根與系數(shù)的關(guān)系知識(shí)點(diǎn)及綜合應(yīng)用

根與系數(shù)的關(guān)系知識(shí)點(diǎn)及綜合應(yīng)用

鹿邑前沿教育：根與系數(shù)的關(guān)系知識(shí)點(diǎn)及綜合應(yīng)用一、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系(1)若方程$ax^2+bx+c=0$的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是$x_1$，$x_2$，則$x_1+x_2=-\frac{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。(2)若一個(gè)方程的兩個(gè)根為$x_1$，$x_2$，那么這個(gè)一元二次方程為$a(x-x_1)(x-x_2)=0$。二、根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用：(1)驗(yàn)根：不解方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可以檢驗(yàn)兩個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的兩根。(2)判別一元二次方程兩根的符號(hào)。對(duì)于$ax^2+bx+c=0$來(lái)說(shuō)，往往二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)皆為已知，可據(jù)此求出根的判別式$\Delta=b^2-4ac$，但$\Delta$只能用于判定根的存在與否。若判定根的正負(fù)，則需要確定$b$或$a$的正負(fù)情況。因此解答此題的關(guān)鍵是：$b$或$a$的正負(fù)情況。例1：不解方程，判別方程兩根的符號(hào)。分析：對(duì)于$ax^2+bx+c=0$來(lái)說(shuō)，往往二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)皆為已知，可據(jù)此求出根的判別式$\Delta=b^2-4ac$，但$\Delta$只能用于判定根的存在與否。若判定根的正負(fù)，則需要確定$b$或$a$的正負(fù)情況。因此解答此題的關(guān)鍵是：$b$或$a$的正負(fù)情況。解：$\because\Delta=b^2-4ac=(-7)^2-4\times2\times(-7)=65>0$，$\therefore$方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。設(shè)方程的兩個(gè)根為$x_1$，$x_2$，$\because\Delta>0$，$\therefore$原方程有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)數(shù)根。說(shuō)明：判別根的符號(hào)，需要把“根的判別式”和“根與系數(shù)的關(guān)系”結(jié)合起來(lái)進(jìn)行確定，另外由于本題中$a>0$，若$\Delta>0$，仍需考慮$b$的正負(fù)，所以可判定方程的根為一正一負(fù)；倘$a<0$，則需考慮$b$和$c$的正負(fù)，方可判別方程是兩個(gè)正根還是兩個(gè)負(fù)根。(3)求根及未知數(shù)字母系數(shù)：已知方程的一個(gè)根，可利用根與系數(shù)的關(guān)系求出另一個(gè)數(shù)及未知數(shù)字母系數(shù)。例2：已知方程的一個(gè)根為2，求另一個(gè)根及$a$的值。分析：此題通常有兩種解法：一是根據(jù)方程根的定義，把$x_1=2$代入原方程，先求出$x_2$的值，再通過(guò)解方程辦法求出$a$；二是利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求出另一個(gè)根及$a$的值。解法一：把$x_1=2$代入原方程，得：$a\times2^2+b\times2+c=0$，即$4a+2b+c=0$。解得當(dāng)$a=1$時(shí)，$b=-3$，$c=2$。此時(shí)，原方程可化為$(x-2)(x-1)=0$，即方程的另一個(gè)根為4。解法二：設(shè)方程的另一個(gè)根為$x_2$，根據(jù)題意，利用韋達(dá)定理得：$x_1+x_2=-\frac{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。$\thereforex_2=-\frac{a}-x_1=-\frac{a}-2$。把$x_2=-\frac{a}-2$代入$x_1x_2=\frac{c}{a}$，可得：$2b+4a=c$。把$a=1$代入$2b+4a=c$，可得$b=-3$，$c=2$。$\therefore$方程的另一個(gè)根為4，$a=1$。說(shuō)明：比較起來(lái)，解法二應(yīng)用了韋達(dá)定理，解答起來(lái)較為簡(jiǎn)單。(4)求代數(shù)式的值：在不解方程的情況下，可利用根與系數(shù)的關(guān)系求關(guān)于$x_1$和$x_2$的代數(shù)式的值。根與系數(shù)關(guān)系常用的轉(zhuǎn)化關(guān)系：$x_1+x_2=(x_1+x_2)-2x_1x_2$；$x_1^2+x_2^2=(