新教材人教A版5.1.1任意角課件（44張）

5.1.1任意角第五章2021內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.了解任意角的概念,能區(qū)分各類角的概念.(數(shù)學(xué)抽象)2.掌握象限角的概念,并會用集合表示象限角.(直觀想象)3.理解終邊相同的角的含義及表示,并能解決有關(guān)問題.(數(shù)學(xué)運算)課前篇自主預(yù)習(xí)[激趣誘思]跳水是一項優(yōu)美的水上運動,它是從高處用各種姿勢躍入水中或是從跳水器械上起跳,在空中完成一定動作姿勢,并以特定動作入水的運動.每組跳水動作都有自己的號碼,以表示動作組別和翻騰轉(zhuǎn)體的周數(shù).如“305”表示第三組動作:反身翻騰兩周半;“113”表示第一組動作向前飛身翻騰一周半.這里的“兩周半”“一周半”分別是多少度?“向前”和“反身”又如何用角度來表達(dá)?[知識點撥]知識點一:任意角1.角的概念:平面內(nèi)的一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)所成的圖形.2.角的分類:按旋轉(zhuǎn)方向可將角分為三類類型定

義圖

示正角一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

負(fù)角一條射線繞其端點按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

零角一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn),就稱它形成了一個零角

3.相等角與角的加減(1)相等角:設(shè)角α由射線OA繞端點O旋轉(zhuǎn)而成,角β由射線O'A'繞端點O'旋轉(zhuǎn)而成.如果它們的旋轉(zhuǎn)方向相同且旋轉(zhuǎn)量相等,那么就稱α=β.(2)相反角:把射線OA繞端點O按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個角叫做互為相反角.角α的相反角記為-α.(3)設(shè)α,β是任意兩個角.我們規(guī)定,把角α的終邊旋轉(zhuǎn)角β,這時終邊所對應(yīng)的角是α+β.名師點析

角的概念推廣后,角的大小可以任意取值.把角放在直角坐標(biāo)系中進(jìn)行研究,對于一個給定的角,都有唯一的一條終邊與之對應(yīng),并使得角具有代數(shù)和幾何雙重意義.微思考始邊與終邊重合的角一定是零角嗎?提示

不一定.只有始邊沒做任何旋轉(zhuǎn),始邊與終邊重合的角才是零角.微練習(xí)經(jīng)過1個小時,時針轉(zhuǎn)過的角度是

.

答案

-30°知識點二:象限角與終邊相同的角1.象限角在直角坐標(biāo)系中,使角的頂點與原點重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.那么,角的終邊在第幾象限,就說這個角是第幾象限角.如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,那么就認(rèn)為這個角不屬于任何一個象限.2.終邊相同的角所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和.名師點析

對于集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}的理解應(yīng)注意三點(1)α是任意角.(2)“k∈Z”有三層含義:①特殊性:每取一個整數(shù)值就對應(yīng)一個具體的角.②一般性:表示所有與角α終邊相同的角(包括α自身).③從幾何意義上看,k表示角的終邊按一定的方向旋轉(zhuǎn)的圈數(shù),k取正整數(shù)時,逆時針旋轉(zhuǎn);k取負(fù)整數(shù)時,順時針旋轉(zhuǎn);k=0時,沒有旋轉(zhuǎn).(3)集合中“k·360°”與“α”之間用“+”連接,如k·360°-30°應(yīng)看成k·360°+(-30°),表示與-30°角終邊相同的角.微判斷(1)鈍角是第二象限角.(

)(2)第二象限角是鈍角.(

)(3)第二象限角大于第一象限角.(

)(4)終邊不同的角一定不相等.(

)答案

(1)√

(2)×

(3)×

(4)√微思考相等的角終邊相同嗎?反過來,終邊相同的角相等嗎?提示

相等的角終邊一定相同.但終邊相同的角不一定相等,終邊相同的角有無數(shù)個,它們相差360°的整數(shù)倍.微練習(xí)已知0°≤α<360°,且α與600°角終邊相同,則α=

,它是第

象限角.

答案

240°

三解析

因為600°=360°+240°,所以240°角與600°角終邊相同,且0°≤240°<360°,故α=240°,它是第三象限角.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一任意角的概念例1(多選題)下列說法不正確的是(

)A.三角形的內(nèi)角不一定是第一、二象限角B.始邊相同,終邊相同的角不一定相等C.鈍角比第三象限角小D.小于180°的角是鈍角、直角或銳角答案

CD解析

A中90°的角既不是第一象限角,也不是第二象限角,故A正確;B中始邊相同,終邊相同的角不一定相等,如360°和720°,故B正確;C中鈍角是大于-100°的角,而-100°的角是第三象限角,故C不正確;D中零角或負(fù)角小于180°,但它既不是鈍角,也不是直角或銳角,故D不正確.要點筆記

理解與角的概念有關(guān)問題的關(guān)鍵正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念,弄清角的始邊與終邊及旋轉(zhuǎn)方向與大小.另外需要掌握判斷結(jié)論正確與否的技巧,判斷結(jié)論正確需要證明,而判斷結(jié)論不正確只需舉一個反例即可.變式訓(xùn)練1(1)經(jīng)過2個小時,鐘表的時針和分針轉(zhuǎn)過的角度分別是(

)°,720°

B.-60°,-720°C.-30°,-360° D.-60°,720°(2)給出下列四個命題:①-75°是第四象限角;②225°是第三象限角;③475°是第二象限角;④-315°是第一象限角.其中正確的命題有(

)個 B.2個

C.3個 D.4個答案

(1)B

(2)D解析

(1)鐘表的時針和分針都是順時針旋轉(zhuǎn),因此轉(zhuǎn)過的角度都是負(fù)的,而

×360°=60°,2×360°=720°,故鐘表的時針和分針轉(zhuǎn)過的角度分別是-60°,-720°.(2)由題可得-90°<-75°<0°,180°<225°<270°,360°+90°<475°<360°+180°,-360°<-315°<-270°.所以這四個命題都是正確的.探究二坐標(biāo)系中角的概念及其表示角度1

終邊相同的角的求解例2寫出與75°角終邊相同的角的集合,并求在360°~1080°范圍內(nèi)與75°角終邊相同的角.分析根據(jù)與角α終邊相同的角的集合為S={β|β=k·360°+α,k∈Z},寫出與75°角終邊相同的角的集合,再取適當(dāng)?shù)膋值,求出360°~1

080°范圍內(nèi)的角.解

與75°角終邊相同的角的集合為S={β|β=k·360°+75°,k∈Z}.當(dāng)360°≤β<1

080°時,即360°≤k·360°+75°<1

080°,又k∈Z,所以k=1或k=2.當(dāng)k=1時,β=435°;當(dāng)k=2時,β=795°.綜上所述,與75°角終邊相同且在360°~1

080°范圍內(nèi)的角為435°角和795°角.要點筆記

求與已知角α終邊相同的角時,要先將這樣的角表示成k·360°+α(k∈Z)的形式,然后采用賦值法求解或解不等式,確定k的值,求出滿足條件的角.角度2

終邊在某條直線上的角的集合例3寫出終邊在如圖所示的直線上的角的集合.解

(1)在0°~360°范圍內(nèi),終邊在直線y=0上的角有兩個,即0°和180°,又所有與0°角終邊相同的角的集合為S1={β|β=0°+k·360°,k∈Z},所有與180°角終邊相同的角的集合為S2={β|β=180°+k·360°,k∈Z},于是,終邊在直線y=0上的角的集合為S=S1∪S2={β|β=k·180°,k∈Z}.(2)由圖形易知,在0°~360°范圍內(nèi),終邊在直線y=-x上的角有兩個,即135°和315°,因此,終邊在直線y=-x上的角的集合為S={β|β=135°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=315°+k·360°,k∈Z}={β|β=135°+k·180°,k∈Z}.(3)終邊在直線y=x上的角的集合為{β|β=45°+k·180°,k∈Z},結(jié)合(2)知所求角的集合為S={β|β=45°+k·180°,k∈Z}∪{β|β=135°+k·180°,k∈Z}={β|β=45°+2k·90°,k∈Z}∪{β|β=45°+(2k+1)·90°,k∈Z}={β|β=45°+k·90°,k∈Z}.反思感悟

終邊落在x軸的非負(fù)半軸、x軸的非正半軸、x軸、y軸的非負(fù)半軸、y軸的非正半軸、y軸、坐標(biāo)軸上的角的集合終邊落在x軸的非負(fù)半軸上的角的集合為{x|x=k·360°,k∈Z};終邊落在x軸的非正半軸上的角的集合為{x|x=k·360°+180°,k∈Z};終邊落在x軸上的角的集合為{x|x=k·180°,k∈Z};終邊落在y軸的非負(fù)半軸上的角的集合為{x|x=k·360°+90°,k∈Z};終邊落在y軸的非正半軸上的角的集合為{x|x=k·360°-90°,k∈Z};終邊落在y軸上的角的集合為{x|x=k·180°+90°,k∈Z};終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合為{x|x=k·90°,k∈Z}.角度3

區(qū)域角的求解例4如圖所示,寫出頂點在原點,始邊為x軸的非負(fù)半軸,終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合(包括邊界).分析(1)要注意角的起始邊界與終止邊界的書寫;(2)注意角的終邊所出現(xiàn)的規(guī)律性是每隔180°就會重復(fù)出現(xiàn).解

(1)對于陰影部分,先取-60°~75°這一范圍,再結(jié)合其規(guī)律性可得終邊落在陰影部分內(nèi)角的集合為{α|-60°+k·360°≤α≤75°+k·360°,k∈Z}.(2)對于陰影部分,先取60°~90°這一范圍,再結(jié)合其出現(xiàn)的規(guī)律性可知集合為{α|60°+k·180°≤α≤90°+k·180°,k∈Z}.延伸探究

1若將本例4(1)改為如圖所示的圖形,那么陰影部分(包括邊界)表示的終邊相同的角的集合如何表示?解

在0°~360°范圍內(nèi),陰影部分(包括邊界)表示的范圍可表示為150°≤β≤225°,則所有滿足條件的角β為{β|k·360°+150°≤β≤k·360°+225°,k∈Z}.延伸探究

2若將本例4(2)改為如圖所示的圖形,那么終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合如何表示?解

在0°~360°范圍內(nèi),終邊落在陰影部分(包括邊界)的角為60°≤β<105°與240°≤β<285°,所以所有滿足題意的角β為{β|k·360°+60°≤β<k·360°+105°,k∈Z}∪{β|k·360°+240°≤Β<k·360°+285°,k∈Z}={β|2k·180°+60°≤β<2k·180°+105°,k∈Z}∪{β|(2k+1)·180°+60°≤β<(2k+1)·180°+105°,k∈Z}={β|n·180°+60°≤β<n·180°+105°,n∈Z}.故角β的取值集合為{β|n·180°+60°≤β<n·180°+105°,n∈Z}.反思感悟

區(qū)域角是指終邊落在坐標(biāo)系的某個區(qū)域內(nèi)的角.其寫法可分為三步:(1)借助圖形,在直角坐標(biāo)系中先按逆時針的方向找到區(qū)域的起始邊界和終止邊界;(2)按由小到大的順序分別標(biāo)出起始邊界和終止邊界對應(yīng)的-360°~360°范圍內(nèi)的角α和β;(3)分別將起始邊界、終止邊界的對應(yīng)角α,β加上360°的整數(shù)倍,即可求得區(qū)域角.探究三確定nα及α/n所在的象限例5已知α是第二象限角:(1)求角

所在的象限;(2)求角2α所在的象限.(方法2)如圖,先將各象限分成2等份,再從x軸正半軸的上方起,按逆時針方向,依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四,則標(biāo)有二的區(qū)域即為

的終邊所在的區(qū)域,故

為第一或第三象限角.(2)∵k·360°+90°<α<k·360°+180°(k∈Z),∴k·720°+180°<2α<k·720°+360°(k∈Z).∴角2α的終邊在第三或第四象限或在y軸的非正半軸上.變式訓(xùn)練2若α是第一象限角,則-是(

)A.第一象限角 B.第一、四象限角C.第二象限角 D.第二、四象限角答案

D

素養(yǎng)形成角的終邊的對稱問題典例

1(1)若角θ的終邊與角α的終邊關(guān)于x軸對稱,則θ+α=

.

(2)若角γ的終邊與角α的終邊關(guān)于y軸對稱,則γ+α=

.

解析

(1)設(shè)角β與角α的終邊相同,則-β與β關(guān)于x軸對稱,根據(jù)終邊相同角的表示可得α=β+k1·360°,k1∈Z,θ=-β+k2·360°,k2∈Z,故θ+α=(-β+k2·360°)+(β+k1·360°)=(k1+k2)·360°=k·360°,k∈Z.(2)設(shè)角β與角α的終邊相同,則180°-β與β關(guān)于y軸對稱.根據(jù)終邊相同角的表示,可得α=β+k3·360°,k3∈Z,γ=180°-β+k4·360°,k4∈Z.故γ+α=(180°-β+k4·360°)+(β+k3·360°)=[2(k3+k4)+1]·180°=(2k+1)·180°,k∈Z.答案

(1)k·360°,k∈Z

(2)(2k+1)·180°,k∈Z典例

2若角α的終邊與60°角的終邊關(guān)于直線y=x對稱,且-360°<α<360°,求角α的值.【規(guī)范答題】解

如圖,設(shè)60°角的終邊為OA,射線OA關(guān)于直線y=x對稱的射線為OB,則以射線OB為終邊的一個角為90°-60°=30°.∴以射線OB為終邊的角的集合為{α|α=k·360°+30°,k∈Z},又-360°<α<360°,∴-360°<k·360°+30°<360°,k∈Z.∴k=-1或k=0.當(dāng)k=-1時,α=-330°;當(dāng)k=0時,α=30°.∴α的值為-330°或30°.方法點睛

角的終邊是一條射線,在平面直角坐標(biāo)系中,當(dāng)兩個角的終邊具有對稱性或互相垂直時,對應(yīng)的角就有一定的關(guān)系.一般地,我們有如下結(jié)論:角α,β終邊的位置關(guān)系α,β的關(guān)系角α與β的終邊關(guān)于x軸對稱β=-α+k·360°(k∈Z)角α與β的終邊關(guān)于y軸對稱β=-α+(2k+1)·180°(k∈Z)角α與β的終邊關(guān)于原點對稱β=α+(2k+1)·180°(k∈Z)角α與β的終邊在一條直線上β=α+k·180°(k∈Z)角α與β的終邊垂直β=α+·180°(k∈Z)

當(dāng)堂檢測1.下列敘述正確的是(

)A.三角形的內(nèi)角必是第一或第二象限角B.始邊相同而終邊不同的角一定不相等C.第四象限角一定是負(fù)角D.鈍角比第三象限角小答案

B解析

90°角是三角形的內(nèi)角,它不是第一或第二象限角,故A錯;280°角是第四象限角,它是正角,故C錯;-100°角是第三象限角,它比鈍角小,故D錯.2.把-1485°化成k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式是(

)°-5×360°

°-4×360°C.-315°-4×360°

D.-45°-10×180°答案