【2022山東省重點中學(xué)人教數(shù)學(xué)A版選修】《雙曲線》二

雙曲線的簡單幾何性質(zhì)人教A版高中數(shù)學(xué)選修1－１注：附帶三個幾何畫板文件，請老師選用1.雙曲線的定義。復(fù)習(xí)平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于|F1F2|）的點的軌跡叫雙曲線。y2x2a2-b2=1x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)(a>0,b>0)2.雙曲線的標準方程?！yoF1F2··yoF1F2··x-a≤x≤a-b≤y≤bx≥a或x≤-a關(guān)于x軸、y軸、原點對稱關(guān)于x軸、y軸、原點對稱（±a，0），（0，±b）（±a，0）雙曲線橢圓圖形范圍對稱性頂點離心率0<e<1e越接近1越扁，e越接近0越圓e越大雙曲線張口越大e>1以－y代y，方程不變；以－x代x，方程不變；以－x代x，－y代y，方程不變。所以雙曲線關(guān)于x軸、y軸、原點對稱原方程可以化為∴x2≥a2

，∴x≥a或x≤-a

如圖：令y=0，得x2=a2，∴頂點為（±a，0）令x=0，得y2=－b2

，∴無實根。通常也把（0，±b）畫在y軸上。線段A1A2是實軸，實軸長是2a，實半軸長是a；線段B1B2是虛軸，虛軸長是2b，虛半軸長是b。XB2B1A1A2F2F1ab思考：離心率可以刻畫橢圓的扁平程度，雙曲線的離心率刻畫雙曲線的什么幾何特征？

因此雙曲線上的點在遠離原點時無限接近這條直線但永遠不能到達這條直線。思考：②d能否為0？1、雙曲線①在位于第一象限的曲線上找一點M，點M的橫坐標與它到直線的距離d有什么關(guān)系？∴點M不在雙曲線上∴d≠0。隨增大，d越來越小假設(shè)d=0，則雙曲線與直線相交，設(shè)交點坐標為M叫做雙曲線的漸近線．xOy結(jié)論HGabxOyab2、畫雙曲線時，我們可以先畫矩形框，然后畫出雙曲線的漸近線，最后再畫雙曲線。結(jié)論HG·橢圓雙曲線圖形xyoF1F2··yoF1F2··x范圍-a≤x≤a-b≤y≤bx≥a或x≤-a對稱性關(guān)于x軸、y軸、原點對稱關(guān)于x軸、y軸、原點對稱頂點（±a，0），（0，±b）（±a，0）離心率0<e<1e越接近1越扁，e越接近0越圓e>1e越大雙曲線張口越大漸進線雙曲線與漸進線無限接近但永不相交思考：2、漸近線、e、雙曲線張口有什么關(guān)系？XF2F1··Yab·雙曲線圖形yoF1F2··x范圍x≥a或x≤-a對稱性關(guān)于x軸、y軸、原點對稱頂點（±a，0）離心率e>1e越大雙曲線張口越大漸進線雙曲線與漸進線無限接近但永不相交yoF1F2··xe>1e越大雙曲線張口越大雙曲線y≥a或y≤-a關(guān)于x軸、y軸、原點對稱（0,±a）雙曲線與漸進線無限接近但永不相交例3、⑴求雙曲線的實半軸和虛半軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方程。由此可知，實半軸長a＝４，虛半軸長b＝３焦點坐標是（０，－５），（０，５）；解：把方程化為標準方程∴離心率∴漸近線方程為例3、(2)求雙曲線的實軸和虛軸長、漸進線方程。實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。解：把方程化為標準方程實軸長為2a，虛軸長為2a，漸進線方程為即y=±x618|x|≥3(±3,0)y=±3x44|y|≥2(0,±2)1014|y|≥5(0,±5)|x|≥4(±6,0)練習(xí)題:填表方程實軸長虛軸長范圍頂點焦點離心率漸進線.B例動點M與距離為2a的兩個定點A，B的連線的斜率之積等于k，求動點M的軌跡方程。..AM解:如圖,以直線AB為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標系，則A(-a,0),B(a,0)。設(shè)M(x,y)是軌跡上的任意一點，則m)(x±1,mxyk,mxykMBMA-=+=即:(x≠±m(xù))當k=-1時,動點M的軌跡方程是圓(去兩點)當k>0時,動點M的軌跡方程是雙曲線(去兩點)當k<0且k≠-1時,橢圓(去兩點).mxymxy,kk