7.1.2+復(fù)數(shù)的幾何意義+教學(xué)設(shè)計(jì)-2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

§7.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義一、內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容：復(fù)數(shù)的幾何意義．內(nèi)容解析：本節(jié)課選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書-必修第二冊(cè)》（人教A版）第七章第1節(jié)第二課時(shí)的內(nèi)容．通過(guò)本節(jié)課學(xué)習(xí)，要使學(xué)生在問(wèn)題情境中了解數(shù)系擴(kuò)充的過(guò)程以及引入復(fù)數(shù)的必要性，學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的一些基本知識(shí)，體會(huì)人類理性思維在數(shù)系擴(kuò)充中的作用.本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的概念之后，對(duì)復(fù)數(shù)概念的進(jìn)一步理解和深化，為下一節(jié)課復(fù)數(shù)加法和減法幾何意義的學(xué)習(xí)提供了理論支撐。因此，本節(jié)課具有承上啟下的作用。同時(shí)對(duì)加深學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識(shí)，發(fā)展學(xué)生的思維能力具有重要意義。二、目標(biāo)和目標(biāo)解析目標(biāo)：（1）理解可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)或以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量來(lái)表示復(fù)數(shù)及它們之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．（2）掌握實(shí)軸、虛軸、模等概念．（3）掌握用向量的模來(lái)表示復(fù)數(shù)的模的方法．目標(biāo)解析：（1）復(fù)數(shù)的幾何意義，溝通了復(fù)數(shù)與平面向量、有序等知識(shí)的聯(lián)系，為解決平面向量、三角函數(shù)和平面幾何問(wèn)題提供了一種重要途徑，實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形，代數(shù)與幾何之間的溝通.（2）本節(jié)內(nèi)容突出了復(fù)數(shù)的幾何意義，體現(xiàn)了形與數(shù)的融合，此外，本節(jié)的知識(shí)也蘊(yùn)含了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，如，某些復(fù)數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為平面向量問(wèn)題去解決、某些平面向量問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化成復(fù)數(shù)問(wèn)題去解決等，再有，本節(jié)在研究過(guò)程中也運(yùn)用了類比的研究方法，運(yùn)用好本節(jié)的相關(guān)知識(shí)素材，讓學(xué)生體會(huì)這些數(shù)學(xué)思想方法，有助于提升他們的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).基于上述分析，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)定為：復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)或以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量來(lái)表示復(fù)數(shù)及它們之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，掌握用向量的模來(lái)表示復(fù)數(shù)的模的方法．三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析教學(xué)問(wèn)題一：在知識(shí)儲(chǔ)備上，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了數(shù)系擴(kuò)充的過(guò)程，學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的概念，但研究復(fù)數(shù)的幾何意義，從思維角度看學(xué)生還缺乏經(jīng)驗(yàn)；因此，在研究其幾何意義，探究復(fù)數(shù)a+bi和平面上的點(diǎn)Z(a，b)以及向量OZ一一對(duì)應(yīng)時(shí)有一定難度.解決方案：在講解本節(jié)前，可提前布置一些預(yù)習(xí)作業(yè)，讓學(xué)生為新課的學(xué)習(xí)做好知識(shí)準(zhǔn)備，或者在課上先復(fù)習(xí)平面向量的相關(guān)知識(shí)，再進(jìn)行新課的學(xué)習(xí)和探究，探究時(shí)要充分注意復(fù)數(shù)與平面向量的聯(lián)系性，這是突破難點(diǎn)的一個(gè)重要舉措．教學(xué)問(wèn)題二：復(fù)數(shù)模的幾何意義是本節(jié)課的第二個(gè)教學(xué)問(wèn)題．這不僅是本節(jié)課的重點(diǎn)，也是教學(xué)難點(diǎn)．解決方案：復(fù)習(xí)初中學(xué)過(guò)的圓的定義，距離的定義，將模與距離，與向量的模相類比，從而突破這一難點(diǎn)．基于上述情況，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)定為：理解可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)或以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量來(lái)表示復(fù)數(shù)及它們之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．四、教學(xué)策略分析本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)問(wèn)題為我們選擇教學(xué)策略提供了啟示．為了讓學(xué)生通過(guò)觀察、類比得到復(fù)數(shù)的幾何意義，應(yīng)該為學(xué)生創(chuàng)造積極探究的平臺(tái)．可以讓學(xué)生從被動(dòng)學(xué)習(xí)狀態(tài)轉(zhuǎn)到主動(dòng)學(xué)習(xí)狀態(tài)中來(lái)．在教學(xué)設(shè)計(jì)中，采取問(wèn)題引導(dǎo)方式來(lái)組織課堂教學(xué)．問(wèn)題的設(shè)置給學(xué)生留有充分的思考空間，讓學(xué)生圍繞問(wèn)題主線，通過(guò)自主探究突出教學(xué)重點(diǎn)，突破教學(xué)難點(diǎn)．在教學(xué)過(guò)程中，重視復(fù)數(shù)幾何意義的探究，讓學(xué)生體會(huì)類比推理的基本過(guò)程，同時(shí)，復(fù)數(shù)模的幾何意義是數(shù)形結(jié)合的典范．因此，本節(jié)課的教學(xué)是實(shí)施數(shù)學(xué)具體內(nèi)容的教學(xué)與核心素養(yǎng)教學(xué)有機(jī)結(jié)合的嘗試．五、教學(xué)過(guò)程與設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)問(wèn)題或任務(wù)師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖復(fù)習(xí)回顧，溫故知新[問(wèn)題1]復(fù)數(shù)的概念？[問(wèn)題2]復(fù)數(shù)相等的充要條件？[問(wèn)題3]復(fù)數(shù)的分類？教師1：提出問(wèn)題1．學(xué)生1：形如z＝a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)教師2：提出問(wèn)題2．學(xué)生2：設(shè)a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，那么a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d.教師3：提出問(wèn)題3．學(xué)生3：z＝a＋bi(a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(實(shí)數(shù)b＝0,虛數(shù)b≠0\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(非純虛數(shù)a≠0,純虛數(shù)a＝0))))通過(guò)復(fù)習(xí)，引入本節(jié)新課。建立知識(shí)間的聯(lián)系，提高學(xué)生概括、類比推理的能力。探索交流，解決問(wèn)題[問(wèn)題4]我們知道，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，因此實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示。那么，復(fù)數(shù)有什么幾何意義呢？[問(wèn)題5]復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量有怎樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系？[問(wèn)題6]向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模與點(diǎn)Z有什么關(guān)系？教師4：提出問(wèn)題4．學(xué)生4：復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.教師5：提出問(wèn)題5．學(xué)生5：一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．教師6：提出問(wèn)題6.學(xué)生6：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模等于點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離．教師7：復(fù)數(shù)的幾何意義：1.復(fù)平面復(fù)平面中點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示復(fù)數(shù)的實(shí)部，點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示復(fù)數(shù)的虛部。2.復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b).(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→)).3.復(fù)數(shù)的模(1)定義：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模或絕對(duì)值.(2)記法：復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模記為|z|或|a＋bi|.(3)公式：|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(a，b∈R).如果b＝0，那么z＝a＋bi是一個(gè)實(shí)數(shù)，它的模就等于|a|(a的絕對(duì)值).4.共軛復(fù)數(shù)一般地，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)，虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù).復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用eq\o(z,\s\up6(－))表示，即如果z＝a＋bi，那么eq\o(z,\s\up6(－))＝a－bi.通過(guò)思考，引入復(fù)數(shù)的幾何意義，提高學(xué)生分析問(wèn)題、概括能力。典例分析，舉一反三1.復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)例1.在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)：(1)在虛軸上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直線y＝x上，分別求實(shí)數(shù)m的取值范圍.2.復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的向量的關(guān)系例2.設(shè)O是原點(diǎn)，向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為2－3i，－3＋2i，那么向量eq\o(BA,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A.－5＋5iB.－5－5iC.5＋5iD.5－5i3.復(fù)數(shù)的模及幾何意義例3.設(shè)z∈C，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z，試說(shuō)明滿足下列條件的點(diǎn)Z的集合是什么圖形.(1)|z|＝2；(2)1≤|z|≤2.[課堂練習(xí)1]1、實(shí)數(shù)x取什么值時(shí)，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i的點(diǎn)Z：(1)位于第三象限；(2)位于直線x－y－3＝0上[課堂練習(xí)2]若復(fù)數(shù)z＝a＋i(a∈R)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z，則|z|＝eq\r(2)時(shí)，a＝________；此時(shí)Z與點(diǎn)(1，2)的距離是________.教師8：完成例1.學(xué)生7：復(fù)數(shù)z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的實(shí)部為m2－2m－8，虛部為m2＋3m－10.(1)由題意得m2－2m－8＝0.解得m＝－2或m＝4.(2)由題意，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－2m－8＜0，,m2＋3m－10＞0，))∴2<m<4.(3)由題意，(m2－2m－8)(m2＋3m－10)<0，∴2<m<4或－5<m<－2.(4)由已知得m2－2m－8＝m2＋3m－10，故m＝eq\f(2,5).教師9：完成例2學(xué)生8：由復(fù)數(shù)的幾何意義，得eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，－3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－3，2)，eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2，－3)－(－3，2)＝(5，－5)，所以eq\o(BA,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是5－5i.選D教師10：完成例3學(xué)生9：(1)|z|＝2說(shuō)明復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離為2，這樣的點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)O為圓心，2為半徑的圓.(2)不等式1≤|z|≤2可以轉(zhuǎn)化為不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|z|≤2，,|z|≥1.))不等式|z|≤2的解集是圓|z|＝2及該圓內(nèi)部所有點(diǎn)的集合.不等式|z|≥1的解集是圓|z|＝1及該圓外部所有點(diǎn)的集合.這兩個(gè)集合的交集，就是滿足條件1≤|z|≤2的點(diǎn)的集合.如圖中的陰影部分，所求點(diǎn)的集合是以O(shè)為圓心，以1和2為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)，并且包括圓環(huán)的邊界.教師11：布置課堂練習(xí)1、2．學(xué)生10：完成課堂練習(xí)，并核對(duì)答案．通過(guò)例題進(jìn)一步鞏固復(fù)數(shù)的幾何意義，提高學(xué)生的概括問(wèn)題的能力、解決問(wèn)題的能力。[課堂練習(xí)1]鞏固復(fù)數(shù)的幾何意義．[課堂練習(xí)2]鞏固復(fù)數(shù)模的幾何意義課堂小結(jié)升華認(rèn)知[問(wèn)題7]通過(guò)這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識(shí)？在解決問(wèn)題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？[課后練習(xí)]1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝i＋2i2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)6＋5i，－2＋3i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B.若C為線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A.4＋8iB.8＋2iC.2＋4iD.4＋i3.若復(fù)數(shù)z＝(m－2)＋(m＋1)i為純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位)，其中m∈R，則|eq\o(z,\s\up6(