2022-2023學(xué)年上海市彭浦中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年上海市彭浦中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、填空題：（滿分40分，每小題4分）1．（4分）設(shè)全集，集合，則．2．（4分）在中，的取值范圍是．3．（4分）將化成有理數(shù)指數(shù)冪的形式．4．（4分）已知集合，，若，則的取值構(gòu)成的集合是．5．（4分）已知，，用、表示．6．（4分）已知集合，，，如果且，那么．7．（4分）若直角三角形斜邊長(zhǎng)等于，則直角三角形面積的最大值為．8．（4分）若不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．9．（4分）關(guān)于的不等式的解集是，則的解集是．10．（4分）對(duì)于使成立的所有常數(shù)中，我們把的最小值叫做的上確界，若正數(shù)，且，則的上確界為．二、選擇題：（滿分12分，每小題4分）11．（4分）下列表述錯(cuò)誤的是A． B．， C．， D．若，則12．（4分）對(duì)任意實(shí)數(shù)，，給出下列命題：①“”是“”的充要條件；②若，，則；③“”是“”的充分條件；④若，則；⑤若，，則．其中真命題的個(gè)數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．413．（4分）已知集合為正整數(shù)，則的所有非空真子集的個(gè)數(shù)是A．30 B．31 C．510 D．511三、解答題：（滿分0分）14．已知命題，命題．（1）求集合，；（2）若是的充分條件，求的取值范圍．15．已知，，且，求證：與中至少有一個(gè)小于2．16．解關(guān)于的不等式．17．在某次水下考古活動(dòng)中，需要潛水員潛入水深為30米的水底進(jìn)行作業(yè)．其用氧量包含3個(gè)方面：①下潛時(shí)，平均速度為（米單位時(shí)間），單位時(shí)間內(nèi)用氧量為；②在水底作業(yè)需5個(gè)單位時(shí)間，每個(gè)單位時(shí)間用氧量為0.4；③返回水面時(shí)，平均速度為（米單位時(shí)間），單位時(shí)間用氧量為0.2．記該潛水員在此次考古活動(dòng)中，總用氧量為．（1）將表示為的函數(shù)；（2）試確定下潛速度，使總的用氧量最少．18．（1）已知，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（2）已知集合，，且，求實(shí)數(shù)，的取值范圍．附加題19．不等式的解集為，關(guān)于的不等式的解集為．（1）當(dāng)時(shí)，用列舉法表示；（2）若集合中有2021個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍．20．（1）已知、為正實(shí)數(shù)，，，．試比較與的大小，并指出兩式相等的條件；（2）求函數(shù)的最小值．

2022-2023學(xué)年上海市彭浦中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題：（滿分40分，每小題4分）1．（4分）設(shè)全集，集合，則，．解：根據(jù)已知條件可得：，．故答案為：，．2．（4分）在中，的取值范圍是．解：要使得有意義，則，且，解得．故答案為：．3．（4分）將化成有理數(shù)指數(shù)冪的形式．解：．故答案為：．4．（4分）已知集合，，若，則的取值構(gòu)成的集合是．解：，，當(dāng)時(shí)，，滿足題意，當(dāng)時(shí)，，要滿足題意，只需或，解得或，綜上所述：．故答案為：．5．（4分）已知，，用、表示．解：因?yàn)椋?，所以由換底公式得：，因?yàn)?，而，所以，．故答案為：?．（4分）已知集合，，，如果且，那么4或1或．解：①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)集合，5，，符合題意，②當(dāng)時(shí)，或，若，集合，2，，符合題意，若，集合，0，，符合題意，綜上所求，的值為4或1或，故答案為：4或1或．7．（4分）若直角三角形斜邊長(zhǎng)等于，則直角三角形面積的最大值為25．解：根據(jù)題意，設(shè)直角三角形的直角邊為，，面積為，直角三角形斜邊長(zhǎng)等于，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故這個(gè)直角三角形的面積最大值為25．故答案為：25．8．（4分）若不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，．解：（1）當(dāng)時(shí)，得到，顯然不等式的解集為；（2）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)開(kāi)口向上，函數(shù)值不恒小于0，故解集為不可能．（3）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)開(kāi)口向下，由不等式的解集為，得到二次函數(shù)與軸沒(méi)有交點(diǎn)，即△，即，解得；綜上，的取值范圍為，．故答案為：，．9．（4分）關(guān)于的不等式的解集是，則的解集是．解：等價(jià)于，因其解集為，故可得，且，，故可得，，則，即，等價(jià)于，解得．故答案為：．10．（4分）對(duì)于使成立的所有常數(shù)中，我們把的最小值叫做的上確界，若正數(shù)，且，則的上確界為．解：因?yàn)?，且，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，故則的上確界為，故答案為：．二、選擇題：（滿分12分，每小題4分）11．（4分）下列表述錯(cuò)誤的是A． B．， C．， D．若，則解：對(duì)于表示集合，沒(méi)有任何元素．對(duì)；對(duì)于是任何空集合的子集，對(duì)；對(duì)于：表示點(diǎn)集，由與的交點(diǎn)構(gòu)成的集合．不對(duì)；對(duì)于，中任何元素在中都有，則，對(duì)；故選：．12．（4分）對(duì)任意實(shí)數(shù)，，給出下列命題：①“”是“”的充要條件；②若，，則；③“”是“”的充分條件；④若，則；⑤若，，則．其中真命題的個(gè)數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．4解：對(duì)①：當(dāng)時(shí)，由，顯然無(wú)法得到，充分性不成立，故①是假命題；對(duì)②：取，，，滿足，，但此時(shí)，不滿足，故②是假命題；對(duì)③：取，，滿足，但不滿足，充分性不成立，取，，滿足，但不滿足，必要性不成立，故③是假命題；對(duì)④：是上的單調(diào)增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，，故④是真命題；對(duì)⑤：，是上的單調(diào)增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，，故⑤是真命題．綜上所述，有2個(gè)真命題．故選：．13．（4分）已知集合為正整數(shù)，則的所有非空真子集的個(gè)數(shù)是A．30 B．31 C．510 D．511解：集合為正整數(shù)，故由于集合為正整數(shù)，所以，，0，1，，2，，3，，故集合的所有非空真子集的個(gè)數(shù)是．故選：．三、解答題：（滿分0分）14．已知命題，命題．（1）求集合，；（2）若是的充分條件，求的取值范圍．解：（1），故可得，解得，，故，；不等式可化為，，即且，解得，，故，．（2）若是的充分條件，則，故或，解得或，故的取值范圍為：，．15．已知，，且，求證：與中至少有一個(gè)小于2．解：用反證法．假設(shè)與都大于或等于2，即，（4分），，故可化為，兩式相加，得，與已知矛盾．所以假設(shè)不成立，即原命題成立．（12分）16．解關(guān)于的不等式．解：當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，解得，故不等式解集為，當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，其對(duì)應(yīng)二次方程的兩根為，當(dāng)，即時(shí)，不等式解集為；當(dāng)，即時(shí)，不等式解集為；當(dāng)，即時(shí)，不等式解集為．綜上所述：當(dāng)時(shí)，不等式解集為；當(dāng)時(shí)，不等式解集為；當(dāng)時(shí)，不等式解集為；當(dāng)時(shí)，不等式解集為．17．在某次水下考古活動(dòng)中，需要潛水員潛入水深為30米的水底進(jìn)行作業(yè)．其用氧量包含3個(gè)方面：①下潛時(shí)，平均速度為（米單位時(shí)間），單位時(shí)間內(nèi)用氧量為；②在水底作業(yè)需5個(gè)單位時(shí)間，每個(gè)單位時(shí)間用氧量為0.4；③返回水面時(shí)，平均速度為（米單位時(shí)間），單位時(shí)間用氧量為0.2．記該潛水員在此次考古活動(dòng)中，總用氧量為．（1）將表示為的函數(shù)；（2）試確定下潛速度，使總的用氧量最少．解：（1）①下潛時(shí)，平均速度為（米單位時(shí)間），單位時(shí)間內(nèi)用氧量為；②在水底作業(yè)需5個(gè)單位時(shí)間，每個(gè)單位時(shí)間用氧量為0.4；③返回水面時(shí)，平均速度為（米單位時(shí)間），單位時(shí)間用氧量為0.2．記該潛水員在此次考古活動(dòng)中，總用氧量為．（8分）（2）（12分）當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)答：當(dāng)下潛速度為時(shí)，總用氧量最少．（16分）18．（1）已知，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（2）已知集合，，且，求實(shí)數(shù)，的取值范圍．解：（1）因?yàn)?，故可得，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最小值4；根據(jù)題意，恒成立，即恒成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，要滿足題意，只需即可，解得，又，故的取值范圍為：．（2）不等式等價(jià)于，解得或，即，又因?yàn)椋士傻?為方程的一根，且其另一個(gè)根的范圍是，令，則（3），且，即，且，解得，．故，的取值范圍分別為，．附加題19．不等式的解集為，關(guān)于的不等式的解集為．（1）當(dāng)時(shí)，用列舉法表示；（2）若集合中有2021個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1），即，解得或，故或，當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，即，解得，故，則或，故，；（