2022-2023學(xué)年廣東省河源市田源中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年廣東省河源市田源中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.某藝校在一天的6節(jié)課中隨機(jī)安排語文、數(shù)學(xué)、外語三門文化課和其他三門藝術(shù)課各1節(jié)，則在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為……（） A． B． C． D．參考答案：A6節(jié)課共有種排法.語文、數(shù)學(xué)、外語三門文化課中間隔1節(jié)藝術(shù)課有種排法，三門文化課中、都相鄰有種排法，三門文化課中有兩門相鄰有，故所有的排法有，所以相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為,選A.

2.已知某幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積是A．

B．

C．

D．參考答案：C3.已知函數(shù)滿足，且，若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D4.設(shè)集合，則A∩B等于

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A5.（09年湖北重點(diǎn)中學(xué)4月月考理）已知，設(shè)集合，則A的子集個(gè)數(shù)共有（

）A、0個(gè)

B、1個(gè)

C、2個(gè)

D、無數(shù)個(gè)參考答案：B6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的x值為

A．7

B.6

C.5

D.4參考答案：B7.如圖所示，墻上掛有邊長為的正方形木板，它的四個(gè)角的空白部分都是以正方形的頂點(diǎn)為圓心，半徑為的圓孤，某人向此板投鏢，假設(shè)每次都能擊中木板，且擊中木板上每個(gè)點(diǎn)的可能性都一樣，則它擊中陰影部分的概率是

（

）

A．1-

B．

C．1-

D．與的取值有關(guān)

參考答案：答案:A8.若，則的值為（

）

參考答案：A9.若Sn=sin，則在S1，S2，…，S2017中，正數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A．143 B．286 C．1731 D．2000參考答案：C【考點(diǎn)】數(shù)列的求和．【分析】由于sin＞0，＞0，…，＞0，sin=0，sin=﹣＜0，…，sin=﹣＜0，sin=0，可得到S1＞0，…，S12＞0，S13=0，而S14=0，從而可得到周期性的規(guī)律，從而得到答案．【解答】解：由于sin＞0，＞0，…，＞0，sin=0，sin=﹣＜0，…，sin=﹣＜0，sin=0，可得到S1＞0，…，S12＞0，S13=0，而S14=0，2017=14×144+1，∴S1，S2，…，S2017中，正數(shù)的個(gè)數(shù)是2017﹣144×2+2=1731．故選：C．10.設(shè)是整數(shù)，則“均為偶數(shù)”是“是偶數(shù)”的(A)充分而不必要條件

(B)必要而不充分條件

(C)充要條件

(D)既不充分也不必要條件參考答案：【標(biāo)準(zhǔn)答案】A【試題解析】均為偶數(shù)是偶數(shù)則充分；

是偶數(shù)則均為偶數(shù)或者均為奇數(shù)即是偶數(shù)均為偶數(shù)

則不必要，故選A【高考考點(diǎn)】利用數(shù)論知識(shí)然后根據(jù)充要條件的概念逐一判定【易錯(cuò)提醒】是偶數(shù)則均為偶數(shù)或者均為奇數(shù)【備考提示】均為偶數(shù)是偶數(shù)，易得;否定充要時(shí)只要舉例：，即可。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.

.參考答案：，根據(jù)積分的幾何意義可知等于半徑為1的半圓的面積，即，，所以.12.已知直線與拋物線相交于，兩點(diǎn).若點(diǎn)滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則直線的方程為

▲

.參考答案：所以，線段中點(diǎn)為，的方程為：13.在的二項(xiàng)展開式中,的系數(shù)是_______________.參考答案：-2014.已知集合，則

。參考答案：略15.已知直線，則直線與的夾角的大小是．參考答案：16.如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1，圖中粗線畫出的是一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體外接球的表面積為

．參考答案：由已知中正視圖，俯視圖是等腰三角形,側(cè)視圖為直角三角形,如圖可得該幾何體是有一個(gè)側(cè)面PAC垂直于底面,高為2，底面是一個(gè)等腰直角三角形的三棱錐，則這個(gè)幾何體的外接球的球心O在高線PD上，這個(gè)幾何體的外接球的直徑2R=.則這個(gè)幾何體的外接球的表面積為S=4πR2=4π×=.故答案為：.

17.已知m〉0，n〉0,向量a=（m,1），b=（2—n，1），且a//b，則的最小值是______．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某地?cái)M建造一座體育館，其設(shè)計(jì)方案側(cè)面的外輪廓線如圖所示：曲線AB是以點(diǎn)E為圓心的圓的一部分，其中，是圓的切線，且，曲線BC是拋物線的一部分，，且CD恰好等于圓E的半徑.（1）若米，米，求t與a的值；（2）若體育館側(cè)面的最大寬度DF不超過75米，求a的取值范圍.參考答案：（1），；（2）.【分析】（1）根據(jù)拋物線方程求得，從而可得半徑，即，進(jìn)而解得；通過圓的方程求得點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線方程求得；（2）求解出點(diǎn)坐標(biāo)后，可知，可整理為，利用基本不等式可求得的最大值，從而可得的范圍.【詳解】（1）由拋物線方程得：

又，均為圓的半徑

，則圓的方程為：

，則代入拋物線方程得：，解得：（2）由題意知，圓的半徑為：，即則點(diǎn)縱坐標(biāo)為，代入拋物線方程可得：，即，整理可得：

（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）

即的取值范圍為：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用問題，涉及到函數(shù)方程的求解、根據(jù)函數(shù)最值求解參數(shù)范圍的問題，關(guān)鍵是能夠通過分離變量的方式，得到所求變量和函數(shù)最值的關(guān)系，從而通過基本不等式求得最值，進(jìn)而得到參數(shù)范圍.19.已知函數(shù)f（x）=，直線y=x為曲線y=f（x）的切線．（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）用min{m，n}表示m，n中的較小值，設(shè)函數(shù)g（x）=min{f（x），x﹣}（x＞0），若函數(shù)h（x）=g（x）﹣cx2為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．參考答案：【分析】（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)（m，n），可得切線的斜率，由切線方程可得a，m的方程，解方程可得a=1；（2）y=f（x）和y=x﹣的交點(diǎn)為（x0，y0），分別畫出y=f（x）和y=x﹣在x＞0的圖象，可得1＜x0＜2，再由新定義求得最小值，求得h（x）的解析式，由題意可得h′（x）≥0在0＜x＜x0時(shí)恒成立，運(yùn)用參數(shù)分離和函數(shù)的單調(diào)性，即可得到所求c的范圍．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）=的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=，設(shè)切點(diǎn)為（m，n），即有n=，n=m，可得ame=em，①由直線y=x為曲線y=f（x）的切線，可得=，②由①②解得m=1，a=1；（2）函數(shù)g（x）=min{f（x），x﹣}（x＞0），由f（x）=的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=，當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f（x）遞增，x＞2時(shí)，f（x）遞減．對(duì)x﹣在x＞0遞增，設(shè)y=f（x）和y=x﹣的交點(diǎn)為（x0，y0），由f（1）﹣（1﹣1）=＞0，f（2）﹣（2﹣）=﹣＜0，即有1＜x0＜2，當(dāng)0＜x＜x0時(shí)，g（x）=x﹣，h（x）=g（x）﹣cx2=x﹣﹣cx2，h′（x）=1+﹣2cx，由題意可得h′（x）≥0在0＜x＜x0時(shí)恒成立，即有2c≤+，由y=+在（0，x0）遞減，可得2c≤+①當(dāng)x≥x0時(shí)，g（x）=，h（x）=g（x）﹣cx2=﹣cx2，h′（x）=﹣2cx，由題意可得h′（x）≥0在x≥x0時(shí)恒成立，即有2c≤，由y=，可得y′=，可得函數(shù)y在（3，+∞）遞增；在（x0，3）遞減，即有x=3處取得極小值，且為最小值﹣．可得2c≤﹣②，由①②可得2c≤﹣，解得c≤﹣．20.如圖，三棱錐P-ABC中，G是的重心.（1）請(qǐng)?jiān)诶釧C上確定一點(diǎn)D，使得直線DG//平面PAB，并說明理由；（2）若在（1）的條件下，，平面PAB⊥平面ABC，，求直線GD與平面PCA所成角的正弦值.參考答案：(1)見證明；(2)分析】（1）連接CG交PB于M，由G為三角形PBC的重心，可得,取D使,可證平面PAB.（2）只需求MA與平面PCA所成角的正弦值.由求B到平面PCA的距離h.取AB中點(diǎn)O，利用兩平面垂直的性質(zhì)定理，判斷PO與平面ABC垂直，有，解得h，從而DG與平面PCA所成角的正弦值.【詳解】證明：（1）連接延長交于，連接，因?yàn)槭恰鞯闹匦?，所以，M為BP的中點(diǎn)，在上取一點(diǎn)使得，連接，則在平面三角形中，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?）取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)椋?，所以，且又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，所以，，由題知，所以，且，而，所以平面，設(shè)到平面的距離為，與平面所成角為，由得:，，解得:，所以到平面的距離為，，直線與平面所成角的正弦值為．（2）取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，，所以，且又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，所以平面，所以，，由題知，所以，且，而，所以平面，,所以，設(shè)到平面的距離為，MA與平面所成角為，由得:，，解得:，所以到平面的距離為，M到平面PCA的距離為，由（1）,所以直線DG與平面所成角的正弦值為．【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面平行的判定定理，平面與平面垂直的性質(zhì)定理，空間角的計(jì)算，考查空間想象、邏輯推理、計(jì)算能力，屬于中檔題.21.某高中志愿者男志愿者5人，女志愿者3人，這些人要參加社區(qū)服務(wù)工作.從這些人中隨機(jī)抽取4人負(fù)責(zé)文明宣傳工作，另外4人負(fù)責(zé)衛(wèi)生服務(wù)工作.（Ⅰ）設(shè)M為事件；“負(fù)責(zé)文明宣傳工作的志愿者中包含女志愿者甲但不包含男志愿者乙”，求事件M發(fā)生的概率；（Ⅱ）設(shè)X表示參加文明宣傳工作的女志愿者人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望.參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）從8人中隨機(jī)抽取4人負(fù)責(zé)文明宣傳的基本事件的總數(shù)為，事件M包含基本事件的個(gè)數(shù)為，利用古典概型的計(jì)算公式，即可求解．（Ⅱ）由題意，得到隨機(jī)變量X可取的值，求得相應(yīng)的概率，得出相應(yīng)的分布列，利用期望的公式，即可求解．【詳解】（Ⅰ）從8人中隨機(jī)抽取4人負(fù)責(zé)文明宣傳的基本事件的總數(shù)為，事件M包含基本事件的個(gè)數(shù)為，則.（Ⅱ）由題意知X可取的值為：0，1，2，3.則，，因此X的分布列為X0123P

的數(shù)學(xué)期望是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型及其概率的計(jì)算，以及隨機(jī)變量的分布列及期望的求解，其中解答中認(rèn)真審題，得出隨機(jī)變量的取值，求得相應(yīng)的概率得到分布列是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．

22.（本小題滿分16分）已知橢圓E：的左頂點(diǎn)