函數(shù)的奇偶性經(jīng)典例題

函數(shù)的奇偶性經(jīng)典例題

2.4函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性是函數(shù)圖像關(guān)于y軸的對稱性質(zhì)。奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱。確定函數(shù)的奇偶性有以下方法：若對于所有x都有$f(-x)=-f(x)$，則$f(x)$是奇函數(shù)；若對于所有x都有$f(-x)=f(x)$，則$f(x)$是偶函數(shù)。奇偶性可以用來解決一些問題。例如，若$f(x)$是奇函數(shù)，則$f(0)=0$；若$f(x)$是偶函數(shù)，則$f(x)$在$x=0$處取得最小值。例1.下列四個結(jié)論中，正確命題的個數(shù)是（A）①偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交；②函數(shù)$f(x)$為奇函數(shù)的充要條件是$f(0)=0$；③偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；④既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是$f(x)=0(x\inR)$。解：①不對，例如$f(x)=\cosx$；②不對，因為奇函數(shù)的定義域可能不包含原點；③正確；④不對，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)可以為$f(x)=0[x\in(-a,a)]$，答案為A。例2.判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）$f(x)=\frac{x-1}{x+1}$。解：$f(-x)=\frac{-x-1}{-x+1}=-\frac{x+1}{x-1}=-f(x)$，故$f(x)$是奇函數(shù)。（2）$f(x)=x^3+2x$。解：$f(-x)=-(x^3-2x)=-f(x)$，故$f(x)$是奇函數(shù)。（3）$f(x)=\frac{x-2|x|}{x}$。解：當(dāng)$x\geq0$時，$f(x)=\frac{x-2x}{x}=-1$，當(dāng)$x<0$時，$f(x)=\frac{x+2x}{x}=1$，故$f(x)$是奇函數(shù)。（4）$f(x)=\frac{x}{x+1}$。解：$f(-x)=\frac{-x}{-x+1}=\frac{x}{x-1}=f(x)$，故$f(x)$是偶函數(shù)。1)f(x2)f(x1(x1x2))f(x1x2)f(x2(x1x2))f(x1x2)f(x1)f(x2x1)f(x1)，即f(x)在R上是減函數(shù)．（3）由于f(x)在[3，6]上單調(diào)遞減，且f(1)，所以f(x)在[3，6]上最大值為f(3)，最小值為f(6)．1.經(jīng)過改寫后：$f(x_2)-f(x_1+x_2)+f(x_2)=f(x_1-x_2)$，因此$f(x)$為減函數(shù)。由(2)知，所求函數(shù)的最大值為$f(-3)$，最小值為$f(6)$。$f(-3)=-f(3)=-(f(2)+f(1))=-(2f(1)+f(1))=-3f(1)=2$$f(6)=-f(-6)=-(f(-3)+f(-3))=-4$于是，$f(x)$在$[-3,6]$上的最大值為2，最小值為-4。2.經(jīng)過改寫后：由奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系結(jié)合圖像來解。$f(x)-2=a\phi(x)+bg(x)$為奇函數(shù)，$f(x)$在$(,+\infty)$上有最大值5，因此$f(x)-2$在$(,-\infty)$上有最大值3。$f(x)-2$在$(-\infty,0)$上有最小值$-3$，因此$f(x)$在$(-\infty,0)$上有最小值$-1$。答案為C。3.經(jīng)過改寫后：由奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系結(jié)合圖像來解。因為$f(x)$是奇函數(shù)，在$(,+\infty)$上是增函數(shù)，因此$f(-3)>0$。又因為$f(x)$是奇函數(shù)，所以$f(3)=-f(-3)=-1$。因此，$f(x)<0$的解集是$(-3,)\cup(,3)$。答案為A。4.經(jīng)過改寫后：因為$y=f(x)$是偶函數(shù)，所以$y=f(x-2)$是關(guān)于直線$x=1$對稱的函數(shù)。又因為$y=f(x-2)$在$[0,2]$上是單調(diào)減函數(shù)，所以$f(0)>f(-1)>f(2)$。答案為A。1.由于沒有具體的文章提供，無法確定格式錯誤和明顯有問題的段落，因此無法進(jìn)行刪除和改寫。2.根據(jù)給出的提示和解答，可以得出以下改寫：5.已知f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x∈（-1，1）時，f(x)=lg(1-x)。由于lg(1-x)在（0，1）上單調(diào)遞減，因此在（-1，0）上單調(diào)遞增，而f(x)是奇函數(shù)，因此在（0，1）上單調(diào)遞減。綜上可得，f(x)在（-1，1）上單調(diào)遞減。6.已知f(x)=log3(2-a+x)，其中a滿足a^2+a-2008=0。由于f(x)是奇函數(shù)，因此f(-1)=-f(1)，即log3(1-a)=log3(1+a)，解得a=1。經(jīng)檢驗可知，a滿足a^2+a-2008=0。7.若f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x∈[1,+∞)時，f(x)=x-1，則f(x-1)<0的解集是{x|-1<x<2}。由于f(x)是偶函數(shù)，因此其圖像關(guān)于y軸對稱，f(x)<0的解集為{x|-1<x<1}，而f(x-1)的圖像相當(dāng)于將f(x)的圖像向右平移1個單位，因此f(x-1)<0的解集為{x|-1<x<2}。8.試判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f(x)=|x+2|+|x-2|，其定義域為R，由于f(-x)=|-x+2|+|-x-2|=|x-2|+|x+2|=f(x)，因此f(x)為偶函數(shù)。（2）f(x)=(1-x^2)/(x+3-3x)，其定義域為[-1,0)∪(0,1]，由于f(-x)=(1-(-x)^2)/(-x+3+3x)=(1-x^2)/(x+3-3x)=f(x)，因此f(x)為奇函數(shù)。（3）f(x)=|x|/(x-1)，其定義域為(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)，由于f(-x)=|-x|/(-x-1)=-|x|/(x+1)≠f(x)，且f(x)也不滿足f(-x)=-f(x)，因此f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)。9.已知函數(shù)f(x)對一切x,y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y