復(fù)變函數(shù)論第三版鐘玉泉第二章課件

第二章解析函數(shù)§1解析函數(shù)的概念與柯西-黎曼方程

§２初等解析函數(shù)§3初等多值解析函數(shù)7/20/20231一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分1.導(dǎo)數(shù):第一節(jié)解析函數(shù)的概念與柯西-黎曼方程在定義中應(yīng)注意:7/20/20232例1

解即例2

解7/20/20233例3

解7/20/20234例4

解7/20/202352.可導(dǎo)與連續(xù):函數(shù)f(z)在z0處可導(dǎo)則在z0處一定連續(xù),但函數(shù)f(z)在z0處連續(xù)不一定在z0處可導(dǎo).證7/20/202363.求導(dǎo)法則:7/20/202374.微分:特別地,7/20/20238二、解析函數(shù)的概念1.解析函數(shù)的定義2.奇點(diǎn)的定義根據(jù)定義可知:函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析與在區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)是等價(jià)的.但是,函數(shù)在一點(diǎn)處解析與在一點(diǎn)處可導(dǎo)是不等價(jià)的概念.即函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo),不一定在該點(diǎn)處解析.函數(shù)在一點(diǎn)處解析比在該點(diǎn)處可導(dǎo)的要求要高得多.7/20/20239例1解例2解課后思考題：答案處處不可導(dǎo),處處不解析.7/20/2023107/20/202311定理以上定理的證明,可利用求導(dǎo)法則.根據(jù)定理可知:(1)所有多項(xiàng)式在復(fù)平面內(nèi)是處處解析的.7/20/202312定理一三、函數(shù)解析的充要條件

證(1)必要性.7/20/202313

從而,(2)充分性.由于7/20/2023147/20/202315[證畢]例1解7/20/202316解析函數(shù)的判定方法:注1解析函數(shù)的實(shí)部與虛部不是完全獨(dú)立的，它們是C-R方程的一組解，它們是在研究流體力學(xué)時(shí)得到的。注2解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)形式更簡(jiǎn)潔。7/20/202317四、典型例題解不滿足柯西－黎曼方程,例1判斷下列函數(shù)在何處可導(dǎo)，在何處解析：四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù),但是7/20/202318例2解7/20/202319例3證:因?yàn)轭愃瓶蛇M(jìn)一步證明:7/20/202320例4證7/20/202321一、指數(shù)函數(shù)1.指數(shù)函數(shù)的定義:第二節(jié)初等解析函數(shù)指數(shù)函數(shù)的定義等價(jià)于關(guān)系式:2.加法定理7/20/202322例1解例2

解7/20/202323二、三角函數(shù)和雙曲函數(shù)1.三角函數(shù)的定義將兩式相加與相減,得現(xiàn)在把它們定義推廣到自變數(shù)取復(fù)值的情況：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)都是解析函數(shù).7/20/202324有關(guān)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的幾組重要公式(注意：這是與實(shí)變函數(shù)完全不同的)事實(shí)上，7/20/202325例1解其它三角函數(shù)7/20/2023262.雙曲函數(shù)的定義它們的導(dǎo)數(shù)分別為它們都是以為周期的周期函數(shù),顯然這些函數(shù)都是解析函數(shù)，各有其解析區(qū)域，且都是相應(yīng)的實(shí)雙曲函數(shù)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的推廣。7/20/202327思考題:實(shí)變?nèi)呛瘮?shù)與復(fù)變?nèi)呛瘮?shù)在性質(zhì)上有哪些異同?思考題答案兩者在函數(shù)的奇偶性、周期性、可導(dǎo)性上是類似的,而且導(dǎo)數(shù)的形式、加法定理、正余弦函數(shù)的平方和等公式也有相同的形式.最大的區(qū)別是,實(shí)變?nèi)呛瘮?shù)中,正余弦函數(shù)都是有界函數(shù),但在復(fù)變?nèi)呛瘮?shù)中,3.初等復(fù)變函數(shù)：基本初等復(fù)變函數(shù)經(jīng)過(guò)加、減、乘、除、乘方和開(kāi)方等基本運(yùn)算，或經(jīng)歷有限次復(fù)合運(yùn)算，所形成的復(fù)變函數(shù)稱為初等復(fù)變函數(shù),簡(jiǎn)稱為復(fù)變函數(shù).7/20/202328定義2.8(單葉函數(shù)） 設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)有定義,且對(duì)D內(nèi)任意不同的兩點(diǎn)z1及z2都有f(z1)≠f(z2),則稱函數(shù)f(z)在D內(nèi)是單葉的.并且稱區(qū)域D為f(z)的單葉性區(qū)域. 顯然,區(qū)域D到區(qū)域G的單葉滿變換w=f(z)就是D到G的一一變換.

f(z)=z2不是C上的單葉函數(shù).

f(z)=z3是C上的單葉函數(shù)第三節(jié)初等多值函數(shù)7/20/202329定義2.9若z=wn,則稱w為z的n次根式函數(shù)，記為：,根式函數(shù)為冪函數(shù)z=wn的反函數(shù).

(1)根式函數(shù)的多值性.1.根式函數(shù)7/20/202330

(2)分出根式函數(shù)的單值解析分支.從原點(diǎn)O起到點(diǎn)∞任意引一條射線將z平面割破，該直線稱為割線，在割破了的平面(構(gòu)成以此割線為邊界的區(qū)域，記為G)上，argz<2，從而可將其轉(zhuǎn)化為單值函數(shù)來(lái)研究。7/20/202331

wk在其定義域上解析,且分成如下的n個(gè)單值函數(shù)：

(3)的支點(diǎn)及支割線定義1設(shè)為多值函數(shù)，為一定點(diǎn)，作小圓周，若變點(diǎn)沿轉(zhuǎn)一周，回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值發(fā)生了變化，則稱為的支點(diǎn)，如就是其一個(gè)支點(diǎn)，這時(shí)繞轉(zhuǎn)一周也可看作繞點(diǎn)轉(zhuǎn)一周，故點(diǎn)也是其一個(gè)支點(diǎn).常用方法：從原點(diǎn)起沿著負(fù)實(shí)軸將z平面割破,即可將根式函數(shù):7/20/202332定義2設(shè)想把平面割開(kāi)，借以分出多值函數(shù)的單值分支的割線，稱為多值函數(shù)的支割線.如可以以負(fù)實(shí)軸為支割線.注a)支割線可以有兩岸.b)單值解析分支可連續(xù)延拓到岸上.c)支割線改變各單值分支的定義域，值域也隨之改變.d)對(duì)，當(dāng)以負(fù)實(shí)軸為支割線時(shí)，當(dāng)時(shí)取正值的那個(gè)分支稱為主值支.上岸下岸7/20/202333二、對(duì)數(shù)函數(shù)1.定義2.計(jì)算公式：7/20/202334說(shuō)明：w=Lnz是指數(shù)函數(shù)ew=z的反函數(shù)，Lnz一般不能寫成lnz,其余各值為例1

解注意:在實(shí)變函數(shù)中,負(fù)數(shù)無(wú)對(duì)數(shù),而復(fù)變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)是實(shí)變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的拓廣.7/20/202335例2解3.對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)7/20/2023364.分出w=Lnz的單值解析分支從原點(diǎn)起沿著負(fù)實(shí)軸將z平面割破，就可將對(duì)數(shù)函數(shù)w=Lnz分成如下無(wú)窮多個(gè)單值解析分支：

wk在定義域上解析,且例1設(shè)定義在沿負(fù)實(shí)軸割破的平面上，且

以

為支點(diǎn)，連接的任一（廣義）簡(jiǎn)單曲線可作為其支割線.解：求值：

（是下岸相應(yīng)點(diǎn)的函數(shù)值）求的值.7/20/202337三、乘冪與冪函數(shù)1.乘冪:7/20/2023383.冪函數(shù)的解析性原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)是解析的,7/20/2023397/20/202340例1解它是無(wú)窮多個(gè)獨(dú)立的、在z平面上單值解析的函數(shù)。7/20/2023411.反三角函數(shù)的定義兩端取對(duì)數(shù)得同樣可以定義反正弦函數(shù)和反正切函數(shù),重復(fù)以上步驟,可以得到它們的表達(dá)式:四、反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)7/20/2023422.反雙曲函數(shù)的定義例1解7/20/202343五、具有有限個(gè)支點(diǎn)的情形設(shè)有任意N次多項(xiàng)式：分別為P(z)的一切相異零點(diǎn)，對(duì)應(yīng)重?cái)?shù)為且有則函數(shù)的支點(diǎn)有以下結(jié)論：(1)的可能支點(diǎn)為和；(2)當(dāng)且僅當(dāng)不能整除時(shí)，是的支點(diǎn)；(3)當(dāng)且僅當(dāng)不能整除時(shí)，是的支點(diǎn)；(4)若能整除中若干個(gè)之和，則中對(duì)應(yīng)的幾個(gè)就可以聯(lián)結(jié)成割線，即變點(diǎn)z沿只包含它們?cè)谄鋬?nèi)部的簡(jiǎn)單閉曲線轉(zhuǎn)一整周后，函數(shù)值不變.7/20/202344例1作出一個(gè)含i的區(qū)域,使得函數(shù)在此區(qū)域內(nèi)可分解成單值解析分支,求一個(gè)分支在i點(diǎn)解可能的支點(diǎn)為易知函數(shù)因0,1,2與無(wú)窮，具體分析見(jiàn)下圖結(jié)論：0、1、2與無(wú)窮都是支點(diǎn)。的值,使其滿足7/20/202345支點(diǎn)確定后，我們作區(qū)域，將函數(shù)分解成單值解析分支。首先，在復(fù)平面內(nèi)作一條連接0,1,2及無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的任意無(wú)界簡(jiǎn)單連續(xù)曲線作為割線,在所得區(qū)域內(nèi),可以把w分解成連續(xù)分支。例如,可取作為割線,得到區(qū)域D。其次,也可以取線段[0,1]及從2出發(fā)且不與[0,1]相交的射線為割線,在所得區(qū)域內(nèi),可以把w分解成連續(xù)分支。例如，可取[0,1]及作為割線,得到區(qū)域。7/20/202346例2驗(yàn)證函數(shù)內(nèi)可以分解成解析分支;求出這個(gè)分支函數(shù)在(0,1)解由于故0,1是支點(diǎn)，無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)不是支點(diǎn)。在區(qū)域D=C\[0,1]上沿取正實(shí)值的一個(gè)分支在z=-1處的值。7/20/202347