太原理工微積分與數(shù)學模型10年修改版第九章理工大高數(shù)

第六節(jié)偏導數(shù)在幾何上的應(yīng)用~

空間曲線的切線與法平面二 曲面的切平面與法線(1)式中的三個函數(shù)均可導設(shè)曲線上一點M

(x0

,y0

,z0

)對應(yīng)于t

=t0點M

(

x0

+

Dx，y0

+

Dy,

z0

+

Dz)對應(yīng)于

t

=

t0

+

Dt1.

空間曲線的方程z

=

w

(t

)

y

=y

(t

)

(1)

x

=

f(t

)一、空間曲線的切線與法平面割線

MM

的方程為x

-

x0

=

y

-

y0

=

z

-

z0Dx

Dy

Dzzo

yx考察割線趨近于極限位置——切線的過程上式分母同除以Dt

,x

-

x0

=

y

-

y0

=

z

-

z0MMDxDtDyDtDzDt0

時M

,即D

t

fi當M

fi曲線在M處的切線方程x

-

x0

=

y

-

y0

=

z

-

z0f￠(t0

)

y

￠(t0

)

w

￠(t0

)切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量。T

=

{f

(t0

),

y

(t0

),

w

(t0

)}法平面：過M點且與切線垂直的平面。f

(t0

)(

x

-

x0

)

+y

(t0

)(

y

-

y0

)

+

w

(t0

)(

z

-

z0)

=

0切線方程x

-

0

=

y

-

1

=

z

-

21

2

3法平面方程x

+2(y

-1)+3(z

-2)=0例1求曲線x

=0z=1

+e

3t

在t=0處的切線和法平面方程。解：當t

=0時，x

=0,y

=1,z

=2x

=

e

t

cos

t,

y

=

2cos

t

-

sin

t,

z

=

3e

3t

x

(0)

=

1,

y

(0)

=

2,

z

(0)

=

3tue

cos

udu，x

+

2

y

+

3z

-

8

=

0即y

=

2sin

t

+

cos

t

z

=

y

(

x

)2.將x

看作參數(shù)得空間曲線方程為

y

=f(x

)=

z

-

z0x

-

x0

=

y

-

y01

f￠(

x0

)

y

￠(

x0

)法平面方程為(

x

-

x0

)

+

f

(

x0

)(

y

-

y0

)

+y

(

x0

)(z

-

z0

)

=

0在M

(x0

,y0

,z0

)處切線方程為3.空間曲線方程為G(

x,

y,

z)

=

0F

(

x,

y,

z)

=

0切線方程為Fy

Fz

Fz

Fx

Fx

FyGy

Gz

0

Gz

Gx

0

Gx

Gy

0z

-

z0=y

-

y0=x

-

x0法平面方程為0(z

-

z

)

=

0y

00(

y

-

y

)

+0(

x

-

x

)

+G

Gx

0F

FxG

Gz

0xFyGxzzyFy

Fz

+dx

dx

dy

dzdx

dx=

-1

y

dy

+

z

dz

=

-x解2：將所給方程的兩邊對x

求導并移項，得dy

=

z

-

xdx y

-

zdx y

-

zdz x

-

y=例2求曲線

x

2

+

y2

+

z

2

=

6

,

x

+

y

+

z

=

0在點(1,-2,1)處的切線及法平面方程。解1：直接利用公式；由此得切向量T

={1,0,-1}x

-

1

y

+

2

z

-

1所求切線方程為

1

=

0

=

-

1法平面方程為(

x

-

1)

+

0 (

y

+

2)

-

(z

-

1)

=

0

x

-

z

=

0=

0,dx

(1,-2,

1)dy=

-1dx

(1,-2,

1)dz設(shè)曲面方程為F

(

x,

y,

z)

=

0在曲面上任取一條通過點M的曲線曲線在M處的切向量T

={f

(t0

),y

(t0

),w

(t0

)}z

=

w

(t

)G：

y

=y

(t

)

x

=

f(t

)nTM二、曲面的切平面與法線令n

={Fx

(x0

,y0

,z0

),Fy

(x0

,y0

,z0

),Fz

(x0

,y0

,z0

)}則n

^

T

,由于曲線是曲面上通過點M的任意一條曲線，它們在點M的切線都與同一向量n

垂直，故曲面上通過M的一切曲線在點M的切線都在同一平面上，這個平面稱為曲面在點M的切平面切平面方程為Fx

(

x0

,

y0

,

z0

)(

x

-

x0

)

+

Fy

(

x0

,

y0

,

z0

)(

y

-

y0

)+

Fz

(

x0

,

y0

,

z0

)(

z

-

z0

)

=

0法線方程為Fx

(

x0

,

y0

,

z0

)

Fy

(

x0

,

y0

,

z0

)

Fz(

x0

,y0

,

z0

)z

-

z0=

=x

-

x0

y

-

y0垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量曲面在M處的法向量即n

={Fx

(

x0

,

y0

,

z0

),

Fy

(

x0

,

y0

,

z0

),

Fz

(

x0

,

y0

,

z0

)}通過點M0

(x0

,y0

,z0

)而垂直于切平面的直線稱為曲面在該點的法線。特殊地：空間曲面方程形為z

=f

(x,y)曲面在M處的切平面方程為fx

(

x0

,

y0

)(

x

-

x0

)

+

f

y

(

x0

,

y0

)(

y

-

y0

)

=

z

-

z0曲面在M處的法線方程為=

z

-

z0=x

-

x0

y

-

y0fx

(

x0

,

y0

)

f

y

(

x0

,

y0

)

-

1F

(

x,

y,

z)

=

f

(

x,

y)

-

z令=

f

x

(

x0

,

y0

)(

x

-

x0

)

+

f

y

(

x0

,

y0

)(

y

-

y0

)z

-

z0切平面上點的豎坐標的增量全微分的幾何意義因為曲面在M處的切平面方程為函數(shù)z

=f

(x,y)在點(x0

,y0

)的全微分z

=f

(x,y)在(x0

,y0

)的全微分，表示曲面z

=f

(x,y)在點(x0

,y0

,z0

)處的切平面上的點的豎坐標的增量若a，b，g

表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它與z軸的正向所成的角g是銳角，則法向量的方向余弦為cosa

=x

y1

+

f

2

+

f

2-

fxcos

b

=x

y1

+

f

2

+

f

2-

f

y1

+

f

2

+

f

2x

y1cosg

=x

x

0

0f

=

f

(

x

,

y

)fy

0

0y=

f

(

x

,y

)其中解：Fx

(1,

2,0

)

=

2

y

(1,

2,0

)=

4,

Fy(1,

2,0

)=

2

x

=

2,(1,

2,0

)=

0(1,

2,0

)z

(1,

2,0

)F

=

1

-

ez處的切平面及法線方程。令

F

(

x,

y,

z)

=

z

-

ez

+

2

xy

-

3切平面方程法線方程4(

x

-

1)

+

2(

y

-

2)

+

0

(z

-

0)

=

02

x

+

y

-

4

=

0x

-

1

=

y

-

2

=

z

-

02

1

0例3

求曲面

z

-

e

z

+

2xy

=

3

在點(1,2,0)解:f

(

x,

y)

=

x

2

+

y2

-

1n

=

{2x,

2

y,

-

1}

=

{4,

2,-1}(

2,1,4

) (

2,1,4

)切平面方程法線方程為4(

x

-

2)

+

2(

y

-

1)

-

(

z

-

4)

=

0

4

x

+

2

y

-

z

-

6

=

0x

-

2

=

y

-

1

=

z

-

44

2

-

1例4

求旋轉(zhuǎn)拋物面

z

=

x

2

+

y2

-

1

在點(2,1,4)處的切平面及法線方程。例5

求曲面x2

+

2

y2

+

3z2

=

21平行于平面x

+