2019年新課堂高考復習數(shù)學文科第九章5講用樣本估計總體配套課件

第5講

用樣本估計總體考綱要求考點分布考情風向標了解分布的意義和作用，會列頻率分布表，會畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，理解它們2013年新課標Ⅰ第18題考查求平均數(shù)及莖葉圖；由于高考對統(tǒng)計考查的覆蓋面廣，幾乎對所有的統(tǒng)計考點都有所涉及，包括樣本的頻率分布(折線圖、直方圖、莖葉圖)中的有關(guān)計算，樣本特征數(shù)(眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、標準差)的計算.復習時，對于統(tǒng)計的任何環(huán)節(jié)都不能遺漏，最主要的是掌握好統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識，適度的題量練習.高考對頻率分布直方圖或莖葉圖與概率相結(jié)合的題目考查日益頻繁.因此，復習時要加強這方面的訓練，弄清圖表中有關(guān)量的含義，并從中提煉出有用的信息，為后面的概率計算打好基礎(chǔ)各自的特點.2014

年新課標Ⅱ第19

題考2.理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和查求中位數(shù)及莖葉圖；作用，會計算數(shù)據(jù)標準差.2014

年新課標Ⅰ第18

題完3.能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)成頻率分布直方圖、平均數(shù)字特征(如平均數(shù)、標準差)，并給及方差及用樣本估計總體思出合理的解釋.想應用；4.會用樣本的頻率分布估計總體2016

年新課標Ⅰ第19

題考分布，會用樣本的基本數(shù)字特征查用樣本估計總體思想應估計總體的基本數(shù)字特征，理解用；用樣本估計總體的思想.2017

年新課標Ⅰ第2

題考查5.會用隨機抽樣的基本方法和樣樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、本估計總體的思想解決一些簡單標準差等的實際問題1.用樣本估計總體通常我們對總體作出的估計一般分成兩種：一種是用樣本的頻率分布估計總體的分布；另一種是用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征.2.統(tǒng)計圖(1)頻率分布直方圖.①求極差：極差是一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差.②決定組距和組數(shù)：當樣本容量不超過100

時，常分成5～極差12組，組距＝

組數(shù)

；③將數(shù)據(jù)分組：通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間，也可以將樣本數(shù)據(jù)多取一位小數(shù)分組.④列頻率分布表：登記頻數(shù)，計算頻率，列出頻率分布表.將樣本數(shù)據(jù)分成若干個小組，每個小組內(nèi)的樣本個數(shù)稱作頻數(shù)，頻數(shù)與樣本容量的比值叫做這一小組的頻率.頻率反映各個數(shù)據(jù)在每組所占比例的大小.⑤繪制頻率分布直方圖：把橫軸分成若干段，每一段對應一個組距，然后以線段為底作一小長方形，它的高等于該組的組距頻率，這樣得到一系列的長方形，每個長方形的面積恰好是該組上的頻率.這些矩形就構(gòu)成了頻率分布直方圖，各個長方形的面積總和等于

1

.(2)頻率分布折線圖和總體密度曲線.①頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各長方形上端的中點，就得頻率分布折線圖.②總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時所分的組數(shù)增加，組距減小，相應的頻率分布折線圖就會越來越接近于一條光滑的曲線，在統(tǒng)計中稱之為總體密度曲線.(3)莖葉圖.當樣本數(shù)據(jù)較少時，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好，它不但可以保留所有信息，而且可以隨時記錄信息，給數(shù)據(jù)的記錄和表示都帶來方便.3.用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征

(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù).①眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應該相等.2

n即－x

＝n(x1＋x

＋…＋x

).據(jù)的眾數(shù).②中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在

最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).③平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，1(2)樣本方差、標準差.①標準差s＝1n1[(x

－

x—22)＋(x

－

x—2n)＋…＋(x

－

x—2)](其中xn

是樣本數(shù)據(jù)的第n

項，n

是樣本容量，x是平均數(shù)

).②標準差是反映總體波動大小的特征數(shù)，樣本方差是標準差的平方.通常用樣本方差估計總體方差，當樣本容量接近總體容量時，樣本方差接近總體方差.1.(2017

年江西南昌二模)圖951

是一樣本的頻率分布直方圖.若樣本容量為

100，則樣本數(shù)據(jù)在[15,20)內(nèi)的頻數(shù)是(

)A.50B.40圖951C.30D.14解析：因為[15,20)對應的小矩形的面積為1－0.04×5－0.1×5＝0.3，所以樣本落在[15,20)的頻數(shù)為0.3×100＝30.故選C.答案：C2.(2015

年重慶)重慶市2013

年各月的平均氣溫(單位：℃)數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖

952，則這組數(shù)據(jù)中的中位數(shù)是(

)圖952A.19

B.20

C.21.5

D.23解析：由莖葉圖可知總共12

個數(shù)據(jù)，處在正中間的兩個數(shù)是第6

和第7

個數(shù)，它們都是20，由中位數(shù)的定義可知：其中位數(shù)就是20.故選B.B3.(2015

年廣東)已知樣本數(shù)據(jù)

x1，x2，…，xn

的均值

x

＝5，則樣本數(shù)據(jù)

2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1

的均值為

11

.解析：因為樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn

的均值x

＝5，所以樣本數(shù)據(jù)2x1＋1,2x2＋1，…，2xn＋1

的均值為2x

＋1＝2×5＋1＝11.4.(2016

年上海)某次體檢，6

位同學的身高(單位：米)分別為

1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是

1.76

(單位：米).解析：將這6位同學的身高按照從矮到高排列為：1.69,1.72，1.75，1.77，1.78，1.80，這6

個數(shù)的中位數(shù)是1.75

與1.77

的平均數(shù)，顯然為1.76.考點1樣本的數(shù)字特征例1：(1)(2017

年新課標Ⅰ)為評估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n

塊地作試驗田.這n

塊地的畝產(chǎn)量(單位：kg)分別為x1，x2，…，xn，下面給出的指標中可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是(

)A.x1，x2，…，xn的平均數(shù)

C.x1，x2，…，xn的最大值B.x1，x2，…，xn的標準差

D.x1，x2，…，xn的中位數(shù)解析：刻畫評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的指標是標準差.故選B.答案：B(2)(2017

年湖南衡陽四中統(tǒng)測)10

名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)是

15,17,14,10,15,17,17,16,14,12.設其平均數(shù)為a，中位數(shù)為

b，眾數(shù)為

c，則有(

)A.a>b>cC.c>a>bB.b>c>aD.c>b>a解析：∵生產(chǎn)的件數(shù)是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，總和為

147，∴平均數(shù)

a

147

14.7；＝

10

＝樣本數(shù)據(jù)17

出現(xiàn)次數(shù)最多，為眾數(shù)，即c＝17；從小到大排列中間2

個數(shù)的平均數(shù)，即中位數(shù)b＝15.∵17＞15＞14.7，∴c＞b＞a.答案：D丙班成績分數(shù)708090100人數(shù)4664甲班成績分數(shù)708090100人數(shù)5555(3)甲、乙、丙三個班各有20

名學生，一次數(shù)學考試后，三個班學生的成績與人數(shù)統(tǒng)計如下表：乙班成績分數(shù)708090100人數(shù)6446s1，s2，s3

分別表示甲、乙、丙三個班本次考試成績的標準差，則(

)A.s2>s1>s3C.s1>s2>s3B.s2>s3>s1D.s3>s1>s2解析：三個班本次考試成績的均值都為85，由標準差的幾何意義得，標準差越小，數(shù)據(jù)偏離于均值的平均程度越小，因此s2

最大，s3

最小.故選A.答案：A考點2莖葉圖的應用例2：(2014

年新課標Ⅱ)某市為了考核甲、乙兩部門的工作情況，隨機訪問了50

位市民，根據(jù)這50

位市民對這兩部門的評分(評分越高表明市民的評價越高)，繪制莖葉圖(如圖953).圖9-5-3(1)分別估計該市的市民對甲、乙兩部門評分的中位數(shù)；

(2)分別估計該市的市民對甲、乙兩部門的評分高于90

分的概率；(3)根據(jù)莖葉圖分析該市的市民對甲、乙兩部門的評價.解：(1)由所給莖葉圖知，50位市民對甲部門的評分由小到大排序，排在第25,26

位的是75,75，故樣本中位數(shù)為75，所以該市的市民對甲部門評分的中位數(shù)的估計值是75.50位市民對乙部門的評分由小到大排序，排在第25,26

位2的是66,68，故樣本中位數(shù)為66＋68＝67.所以該市的市民對乙部門評分的中位數(shù)的估計值是67.(2)由所給莖葉圖知，50

位市民對甲、乙部門的評分高于90分的比率分別為5

8

50

50＝0.1，

＝0.16.故該市的市民對甲、乙部門的評分高于90

分的概率的估計值分別為0.1,0.16.(3)由所給莖葉圖知，市民對甲部門的評分的中位數(shù)高于對乙部門的評分的中位數(shù)，而且由莖葉圖可以大致看出對甲部門

的評分的標準差要小于對乙部門的評分的標準差，說明該市市

民對甲部門的評價較高、評價較為一致，對乙部門的評價較低、評價差別較大.(注：考生利用其他統(tǒng)計量進行分析，結(jié)論合理的同樣給分)【互動探究】1.(2017

年山東)如圖954

所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5

名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)(單位：件).若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則

x

和

y

的值分別為(

A

)A.3,5

B.5,5圖954C.3,7

D.5,7解析：甲組中位數(shù)為65，所以乙組中位數(shù)也為65，故y＝5，乙組平均數(shù)為66，所以56＋62＋65＋74＋70＋x＝66×5，x＝3.故選A.2.若某校高一年級8

個班參加合唱比賽的得分莖葉圖(如圖955)，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是(

A

)A.91.5

和91.5C.91

和91.5圖955B.91.5

和92D.92

和92解析：這組數(shù)據(jù)由小到大排列為87，89，90，91，92，93，294

，

96.

∴

中

位

數(shù)

是

91＋92

＝

91.5

，

平

均

數(shù)

x

＝87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋968＝91.5.3.如圖956所示的莖葉圖是甲、乙兩位同學在期末考試中的六科成績，已知甲同學的平均成績?yōu)?5，乙同學的六科成績的眾數(shù)為

84，則

x＋y＝

10

.圖956解析：x

甲＝75＋82＋84＋

80＋x

＋90＋936＝85，x＝6.又∵乙同學的成績眾數(shù)為84，∴y＝4.∴x＋y＝10.質(zhì)量指標值分組[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125)頻數(shù)62638228考點3頻率分布直方圖的繪制及其應用例3：(2014年新課標Ⅰ)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100

件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值，由測量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表：(1)如圖957，在表格中作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：圖957(2)估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；(3)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標值不低于95

的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)定？解：(1)頻率分布直方圖如圖D67：圖D67(2)質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)為x

＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120

×0.08＝100.質(zhì)量指標值的樣本方差為s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以這種產(chǎn)品質(zhì)量指標值的平均數(shù)的估計值為100，方差的估計值為104.(3)質(zhì)量指標值不低于95

的產(chǎn)品所占比例的估計值為0.38＋0.22＋0.08＝0.68，由于該估計值小于0.8.故不能認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標值不低于95

的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定.【規(guī)律方法】用頻率分布直方圖解決相關(guān)問題時，應正確理解圖表中各個量的意義，識圖掌握信息是解決該類問題的關(guān)鍵.頻率分布直方圖有以下幾個要點：組距①縱軸表示頻率；②頻率分布直方圖中各長方形高的比也就是其頻率之比；③直方圖中每一個矩形的面積是樣本數(shù)據(jù)落在這個區(qū)間上的頻率，所有的小矩形的面積之和等于1，即頻率之和為1.【互動探究】4.某學校隨機抽取20

個班，調(diào)查各班中有網(wǎng)上購物經(jīng)歷的人數(shù)，所得數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖958.以組距為5

將數(shù)據(jù)分組成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]時，所作的頻率分布直方圖是(

)圖958ACBD分組頻數(shù)頻率頻率組距[0,5)10.050.01[5,10)10.050.01[10,15)40.200.04[15,20)20.100.02[20,25)40.200.04[25,30)30.150.03[30,35)30.150.03[35,40]20.100.02合計201.000.20解析：根據(jù)題意，列頻率分布表得：故選A.答案：AA.55

B.65圖959C.75

D.852解析：由直方圖可得眾數(shù)大約為70＋80

75.＝5.(2015

年江西南昌模擬)某中學為了檢驗1000名在校高三學生對函數(shù)模塊掌握的情況，進行了一次測試，并把成績進行統(tǒng)計，得到的樣本頻率分布直方圖如圖959，則考試成績的眾數(shù)大約為(C

)6.(2016

年寧夏固原模擬)某小區(qū)共有1000

戶居民，現(xiàn)對他們的用電情況進行調(diào)查，得到頻率分布直方圖如圖

9510，則該小區(qū)居民用電量的中位數(shù)為

，平均數(shù)為

.圖95100.02×20

0.1

解析：中位數(shù)為：150＋(170－150)×

＝155.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為x

＝0.005×20×120＋0.015×20×140＋0.020

×20

×160＋0.005

×20

×180＋0.003

×20

×200＋0.002×20×220＝156.8.答案：155

156.8難點突破⊙函數(shù)思想在統(tǒng)計中的應用在高考中常以頻率分布直方圖或莖葉圖的形式出現(xiàn)，考查統(tǒng)計與概率的知識，這也是近幾年高考出題的熱點.例題：(2016

年新課標Ⅰ)某公司計劃購買1

臺機器，該種

機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件，在購進機器時，

可以額外購買這種零件作為備件，每個200

元.在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500

元.現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100

臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖9511：記x

表示1臺機器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù)，y表示1

臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位：元)，n表示購機的同時購買的易損零件數(shù).圖9511若n＝19，求y

與x的函數(shù)解析式；若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻率不小于0.5，求n

的最小值.(3)假設這100

臺機器在購機的同時每臺都購買19

個易損零件，或每臺都購買20

個易損零件，分別計算這100

臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，購買1臺機器的同時應購買19個還是20個易損零件？由柱狀圖知，需更換的零件數(shù)不大于18

的頻率為0.46，不大于19的頻率為0.7，故n

的最小值為19.若每臺機器在購機同時都購買19個易損零件，則這100臺機器中有70

臺在購買易損零件上的費用為3800,20

臺的費用為4300,10

臺的費用為4800，因此這100

臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)為：y＝解：(1)當x≤19

時，y＝3800；當x>19

時，y＝3800＋500(x－19)＝500x－5700.所以y

與x

的函數(shù)解析式為3800，x≤19，500x－5700，x>19，(x∈N).

1

×(3800×70＋4300×20＋4800×10)＝4000.100若每臺機器在購機同時都購買20

個易損零件，則這100

臺機器中有90

臺在購買易損零件上的費用為4000,10

臺的費用為4500，因此這100

臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)為：

1

×(4000×90＋4500×10)＝4050.100比較兩個平均數(shù)可知，購買1