福建省福州市關(guān)元中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

福建省福州市關(guān)元中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.“”是“”的(

)條件.A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要參考答案：B【分析】先求出等價的條件，然后根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判定即可?！驹斀狻繉?shù)函數(shù)為定義在上的單調(diào)遞增函數(shù)，，“”是“”的必要不充分條件，故答案選B【點睛】本題主要考查充分條件與必要條件的判斷，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)充分條件和必要條件的定義是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題。2.命題“若，則”是真命題，則下列一定是真命題的是（A）若，則

（B）若，則

（C）若，則

（D）若，則參考答案：C3.對拋物線，下列描述正確的是（

）A開口向上，焦點為 B開口向上，焦點為C開口向右，焦點為 D開口向右，焦點為參考答案：B4.設(shè)點是橢圓與拋物線的一個交點，則點到橢圓中心的距離為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C5.在等差數(shù)列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，則2a10﹣a12的值為（）A．20 B．22 C．24 D．28參考答案：C【考點】等差數(shù)列的性質(zhì)．【專題】計算題．【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，項數(shù)之和相等的兩項之和相等且等于項數(shù)之和一半的項，把已知條件化簡后，即可求出a8的值，然后再由等差數(shù)列的性質(zhì)得到所求的式子與a8的值相等，即可求出所求式子的值．【解答】解：由a4+a6+a8+a10+a12=（a4+a12）+（a6+a10）+a8=5a8=120，解得a8=24，且a8+a12=2a10，則2a10﹣a12=a8=24．故選C【點評】此題考查學(xué)生靈活運用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡求值，是一道中檔題．6.如果命題p是假命題，命題q是真命題，則下列錯誤的是（

）A．“p且q”是假命題 B．“p或q”是真命題C．“非p”是真命題 D．“非q”是真命題參考答案：D7.在區(qū)間[0,10]內(nèi)隨機取出兩個數(shù)，則這兩個數(shù)的平方和也在區(qū)間[0,10]內(nèi)的概率是（

）A．

B．

C． D．參考答案：D記隨機取出兩個數(shù)分別為，由，所以點在直角坐標(biāo)系內(nèi)所占區(qū)域面積為100，若，則點在直角坐標(biāo)系內(nèi)所占區(qū)域面積為，所以，概率，故選D．

8.在正方體中，若點P（異于點B）是棱上一點，則滿足PB和所成的角為45°的點P有（

）A.6個 B.4個 C.3個 D.2個參考答案：C【分析】將各個頂點分別與的連線與直線所成的角大于等于45°和小于45°兩類；從而可知當(dāng)點在上運動時都經(jīng)歷了從小于45°到大于45°的變化，從而得到結(jié)果.【詳解】如圖，將正方體的各個頂點（除點外）分類，規(guī)定當(dāng)頂點與的連線與直線所成的角大于等于45°時為一類，小于45°時為一類顯然與所成角的正切值為，故大于與所成角的為90°，大于45°與所成角的為60°，大于45°與所成角的正切值為，小于45°當(dāng)點從運動到時，角度從大于45°變化到小于45°，一定經(jīng)過一個點滿足45°；依此類推，當(dāng)點在上運動時，都經(jīng)歷過角度從小于45°到大于45°的變化，故滿足條件的點共有3個本題正確選項：C【點睛】本題考查立體幾何知識的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠利用類似于函數(shù)的零點存在性定理的方式，通過確定角度的變化規(guī)律，找到變化過程中的臨界點，通過一上一下兩點的角度變化特點得到是否存在滿足要求的點，屬于較難題.

9.某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積是A．8cm3B．12cm3

C.cm3

D.cm3參考答案：C10.設(shè)原命題為：“若空間兩個向量與()共線，則存在實數(shù)，使得”則其逆命題、否命題、逆否命題為真的個數(shù)(

)A．1 B．2

C．3 D．4參考答案：C考點：四種命題二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知復(fù)數(shù)則虛部的最大值為

.參考答案：略12.已知正三棱錐P﹣ABC，點P，A，B，C都在半徑為的球面上，若PA，PB，PC兩兩相互垂直，則球心到截面ABC的距離為

．參考答案：【考點】球的體積和表面積．【分析】先利用正三棱錐的特點，將球的內(nèi)接三棱錐問題轉(zhuǎn)化為球的內(nèi)接正方體問題，從而將所求距離轉(zhuǎn)化為正方體中，中心到截面的距離問題，利用等體積法可實現(xiàn)此計算．【解答】解：∵正三棱錐P﹣ABC，PA，PB，PC兩兩垂直，∴此正三棱錐的外接球即以PA，PB，PC為三邊的正方體的外接球O，∵球O的半徑為，∴正方體的邊長為，即PA=PB=PC=，球心到截面ABC的距離即正方體中心到截面ABC的距離，設(shè)P到截面ABC的距離為h，則正三棱錐P﹣ABC的體積V=S△ABC×h=，△ABC為邊長為的正三角形，S△ABC=×（）2=，∴h=，∴球心（即正方體中心）O到截面ABC的距離為．故答案為．【點評】本題主要考球的內(nèi)接三棱錐和內(nèi)接正方體間的關(guān)系及其相互轉(zhuǎn)化，棱柱的幾何特征，球的幾何特征，點到面的距離問題的解決技巧，有一定難度，屬中檔題．13.某企業(yè)有3個分廠生產(chǎn)同一種電子產(chǎn)品，第一、二、三分廠的產(chǎn)量之比為1:2:1，用分層抽樣方法（每個分廠的產(chǎn)品為一層）從3個分廠生產(chǎn)的電子產(chǎn)品中共抽取100件作使用壽命的測試，由所得的測試結(jié)果算得從第一、二、三分廠取出的產(chǎn)品的使用壽命的平均值分別為980h,1020h,1032h,則抽取的100件產(chǎn)品的使用壽命的平均值為__________h.

參考答案：1013略14.設(shè)f（x）=﹣x3+x2+2ax，若f（x）在（，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則a的取值范圍是．參考答案：a＞

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】函數(shù)f（x）在（，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，即f′（x）＞0在（，+∞）上有解，只需f′（）＞0即可，根據(jù)一元二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵，∴函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=﹣x2+x+2a，若函數(shù)f（x）在（，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，即f′（x）＞0在（，+∞）上有解∵f′（x）=﹣x2+x+2a，∴只需f′（）＞0即可，由f′（）=﹣++2a=2a+＞0，解得a＞，故答案為：a＞．15.若x＞2，則x+的最小值為

．參考答案：4【考點】基本不等式．【分析】本題可以配成積為定值形式，然后用基本不等式得到本題結(jié)論．【解答】解：∵x＞2，∴x﹣2＞0，∴x+=x﹣2++2≥2+2=4，當(dāng)且僅當(dāng)x=3時取等號，∴x+的最小值為4，故答案為：416.從盛滿2升純酒精的容器里倒出1升，然后加滿水，再倒出1升混合溶液后又用水填滿，以此繼續(xù)下去，則至少應(yīng)倒

次后才能使純酒精體積與總?cè)芤旱捏w積之比低于10%．參考答案：4【考點】等比數(shù)列的通項公式．【分析】設(shè)開始的濃度為1，操作1次后的濃度為a1=1﹣，操作n次后的濃度為an，則an+1=an（1﹣），利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．【解答】解：設(shè)開始的濃度為1，操作1次后的濃度為a1=1﹣，操作n次后的濃度為an，則an+1=an（1﹣），∴數(shù)列{an}構(gòu)成a1=1﹣為首項，q=1﹣為公比的等比數(shù)列，∴an=（1﹣）n，即第n次操作后溶液的濃度為（1﹣）n；當(dāng)a=2時，可得an=（1﹣）n=，由an=（）n＜，解得n＞4．∴至少應(yīng)倒4次后才能使酒精的濃度低于10%．故答案為：4．17.定義：稱為n個正數(shù)p1，p2，…，pn的“均倒數(shù)”，若數(shù)列{an}的前n項的“均倒數(shù)”為，則數(shù)列{an}的通項公式為．參考答案：4n﹣3【考點】數(shù)列的函數(shù)特性．【分析】設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn．由題意可得：=，即Sn=2n2﹣n，利用遞推關(guān)系即可得出．【解答】解：設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn．由題意可得：=，∴Sn=2n2﹣n，∴n=1時，a1=S1=1；n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=2n2﹣n﹣[2（n﹣1）2﹣（n﹣1）]=4n﹣3，n=1時上式也成立，∴an=4n﹣3．故答案為：4n﹣3．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（10分）已知角，且，(I)求的值；(II)求的值.參考答案：

…………2分(I)

…………5分(II)

又

………7分

………10分19.號碼為1、2、3、4、5、6的六個大小相同的球，放入編號為1、2、3、4、5、6的六個盒子中，每個盒子只能放一個球．（Ⅰ）若1號球只能放在1號盒子中，2號球只能放在2號的盒子中，則不同的放法有多少種？（Ⅱ）若3號球只能放在1號或2號盒子中，4號球不能放在4號盒子中，則不同的放法有多少種？（Ⅲ）若5、6號球只能放入號碼是相鄰數(shù)字的兩個盒子中，則不同的放法有多少種？參考答案：（Ⅰ）1號球放在1號盒子中，2號球放在2號的盒子中有（種）．…………4分（Ⅱ）3號球只能放在1號或2號盒子中，則3號球有兩種選擇，4號球不能放在4號盒子中，則有4種選擇，則3號球只能放在1號或2號盒子中，4號球不能放在4號盒子中有（種）．

……………8分（Ⅲ）號碼是相鄰數(shù)字的兩個盒子有1與2、2與3、3與4、4與5、5與6共5種情況，則符合題意的放法有（種）．

……………12分

略20.復(fù)數(shù)z=（1﹣i）a2﹣3a+2+i（a∈R），（1）若z=，求|z|；（2）若在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在第一象限，求a的范圍．參考答案：【考點】復(fù)數(shù)求模；復(fù)數(shù)的基本概念．【專題】數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】（1）根據(jù)z=，確定方程即可求|z|；（2）利用復(fù)數(shù)的幾何意義，即可得到結(jié)論．【解答】解

z=（1﹣i）a2﹣3a+2+i=a2﹣3a+2+（1﹣a2）i，（1）由知，1﹣a2=0，故a=±1．當(dāng)a=1時，z=0；當(dāng)a=﹣1時，z=6．（2）由已知得，復(fù)數(shù)的實部和虛部皆大于0，即，即，所以﹣1＜a＜1．【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，以及復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，比較基礎(chǔ)．21.(本小題滿分10分)解答下列問題：（1）求平行于直線3x+4y-2=0,且與它的距離是1的直線方程；（2）求垂直于直線x+3y-5=0且與點P(-1,0)的距離是的直線方程.參考答案：(1)

3x+4y+3=0或3x+4y-7=0；(2)3x-y+9=0或3x-y-3=0。22.設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．（1）若a是從0，1，2，3四個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0，1，2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率．（2）若a是從區(qū)間[0，3]任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間[0，2]任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率．參考答案：【考點】CB：古典概型及其概率計算公式；CF：幾何概型．【分析】首先分析一元二次方程有實根的條件，得到a≥b（1）本題是一個古典概型，試驗發(fā)生包含的基本事件可以通過列舉得到結(jié)果數(shù)，滿足條件的事件在前面列舉的基礎(chǔ)上得到結(jié)果數(shù)，求得概率．（2）本題是一個幾何概型，試驗的全部結(jié)束所構(gòu)成的區(qū)域為{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，滿足條件的構(gòu)成事件A的區(qū)域為{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，根據(jù)概率等于面積之比，得到概率．【解答】解：設(shè)事件A為“方程有實根