滿足，即，解得﹣1≤k≤1，故答案為：[﹣1，1]．【點評】本題主要考查不等式恒成立問題，構造函數，利用數形結合是解決本題的關鍵．14.在中，角A、B、C的對邊邊長分別是a、b、c，若，，，則c的值為

．參考答案：2

∵，∴，∴，∴，∴，∴．15.若兩個等差數列、的前項和分別為、，對任意的都有

，則=

參考答案：16.已知P是拋物線上的一動點，則點P到直線和的距離之和的最小值是__________．參考答案：2【分析】先設，根據點到直線距離公式得到到距離為，再得到到距離為，進而可求出結果.【詳解】解：設，則到距離為，則到距離為，∵，∴點到兩直線距離和為，∴當時，距離和最小為．故答案為2【點睛】本題主要考查拋物線的應用，熟記拋物線的定義與簡單性質即可，屬于?？碱}型.17.已知M是x2=8y的對稱軸與準線的交點，點N是其焦點，點P在該拋物線上，且滿足|PM|=m|PN|，當m取得最大值時，點P恰在以M、N為焦點的雙曲線上，則該雙曲線的實軸長為．參考答案：4（﹣1）考點：雙曲線的簡單性質．專題：計算題；圓錐曲線的定義、性質與方程．分析：過P作準線的垂線，垂足為B，則由拋物線的定義，結合|PM|=m|PN|，可得=，設PM的傾斜角為α，則當m取得最大值時，sinα最小，此時直線PM與拋物線相切，求出P的坐標，利用雙曲線的定義，即可得出結論．解答：解：過P作準線的垂線，垂足為B，則由拋物線的定義可得|PN|=|PB|，∵|PM|=m|PN|，∴|PM|=m|PB|∴=，設PM的傾斜角為α，則sinα=，當m取得最大值時，sinα最小，此時直線PM與拋物線相切，設直線PM的方程為y=kx﹣2，代入x2=8y，可得x2=8（kx﹣2），即x2﹣8kx+16=0，∴△=64k2﹣64=0，∴k=±1，∴P（4，2），∴雙曲線的實軸長為PM﹣PN=﹣4=4（﹣1）．故答案為：4（﹣1）．點評：本題考查拋物線的性質，考查雙曲線、拋物線的定義，考查學生分析解決問題的能力，當m取得最大值時，sinα最小，此時直線PM與拋物線相切，是解題的關鍵．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某突發(fā)事件，在不采取任何預防措施的情況下發(fā)生的概率為0.3，一旦發(fā)生，將造成400萬元的損失.現有甲、乙兩種相互獨立的預防措施可供采用.單獨采用甲、乙預防措施所需的費用分別為45萬元和30萬元，采用相應預防措施后此突發(fā)事件不發(fā)生的概率為0.9和0.85.若預防方案允許甲、乙兩種預防措施單獨采用、聯合采用或不采用(總費用=采取預防措施的費用+發(fā)生突發(fā)事件損失的期望值.)（1）求不采取任何措施下的總費用；（2）請確定預防方案使總費用最少.參考答案：①不采取預防措施時，總費用即損失期望為400×0.3=120(萬元)；②若單獨采取預防措施甲，則預防措施費用為45萬元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為1－0.9=0.1，損失期望值為400×0.1=40(萬元)，所以總費用為45+40=85(萬元)；③若單獨采取預防措施乙，則預防措施費用為30萬元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為1－0.85=0.15，損失期望值為400×0.15=60(萬元)，所以總費用為30+60=90(萬元)；④若聯合采取甲、乙兩種預防措施，則預防措施費用為45+30=75(萬元)，發(fā)生突發(fā)事件的概率為(1－0.9)(1－0.85)=0.015，損失期望值為400×0.015=6(萬元)，所以總費用為75+6=81(萬元).綜合①、②、③、④，比較其總費用可知，應選擇聯合采取甲、乙兩種預防措施，可使總費用最少.略19.已知拋物線y2=2px（p＞0），過點C（﹣2，0）的直線l交拋物線于A，B兩點，坐標原點為O，?=12．（I）求拋物線的方程；（Ⅱ）當以AB為直徑的圓與y軸相切時，求直線l的方程．參考答案：【考點】K8：拋物線的簡單性質．【分析】（Ⅰ）設l：x=my﹣2，代入y2=2px，可得根與系數的關系，再利用?=12，可得x1x2+y1y2=12，代入即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）（?）化為y2﹣4my+8=0．設AB的中點為M，可得|AB|=2xm=x1+x2=m（y1+y2）﹣4=4m2﹣4，又|AB|=|y1﹣y2|=，聯立解出m即可得出．【解答】解：（Ⅰ）設l：x=my﹣2，代入y2=2px，可得y2﹣2pmy+4p=0．（?）設A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2=2pm，y1y2=4p，則x1x2==4．∵?=12，∴x1x2+y1y2=12，即4+4p=12，得p=2，拋物線的方程為y2=4x．（Ⅱ）由（Ⅰ）（?）化為y2﹣4my+8=0．y1+y2=4m，y1y2=8．設AB的中點為M，則|AB|=2xm=x1+x2=m（y1+y2）﹣4=4m2﹣4，①又|AB|=|y1﹣y2|=，②由①②得（1+m2）（16m2﹣32）=（4m2﹣4）2，解得m2=3，m=±．∴直線l的方程為x+y+2=0，或x﹣y+2=0．【點評】本題考查了拋物線的標準方程及其性質、直線與拋物線相交問題轉化為方程聯立可得根與系數的關系、焦點弦長公式、弦長公式、直線與圓相切的性質、數量積運算，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．20.(本題滿分12分)已知，且圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為，（1）求的值；（2）求在上的值域.參考答案：（1）

………5分2），

……12分21.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，且橢圓C與圓M：x2+（y﹣3）2=4的公共弦長為4（1）求橢圓C的方程；（2）已知O為坐標原點，過橢圓C的右頂點A作直線l與圓x2+y2=相切并交橢圓C于另一點，求?的值．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質．【分析】（1）運用橢圓的離心率公式和對稱性可得橢圓經過點（±2，3），代入橢圓方程，解得a，b，進而得到橢圓方程；（2）設過右頂點A（4，0）的直線l為y=k（x﹣4），由直線和圓相切的條件：d=r，可得k，再由直線方程代入橢圓方程，運用韋達定理，可得B的橫坐標，結合向量的數量積的坐標表示，即可得到所求值．【解答】解：（1）由題意可得e==，a2﹣b2=c2，橢圓C與圓M：x2+（y﹣3）2=4的公共弦長為4，可得橢圓經過點（±2，3），即有+=1，解得a=4，b=2，即有橢圓的方程為+=1；（2）設過右頂點A（4，0）的直線l為y=k（x﹣4），由直線與圓x2+y2