2023學(xué)年完整公開課版數(shù)學(xué)歸納法2

數(shù)學(xué)歸納法（一）（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)時，左邊應(yīng)為

。（1）如果命題對成立，則對也成立，又若對成立，則下列結(jié)論正確的是（）A、對所有自然數(shù)成立B、對所有正偶數(shù)成立C、對所有正奇數(shù)成立D、對所有大于1的自然數(shù)成立預(yù)習(xí)檢測1、通過預(yù)習(xí)同學(xué)們有什么收獲？（分組討論后選出學(xué)生回答）

練習(xí)檢測?B-1解:

一、探究數(shù)列中，，，求以6為周期探究出證明有關(guān)正整數(shù)命題的方法（建立數(shù)學(xué)模型）。證題步驟：（1）n取第一個值(例如）時命題成立；（2）假設(shè)時命題成立,利用它證明當(dāng)

時也命題成立；注意：第一步中n可取的第一個值不一定是1;

第二步是證明一個命題,必須要利用假設(shè)的結(jié)論證明n=k+1時結(jié)論正確;用這種遞推思想證明：如果是一個等差數(shù)列，那么：

對一切都成立.

證明:(1)當(dāng)時，左，右，所以等式成立(2)假設(shè)當(dāng)時等式成立，就是那么∴當(dāng)n=k+1時，等式成立由(1)(2)知對任何n∈N等式成立2、數(shù)學(xué)歸納法：

我們知道，有一些命題是和正整數(shù)有關(guān)的，如果這個命題的情況有無限種，那么我們不可能用完全歸納法逐一進行證明，而不完全歸納法又不可靠，怎么辦？------用數(shù)學(xué)歸納法步驟：①驗證n=n0時命題成立。（n0為n取的第一個值）②假設(shè)n=k(k∈N,k≥n0)時命題成立,證明n=k+1

時命題也成立。③根據(jù)①②得出結(jié)論。

概括起來就是“兩個步驟，一個結(jié)論?！崩?、用數(shù)學(xué)歸納法證明1+3+5+……+(2n-1)=n2

（n∈N）.

證明：①當(dāng)n=1時，左邊=1，右邊=1，等式成立。

②假設(shè)n=k(k∈N,k≥1)時等式成立,即：

1+3+5+……+(2k-1)=k2，

當(dāng)n=k+1時：

1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2，所以當(dāng)n=k+1時等式也成立。

由①和②可知，對n∈N，原等式都成立。請問：第②步中“當(dāng)n=k+1時”的證明可否改換為：1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1)==(k+1)2?為什么？1、三個步驟卻一不可:第一步是是奠基步驟，是命題論證的基礎(chǔ)，稱之為歸納基礎(chǔ)；第二步是歸納步驟，是推理的依據(jù)，是判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，它反映了無限遞推關(guān)系，其中“假設(shè)n=k時成立”稱為歸納假設(shè)(注意是“假設(shè)”，而不是確認命題成立)。如果沒有第一步，第二步就沒有了意義；如果沒有第二步，就成了不完全歸納，結(jié)論就沒有可靠性；第三步是總體結(jié)論，也不可少。2、在第二步的證明中必須用到前面的歸納假設(shè)，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法了。3、數(shù)學(xué)歸納法只適用于和正整數(shù)有關(guān)的命題。由以上可知，用數(shù)學(xué)歸納法需注意：以問題2為例：問題2：在數(shù)列{an}中，a1=1,,先計算a2,,a3,a4的值，再推測通項an的公式.a2=,a3=,a4=,推測an=證明思路：先證明“第一項滿足公式”再證明命題“若某一項滿足公式，則下一項也滿足公式”證明：（1）當(dāng)n=1時,左=a1=1,右==1，所以公式成立。（2）假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N)時,公式成立,即ak=那么：∴當(dāng)n=k+1時,公式成立由(1)(2)知對任意正整數(shù)n,an=成立.練習(xí)：1、用數(shù)學(xué)歸納法證明（a≠1），在驗證n=1等式成立時，左邊應(yīng)取的項是__________.2、某個命題當(dāng)n=k(k∈N)時成立，可證得當(dāng)n=k+1時也成立。現(xiàn)在已知當(dāng)n=5時該命題不成立，那么可推得（）A、n=6時該命題不成立B、n=6時該命題成立C、n=4時該命題不成立D、n=4時該命題成立3、證明：

C1、用數(shù)學(xué)歸納法證明問題，三個步驟缺一不可；2、注意證明等式時第一步中n=1時左右兩邊的形式，第二步中

n=k+1時應(yīng)增加的式子；3、第二步中證明n=k+1命題成立是全局的主體，主要注意兩個