7.6 空間直線及其方程

§7.6空間直線及其方程空間直線的各種方程兩直線的夾角直線與平面的夾角小結思考題作業(yè)2009.2.67-6-1北京工商大學一、空間直線的各種方程形式1.空間直線的一般形式定義空間直線可看成兩平面的交線.空間直線的一般式方程L注(2)直線L的一般方程形式不是唯一的.空間直線及其方程(1)2009.2.67-6-2北京工商大學2.對稱式——點向式方程定義如果一非零向量平行于一條

一條直線可以有許多方向向量.已知直線,稱此向量為該直線的方向向量.空間直線及其方程設一直線過，其方向向量為的求此直線方程。2009.2.67-6-3北京工商大學直線的對稱式方程而方向且//(點向式、標準式）空間直線及其方程方向數(shù).向量的余弦稱為該直線的方向余弦。解因為(2)2009.2.64北京工商大學直線的方向數(shù)m,n,p

可以等于0,當m=0時,空間直線及其方程注意

直線的方程可表示為當m=n=0時,直線的方程可表示為2009.2.65北京工商大學3.直線的參數(shù)方程求直線與平面的交點時常用此。直線的參數(shù)式方程故空間直線及其方程(3)2009.2.67-6-6北京工商大學4.空間直線的兩點式設一直線過兩點，則此直線的方程為:

直線的兩點式方程

由直線的對稱式得空間直線及其方程(4)直線方程的幾種形式可以互相轉(zhuǎn)換.2009.2.67-6-7北京工商大學

例解所求直線方程為·

M1·

M2求過兩點M1(1,2,3),M2(2,6,5)的直線方程.向量與直線平行過兩點作直線空間直線及其方程2009.2.68北京工商大學解交點為取所求直線方程.

A.

B例空間直線及其方程2009.2.69北京工商大學可將對稱式方程拆為一般方程如對稱式方程為可寫成一般方程

可將直線的對稱式方程又如?注可寫成一般方程化為一般方程嗎各類直線方程的互換空間直線及其方程2009.2.610北京工商大學直線的一般方程如何化為對稱式方程(1)用代數(shù)的消元法化為比例式;?(2)在直線上找一定點,再求出方向向量,(重要)即寫出對稱式方程.空間直線及其方程2009.2.611北京工商大學寫成比例式,例

解法一(1)(2)兩個方程中,每一個只有兩個變量,共同的變量即得對稱式方程.化為對稱式方程.解出x.空間直線及其方程此直線上一定點為(0,-1,-3),方向向量為(1,5,7)2009.2.612北京工商大學先求直線上一定點:于是得直線上的一定點取對稱式方程

將化為對稱式方程.因所求直線與兩平面的法向量都垂直.法二空間直線及其方程2009.2.613北京工商大學兩個對稱式方程實際上直線的對稱式方程不唯一.?注意怎么不一樣答(當定點取得不同時對稱式方程不同).空間直線及其方程2009.2.614北京工商大學得解再代入代入平面方程,求直線例與平面的交點.得空間直線及其方程2009.2.615北京工商大學解先作一過點M且與已知直線垂直的平面再求已知直線與該平面的交點N,令.

M垂直相交的直線方程.例空間直線及其方程2009.2.616北京工商大學交點取所求直線的方向向量為直線方程為代入得將.

M空間直線及其方程2009.2.617北京工商大學定義直線直線^兩直線的方向向量的夾角稱為兩直線的夾角.兩直線的夾角公式二、兩直線的夾角（銳角）空間直線及其方程2009.2.618北京工商大學兩直線的位置關系

//直線直線例(兩直線垂直、平行的條件)空間直線及其方程2009.2.619北京工商大學

1.與直線及都平行且過原點的平面方程為().例提示平面過原點由點法式方程即可得.法向量空間直線及其方程2009.2.620北京工商大學2.3.

提示

提示空間直線及其方程2009.2.621北京工商大學C

提示^兩直線的夾角公式:4.空間直線及其方程2009.2.622北京工商大學解設所求直線的方向向量為取所求直線的方程例的交線平行的直線方程.過已知直線外一點作直線與已知直線平行空間直線及其方程2009.2.623北京工商大學直線和它在平面上的投影直線的夾角定義^^三、直線與平面的夾角空間直線及其方程稱為該直線與平面的夾角.直線與平面夾角公式2009.2.624北京工商大學直線與平面的//(直線與平面垂直、平行的充要條件)位置關系空間直線及其方程2009.2.625北京工商大學解為所求夾角.例求直線與平面的夾角.空間直線及其方程2009.2.626北京工商大學1995,數(shù)學一考研選擇,(3分)C//

提示空間直線及其方程2009.2.627北京工商大學平面束的方程設有兩塊不平行的平面其中系數(shù)不互相成比例交成一條直線L過直線L的所求全體平面平面束(3)表示過直線L的平面?空間直線及其方程2009.2.628北京工商大學解·想一想還有別的方法嗎?試比較哪種方法簡單?將點代入(1)中,得將代入(1)中,得例過已知直線的平面束方程為空間直線及其方程2009.2.629北京工商大學例解過已知直線的平面束方程為空間直線及其方程2009.2.630北京工商大學由此得代回平面束方程為空間直線及其方程2009.2.631北京工商大學上海交大考題(98級)解設平面束方程由即由空間直線及其方程2009.2.632北京工商大學思考題1想一想下述問題能否轉(zhuǎn)化為用點法式確定平面方程？(1)過兩條相交直線,確定一平面;(2)過兩條平行直線,確定一平面;(3)過一直線與該直線外一點,確定一平面;(4)過一直線垂直與一已知平面,確定一平面.(設此直線不垂直于一已知平面)如何轉(zhuǎn)化？空間直線及其方程2009.2.633北京工商大學思考題2想一想下述問題能否轉(zhuǎn)化為用對稱式方程來確定直線方程?(1)過一點且與一已知平面垂直,確定一直線方程;(2)過一點且與兩條相交直線都垂直的直線方程;(3)過一點且與一已知平面平行,與一已知直線相交的直線方程.如何轉(zhuǎn)化？空間直線及其方程2009.2.634北京工商大學(3)過一點且與一已知平面平行,與一已知直線相交的直線方程.應注意即有因此在L上即有共面,有(a),(b)聯(lián)立解得空間直線及其方程為了確定所求直線的方向向量垂直于已給平面的法線向量由于已知直線L與欲求直線相交,取一已知點B,它與欲求直線上任一點A的連線AB必與L,則由對稱式求出所給直線.2009.2.635北京工商大學空間直線的一般方程兩直線的夾角直線與平面的夾角(兩直線垂直、平行的充要條件)(直線與平面垂直、平行的充要條件)五、小結空間直線及其方程空間直線的參數(shù)方程(關鍵確定直線的方向向量)空間直線的對稱式方程各類直線方程的作用及它們之間的互換2009.2.636北京工商大學思考題求此直線方程.作直線與定直線相