隨機前沿生產(chǎn)函數(shù)講義教學(xué)課件

隨機前沿生產(chǎn)函數(shù)講義隨機前沿生產(chǎn)函數(shù)講義隨機前沿生產(chǎn)函數(shù)講義隨機前沿生產(chǎn)函數(shù)一、引言生產(chǎn)率和效率的度量涉及到生產(chǎn)函數(shù)。DEA方法的特點是將有效的生產(chǎn)單位連接起來，用分段超平面的組合也就是生產(chǎn)前沿面來緊緊包絡(luò)全部觀測點，是一種確定性前沿方法，沒有考慮隨機因素對生產(chǎn)率和效率的影響。隨機前沿生產(chǎn)函數(shù)則解決了這個問題。但非參數(shù)方法存在的最大局限是:該方法主要運用線性規(guī)劃方法進(jìn)行計算,而不像參數(shù)方法有統(tǒng)計檢驗數(shù)作為樣本擬合度和統(tǒng)計性質(zhì)的參考;另外,非參數(shù)方法對觀測數(shù)有一定的限制,有時不得不舍棄一些樣本值,這樣就影響了觀測結(jié)果的穩(wěn)定性。因此,我們在這里選擇參數(shù)方法進(jìn)行前沿生產(chǎn)函數(shù)的計算。在參數(shù)型前沿生產(chǎn)函數(shù)的研究中,圍繞誤差項的確立,又分為隨機性和確定性兩種方法。首先,確定性前沿生產(chǎn)函數(shù)不考慮隨機因素的影響,直接直接采用線性規(guī)劃方法計算前沿面,確定性前沿生產(chǎn)函數(shù)把影響最優(yōu)產(chǎn)出和平均產(chǎn)出的全部誤差統(tǒng)歸入單側(cè)的一個誤差項ε中,并將其稱為生產(chǎn)非效率;隨機前沿生產(chǎn)函數(shù)(StochasticFrontierProductionFunction)在確定性生產(chǎn)函數(shù)的基礎(chǔ)上提出了具有復(fù)合擾動項的隨機邊界模型。其主要思想為隨機擾動項ε應(yīng)由v和u組成,其中v是隨機誤差項,是企業(yè)不能控制的影響因素,具有隨機性,用以計算系統(tǒng)非效率;u是技術(shù)損失誤差項,是企業(yè)可以控制的影響因素,可用來計算技術(shù)非效率。很明顯,參數(shù)型隨機前沿生產(chǎn)函數(shù)體現(xiàn)了樣本的統(tǒng)計特性,也反映了樣本計算的真實性二、確定性前沿生產(chǎn)函數(shù)測算全要素生產(chǎn)率的傳統(tǒng)方法是索洛余值法(SRA),其關(guān)鍵是假定所有生產(chǎn)者都能實現(xiàn)最優(yōu)的生產(chǎn)效率,從而將產(chǎn)出增長中要素投入貢獻(xiàn)以外的部分全部歸結(jié)為技術(shù)進(jìn)步(technologicalprogress)的結(jié)果,這部分索洛剩余后來被稱為全要素生產(chǎn)率(李京文等1998)。然而,SRA法的理論假設(shè)不完全符合現(xiàn)實,因為現(xiàn)實經(jīng)濟中大部分生產(chǎn)者不能達(dá)到投入—產(chǎn)出關(guān)系的技術(shù)邊界(Farrell,1957)?；谶@一思想,Aigner和Chu(1968)提出了前沿生產(chǎn)函數(shù)模型,將生產(chǎn)者效率分解為技術(shù)前(technologicalfrontier)和技術(shù)效(technicalefficiency)兩個部分,前者刻畫所有生產(chǎn)者投入—產(chǎn)出函數(shù)的邊界(frontieroftheproductionfunction);后者描述個別生產(chǎn)者實際技術(shù)與技術(shù)前沿的差距。確定性前沿生產(chǎn)函數(shù)模型如下：

其中u大于等于0，因而exp(-u)介于0和之間，反映了生產(chǎn)函數(shù)的非效率程度，也就是實際產(chǎn)出與最大產(chǎn)出的距離。在確定了生產(chǎn)函數(shù)的具體形式后，可以計算或估計其參數(shù)，如下所述。

假如N個公司，每個公司使用K種投入組成的投入向量來生產(chǎn)出單一產(chǎn)出，生產(chǎn)函數(shù)采用C-D形式：（1）

(1)式中是產(chǎn)出的自然對數(shù)；是K+1維行向量，其中一個元素是1，其余K個元素K種投入數(shù)量的自然對數(shù).是待估計的K+1維列向量；是非負(fù)的隨機變量，用來度量技術(shù)的有效性：（2）是一種產(chǎn)出導(dǎo)向的效率度量，其值介于0和1之間，它是觀察到的產(chǎn)出與使用同樣投入并且由技術(shù)有效的公司生產(chǎn)的之比，參數(shù)由下述方程得出。1.目標(biāo)規(guī)劃方法（3）

它等價于：（4）

參數(shù)也可以由下列二次規(guī)劃問題計算得出：（5）

上述目標(biāo)規(guī)劃的主要缺點是其參數(shù)是計算的而不是估計的，無統(tǒng)計解釋。如果假設(shè)服從指數(shù)分布，則線性規(guī)劃“估計”就是最大似然估計：

如果假設(shè)服從正態(tài)分布，則二次規(guī)劃“估計”就是最大似然估計：其中C代表常數(shù)

上述“解釋”給予目標(biāo)規(guī)劃方法一個清晰的統(tǒng)計基礎(chǔ)，但這些計算的參數(shù)仍然像估計的參數(shù)那樣有標(biāo)準(zhǔn)差。

2.修正最小二乘法（COLS）

它分為兩步：第一步，先用OLS估計（1）式：

得到一致和無偏的斜率參數(shù)，以及一致和有偏的截面參數(shù)。第二步，有偏的截距參數(shù)被向上修正以保證估計的前沿是所有數(shù)據(jù)的上界：‘

COLS估計的生產(chǎn)前沿平行于OLS回歸（以自然對數(shù)形式），意味著最好的生產(chǎn)技術(shù)的結(jié)構(gòu)與中心（平均）趨勢的生產(chǎn)結(jié)構(gòu)一致，這是COLS的缺陷，應(yīng)當(dāng)允許處于生產(chǎn)前沿上的有效率的公司的生產(chǎn)結(jié)構(gòu)不同于位于平均位置的公司的生產(chǎn)結(jié)構(gòu)。三、隨機前沿生產(chǎn)函數(shù)

由于確定性前沿生產(chǎn)函數(shù)沒有考慮到產(chǎn)活動中存在的隨機現(xiàn)象，Aigner，ovell，Schmidt(ALS)和Meeusen,vandenBroeck(MB)同時于1977年引進(jìn)了隨機前沿生產(chǎn)函數(shù)

（1）其中v代表影響生產(chǎn)活動的隨機因素，一般假設(shè)它是獨立同分布（i.i.d)的正態(tài)隨機變量，具有0均值和不變方差；代表隨機前沿生產(chǎn)函數(shù)；u(非負(fù))代表著生產(chǎn)效率或管理效率，一般假設(shè)它是獨立同分布的半正態(tài)隨機變量或指數(shù)隨機變量獨立于。假設(shè)生產(chǎn)函數(shù)取C-D形式：（2）在上述v和u的假設(shè)下，可以使用最大似然法（ML）或調(diào)整最小二乘法（MOLS）估計參數(shù)和誤差項，進(jìn)而得到技術(shù)效率，如下所述。1.正態(tài)——半正態(tài)模型的ML估計假設(shè)：（1）

（2）

（3）和的分布相互獨立，且與解釋變量相互獨立。u,v的密度函數(shù)以及u和v的聯(lián)合密度函數(shù)，u和的聯(lián)合密度函數(shù)分別是:

是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)（3）

于是可給出參數(shù)、、的ML估計，從而得到、以及技術(shù)效率的估計：

2.正態(tài)——指數(shù)模型的ML估計假設(shè)：（1）（2）指數(shù)分布（3）和的密度函數(shù)以及u和v的聯(lián)合密度函數(shù)、和的聯(lián)合密度函數(shù)分別是：于是可給出參數(shù)、、的ML估計以及技術(shù)效率的估計：3.正態(tài)——半正態(tài)模型的矩估計（MOLS）此時的假設(shè)與正態(tài)——半正態(tài)模型的ML估計的假設(shè)一樣，模型是：（7）首先，模型（7）具有0均值和不變的方差，因而可用OLS得到參數(shù)的一直估計，的OLS估計不是一致的。其次，用矩方法得到和的方差估計：是常數(shù)，

再次，用的方差估計量來對OLS截距估計進(jìn)行調(diào)整（MOLS）：

最后用（6）式得到技術(shù)效率的點估計。關(guān)于這兩種估計方法的比較，Olson,Schmidt,Waldman基于蒙特卡羅試驗的基礎(chǔ)上指出：選擇哪種估計反復(fù)取決于值和樣本大小。當(dāng)容量<400且<3.16時，矩估計優(yōu)于ML估計，當(dāng)較大時，ML估計優(yōu)于矩估計，并且隨著樣本容量的增加，這種優(yōu)勢也增加。但是，由于MOLS估計的第一步?jīng)]有使用分布假設(shè)，所以其第一步估計對和的分布是穩(wěn)健的。下面利用隨機前沿生產(chǎn)函數(shù)估計利潤效率。假設(shè)生產(chǎn)前沿為：

這里是產(chǎn)出數(shù)量，代表可變投入向量，代表固定投入向量，代表著產(chǎn)出導(dǎo)向的技術(shù)無效率，利潤最大化的一階條件是：其中度量配置效率，<0和>0

分別代表著可變投入的不足和過度。考慮C——D生產(chǎn)函數(shù)及其一階條件：假設(shè)：（1）

（2）

（3）（4），，是相互獨立的則密度函數(shù)、聯(lián)合密度函數(shù)和似然函數(shù)分別是：

這里：

極大化該似然函數(shù)，得到所有技術(shù)參數(shù)和效率參數(shù)，然后用下式估計技術(shù)效率：

配置效率的估計可通過在一階條件的殘差中減去技術(shù)效率來得到。

四、對生產(chǎn)率和效率變化的度量生產(chǎn)率的增長是由三部分組成，一個是技術(shù)進(jìn)步（如新技術(shù)的采用和新產(chǎn)品的發(fā)現(xiàn)），二是技術(shù)效率（如管理效率的提高和生產(chǎn)經(jīng)驗的積累），三是規(guī)模效率（組建和管理大企業(yè)乃至大國經(jīng)濟的能力）。在實踐中，這一新的生產(chǎn)率概念主要應(yīng)用生產(chǎn)函數(shù)進(jìn)行拆分，而前沿生產(chǎn)函數(shù)的估測又較多依賴于面板數(shù)據(jù)的采用。對生產(chǎn)率進(jìn)行拆分的前沿生產(chǎn)函數(shù)模型主要分兩種，一種為隨機性的參數(shù)型模型，另一種為確定性的非參數(shù)型模型。前者通常先估計一個生產(chǎn)函數(shù)，考慮到該生產(chǎn)函數(shù)中誤差項目的復(fù)合結(jié)構(gòu)及其分布形式，并根據(jù)誤差項的分布假設(shè)不同，采用相應(yīng)的技術(shù)方法來估計生產(chǎn)函數(shù)中的各個參數(shù)。其最大優(yōu)點是通過估計生產(chǎn)函數(shù)對個體的生產(chǎn)過程進(jìn)行了描述，從而使對技術(shù)效率的估計得到了控制；缺點是對效率的偏倚方向設(shè)定及效率和技術(shù)進(jìn)步參數(shù)之間的識別尚無法提供靈活、可行的解決方案。后者則首先根據(jù)樣本中所有個體的投入和產(chǎn)出構(gòu)造一個能包容所有個體生產(chǎn)方式的最小的可能性集合：即所有要素和產(chǎn)出的有效組合。1、設(shè)

以上代表所采用的生產(chǎn)技術(shù)：（1）

（2）其中TE代表技術(shù)效率的變化，TC代表技術(shù)進(jìn)步，二者均以S期為基期，即假定基期數(shù)值為1，求出比較期的數(shù)值，他們均可能大于1，若以對數(shù)形式表示，其含義是相對于基期的增長率，因而（2）式更符合平常的生產(chǎn)率核算要求。2、SF方法假設(shè)SF生產(chǎn)函數(shù)如下：

(3)這里f(.)是合適的生產(chǎn)函數(shù)形式，如超越對數(shù)函數(shù)；t是時間趨勢，代表技術(shù)進(jìn)步（TC），其他符號如前。在估計了參數(shù)后，可得到；

3、對生產(chǎn)率變化（TFPC）的分解設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為則技術(shù)進(jìn)步（準(zhǔn)確的說叫技術(shù)變化，TC）用

度量，TC為正、為0、為負(fù)分別對應(yīng)著技術(shù)變化使得生產(chǎn)前沿向上移動、不動、向下移動；技術(shù)效率變化（TEC）用度量，TEC為正、為0、為負(fù)分別對應(yīng)著技術(shù)效率的下降、不變、上升。技術(shù)效率變化可以被解釋為生產(chǎn)者遠(yuǎn)離生產(chǎn)前沿、保持相對距離、向生產(chǎn)前沿移動，當(dāng)然在此過程中生產(chǎn)前沿也隨時間移動，全要素生產(chǎn)率變化(TFPC)采用Divisia指數(shù)（特氏數(shù)量指數(shù)）來度量，用sn表示基期（或現(xiàn)期）投入要素加之份額，字母上邊加一點表示其變化率：

因此，生產(chǎn)率變化（TFPC）分解為四部分第一部分為技術(shù)進(jìn)步TC;第二部分為規(guī)模報酬，如果采用規(guī)模報酬不變，假設(shè)（），則該項為0，在可變的規(guī)模報酬假設(shè)下，規(guī)模也可對生產(chǎn)率變化有正的貢獻(xiàn)：且投入擴張或且投入收縮；第三部分為配置效率，它由兩部分組成：由判斷投入配置是否有效率，或在投入配置有效率的情況下由判斷投入