北師大版必修五數(shù)學(xué)課件1 1第1課時(shí)

第一章數(shù)

列§1

數(shù)

列第一章第1課時(shí)數(shù)列的概念傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家在沙灘上研究數(shù)學(xué)問

題．他們研究數(shù)的概念時(shí)，喜歡把數(shù)描繪成沙灘上的小石子，小石子能夠擺成不同的幾何圖形，于是就產(chǎn)生一系列的形數(shù)．畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)，當(dāng)小石子的數(shù)目是1、3、6、10等數(shù)時(shí)，小石子都能擺成正三角形，他把這些數(shù)叫做三角形數(shù)；當(dāng)小石子的數(shù)目是1、4、9、16等數(shù)時(shí)，小石子都能擺成正方形，他把這些數(shù)叫做正方形數(shù)，等等，每一系列有形狀的數(shù)按順序排列出來就稱為數(shù)列．本章主要學(xué)習(xí)有關(guān)數(shù)列的基本知識(shí)，建立等差數(shù)列和等比數(shù)列兩種模型，探索它們的基本數(shù)量關(guān)系，感受它們的應(yīng)用．相信你會(huì)有更大的收獲！知識(shí)線索：本章的主要內(nèi)容有數(shù)列的概念、等差數(shù)列及其性質(zhì)、等差數(shù)列前n項(xiàng)和，等比數(shù)列及其性質(zhì)、等比數(shù)列前n項(xiàng)和，數(shù)列在日常經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用．?dāng)?shù)列是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，又是初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的銜接點(diǎn)，以其獨(dú)特的結(jié)構(gòu)特征和解題方法，表現(xiàn)出數(shù)學(xué)的無窮魅力．該部分命題比較靈活、有很好的區(qū)分度．因此，在每年的高考中，都有一個(gè)客觀題和解答題，數(shù)列的客觀題主要考查等差、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等內(nèi)容，對(duì)基本的計(jì)算技能要求比較高；解答題大多是考查數(shù)列知識(shí)與各章知識(shí)交匯的綜合問題，這類問題以其新穎性、綜合性而“閃亮登場(chǎng)”，這正好體現(xiàn)了高考能力

立意及在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計(jì)命題的精神，一些建立在函數(shù)、不等式、平面解析幾何等背景上的數(shù)列問題也越來越有生命力，數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、平面解析幾何的綜合性試題是近幾年高考的熱點(diǎn)題型，解題時(shí)要注意溝通數(shù)列與其他知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)在聯(lián)系，靈活運(yùn)用常用的思想方法來求解．課堂典例講練2課時(shí)作業(yè)5課前自主預(yù)習(xí)1易混易錯(cuò)點(diǎn)睛3本節(jié)思維導(dǎo)圖4課前自主預(yù)習(xí)世界十大高峰的海拔都是多少米呢？請(qǐng)看下表：世界十大高峰的海拔高度(米)按排位依次是8

848.13，8611,8

586,8

516,8

463,8

201,8172,8156，8

125，8

091.像這樣按照一定次序排列的一列數(shù)就是本節(jié)所學(xué)的數(shù)列.排位名稱或圖片海拔高度(米)所屬國(guó)家或地區(qū)1珠穆朗瑪峰8

848.13中國(guó)—尼泊爾2喬戈里峰8

611中國(guó)—克什米爾3干城章嘉峰8

586尼泊爾—錫金4洛子峰8

516中國(guó)—尼泊爾5馬卡魯峰8

463中國(guó)—尼泊爾6卓奧友峰8

201中國(guó)—尼泊爾7道拉吉里峰8

172尼泊爾8馬納斯盧峰8

156尼泊爾9南伽峰8

125克什米爾10安那布爾納峰8

091尼泊爾a3

，…，

an

，…，簡(jiǎn)記為：

.

數(shù)列的第1

項(xiàng)a1

也稱，an是數(shù)列的第n項(xiàng)，叫數(shù)列的

．1.數(shù)列的概念數(shù)列：一般地，按照一定

次序

排列的一列數(shù)叫做數(shù)列．項(xiàng)：數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的

項(xiàng)

．?dāng)?shù)列的表示：數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2

，{an}首項(xiàng)

通項(xiàng)數(shù)列的分類項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫作有窮數(shù)列，項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列叫作無窮數(shù)列．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)式子表示成an＝f(n)，那么式子叫作數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．?dāng)?shù)列的表示方法圖像法、數(shù)列的表示方法一般有三種：

列表法

、

解析法

.[答案][解析]C{1,2,3,5,7}是一個(gè)集合，所以A

錯(cuò)；由于數(shù)列的項(xiàng)是有順序的，所以B

錯(cuò)；數(shù)列{n＋1

k＋1n

k}的第

k

項(xiàng)是

＝11＋k，C

正確；而D

中數(shù)列應(yīng)表示為{2(n－1)}．下列說法正確的是(

)數(shù)列1,2,3,5,7

可表示為{1,2,3,5,7}數(shù)列1,0，－1，－2

與數(shù)列－2，－1,0,1

是相同的數(shù)列數(shù)列n＋1}的第k

項(xiàng)是1＋1{

n

k數(shù)列0,2,4,6,8，…可記為{2n}2．?dāng)?shù)列1,3,6,10，x,21，…中，x的值是(

)B．13D．16A．12C．15[答案][解析]C∵3－1＝2,6－3＝3,10－6＝4，∴x－10＝521－x＝6，∴x＝15.[答案]

C1

1

3

23．?dāng)?shù)列

0，3，2，5，3，…的通項(xiàng)公式為(

)A．a(chǎn)n＝nB．a(chǎn)n＝n－2

n－1C．a(chǎn)n＝n－1n＋1D．a(chǎn)n＝nn－2n＋2[解析]

解法一：驗(yàn)證當(dāng)

n＝1

時(shí)，a1＝0，排除

A、D；231當(dāng)n＝2

時(shí)，a

＝，排除B，故選C．解法二：數(shù)列01

1

3

2

0

1

2

3

4，3，2，5，3，…即數(shù)列2，3，4，5，6，…，∴該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝n－1n＋1，故選C．n

n4．已知數(shù)列{a

}的通項(xiàng)公式a

＝1n(n＋2)＋(n∈N

)，則1120是這個(gè)數(shù)列的第

項(xiàng)．[答案]

10n120[解析]

令

a

＝

1

，即1n(n＋2)120＝

1

，解得n＝10

或n＝－12(舍去)．課堂典例講練數(shù)列的概念下列各式哪些是數(shù)列？若是數(shù)列，哪些是有窮數(shù)列？哪些是無窮數(shù)列？(1){0,1,2,3,4}；(2)0,1,2,3,4；(3)0,1,2,3,4…；(4)1，－1,1，－1,1，－1…；(5)6,6,6,6,6.[分析]

此類問題的解決，必須要對(duì)數(shù)列及其有關(guān)概念理解認(rèn)識(shí)到位，結(jié)合有關(guān)概念及定義來解決．[解析]

(1)是集合，不是數(shù)列；(2)、(3)、(4)、(5)是數(shù)列．其中(3)、(4)是無窮數(shù)列，(2)、(5)是有窮數(shù)列．[方法總結(jié)]理解數(shù)列概念需注意以下幾點(diǎn)：數(shù)列的定義中要把握兩個(gè)關(guān)鍵詞：“一定順序”與“一列數(shù)”．也就是說構(gòu)成數(shù)列的元素是“數(shù)”，并且這些數(shù)是按照“一定順序”排列著的，即確定的數(shù)在確定的位置．項(xiàng)an與序號(hào)n是不同的，數(shù)列的項(xiàng)是這個(gè)數(shù)列中的一個(gè)確定的數(shù)，而序號(hào)是指項(xiàng)在數(shù)列中的位置．{an}與an是不同概念：{an}表示數(shù)列a1，a2，a3，…，an，…；而an表示數(shù)列{an}中的第n項(xiàng)．(4)數(shù)列的簡(jiǎn)記符號(hào){an}，不可能理解為集合{an}，數(shù)列的概念與集合概念的區(qū)別如下表：數(shù)列集合示例區(qū)別數(shù)列中的項(xiàng)是有序如數(shù)列1,3,4與1,4,3是的，兩組相同的數(shù)集合中的元素是不同的數(shù)列，而集合字，按照不同的順序無序的{1,3,4}與{1,4,3}是相排列得到不同的數(shù)列等集合數(shù)列中的項(xiàng)可以重復(fù)出現(xiàn)集合中的元素滿足互異性，集合中的元素不能重復(fù)出現(xiàn)如數(shù)列1,1,1，…每項(xiàng)都是1，而集合則不可以下列說法中，正確的是(

)數(shù)列0,2,4,6

可表示為{0,2,4,6}數(shù)列1,3,5,7,9，…的通項(xiàng)公式可記為an＝2n＋1數(shù)列

2

009,2

010,2

011,2 012

與數(shù)列

2

012,2

011,2010,2

009

是相同的數(shù)列n＋2

012D．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝n＋2

011，則它的第k

項(xiàng)是1＋1k＋2

011[答案][解析]D數(shù)列與數(shù)的集合的概念不同，A不正確；當(dāng)n∈N＋時(shí)，沒有第一項(xiàng)1，所以B不正確；C中兩個(gè)數(shù)列中數(shù)的排列順序不同，故是不同的數(shù)列，所以選D．[分析]

通過觀察，找出所給出的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n關(guān)系的規(guī)律，再寫通項(xiàng)公式．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式寫出下面各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式(1)3,5,9,17,33，…；2

4

6

8

(2)3，15，35，63，…；1

9

25(3)2，2，2，8，

2

，…；(4)22－1

32－2

42－3

52－41

3

5

7，

，

，

，….[解析](1)

通過觀察，發(fā)現(xiàn)各項(xiàng)分別減去1

，變?yōu)?/p>

2,4,8,16,32，…其通項(xiàng)公式為2n，故原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝2n＋1.(2)通過觀察，發(fā)現(xiàn)分子部分為正偶數(shù)數(shù)列{2n}，分母各項(xiàng)分解因式：1·3,3·5,5·7,7·9，…為相鄰奇數(shù)的乘積，即(2n－n1)·(2n＋1)，故原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為a

＝2n(2n－1)(2n＋1).(3)由于在所給數(shù)列的項(xiàng)中，有的是分?jǐn)?shù)，有的是整數(shù)，1

4

9

16

25可將各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)，再觀察，在數(shù)列2，2，2，2

，2

，…2nn22中，分母為

2，分子為

n

，故

a

＝

.(4)數(shù)列中每一項(xiàng)由三部分組成，分母是從1

開始的奇數(shù)列，其通項(xiàng)公式為2n－1；分子的前一部分是從2

開始的自然數(shù)的平方，其通項(xiàng)公式為(n＋1)2，分子的后一部分是減去一個(gè)自然數(shù)，其通項(xiàng)公式為n，綜合得原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(n＋1)2－n

n2＋n＋12n－1

2n－1＝

.[方法總結(jié)]

(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式實(shí)際上是一個(gè)以正整數(shù)集

N*或它的有限子集為定義域的函數(shù)表達(dá)式，即

an＝f(n)．(2)同函數(shù)的關(guān)系式一樣，并不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式．如2精確到1,0.1,0.01，…的不足近似值排成數(shù)列就不能用通項(xiàng)公式表示．(3)有的數(shù)列的通項(xiàng)公式在形式上不一定是唯一的．如擺動(dòng)數(shù)列：－1,1，－1,1，－1,1，…，通項(xiàng)公式可以寫成an＝(－n1)，也可以寫成an＝－1，n為奇數(shù)1，n為偶數(shù).(4)熟練地掌握一些基本數(shù)列的通項(xiàng)公式，比如下面這些數(shù)列均屬于基本數(shù)列，它們的通項(xiàng)公式必須記?。贁?shù)列－1,1，－1,1，…的通項(xiàng)公式是an＝(－1)n；②數(shù)列1,2,3,4，…的通項(xiàng)公式是an＝n；③數(shù)列1,3,5,7，…的通項(xiàng)公式是an＝2n－1；④數(shù)列2,4,6,8，…的通項(xiàng)公式是an＝2n；⑤數(shù)列1,2,4,8，…的通項(xiàng)公式是an＝2n－1；⑥數(shù)列1,4,9,16，…的通項(xiàng)公式是an＝n2；1

1

1

1

1⑦數(shù)列1，2，3，4，…的通項(xiàng)公式是an＝n(其中n∈N＋)．寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前幾項(xiàng)分別是下列各數(shù)：(1)1,3,7,15,31，…；[解析]

(1)注意觀察各項(xiàng)發(fā)現(xiàn)各項(xiàng)分別加上

1，變?yōu)?,4,8,16,32，…，其通項(xiàng)公式為

2n，故原數(shù)列通項(xiàng)公式為

an＝2n－1，n∈N＋；數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n2－28n.(1)寫出數(shù)列的第4項(xiàng)和第6項(xiàng)；(2)－49和68是該數(shù)列的項(xiàng)嗎？若是，是第幾項(xiàng)？若不是，請(qǐng)說明理由．[解析]

(1)∵an＝3n2－28n，∴a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－60.(2)令3n2－28n＝－49，即3n2－28n＋49＝0，∴n＝7

或

n

7(舍)．＝3∴－49

是該數(shù)列的第7

項(xiàng)，即a7＝－49.令3n2－28n＝68，即3n2－28n－68＝0，∴n＝－2

或n＝

334.∵－2?N*，

3

?34

N*，∴68

不是該數(shù)列的項(xiàng)．[方法總結(jié)]

判斷某數(shù)是否為數(shù)列中的項(xiàng)的方法及步驟①將所給項(xiàng)代入通項(xiàng)公式中；②解關(guān)于n的方程；③若n為正整數(shù)，說明某數(shù)是該數(shù)列的項(xiàng)；若n不是正整數(shù)，則不是該數(shù)列的項(xiàng)．n已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為a

＝42n

＋3n10

2716，試問

1和

是不是它的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？[解析]

令42n

＋3n10＝

1

，則n2＋3n－40＝0，解得n＝5

或n＝－8，注意到n∈N*，故將n＝－8

舍去，

1

所以10是該數(shù)列的第5

項(xiàng)．令n2＋3n4

162＝27，則4n

＋12n－27＝0，3

9解得n＝2或n＝－2，注意到n∈N*，16所以27不是此數(shù)列中的項(xiàng).(方法一)(累乘法)把(n＋1)a－na＋an＋1an＝0分解[分析]

將已知等式左邊分解因式，以便找出前后項(xiàng)的明顯關(guān)系．[解析]因式，數(shù)列的遞推公式得[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0.∵an>0，∴an＋an＋1>0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0，an＋1n∴

a

＝

n

n＋1，a2

a3

a4

a51

2

3

4∴a·a

·a

·a

·…·anan－11

2

3

4n－1n，∴an

1a1＝n.＝2×3×4×5×…×又∵a1＝1，1

1∴an＝na1＝n.anan＋1(方法二)(迭代法)同方法一，得

＝nn＋1，n＋1∴a

＝nn＋1na

，∴an＝n－1n·an－1＝nn－1

n－2n－1·

·an－2＝nn－1

n－2

n－3n－1

n－2·

·

·an－3…＝nn－1

n－2

n－3n－1

n－21·

·

·…·2a11＝na1.11又∵a

＝1，∴an＝n.(方法三)(構(gòu)造特殊數(shù)列法)同方法一，得a

ann＋1＝nn＋1，∴(n＋1)an＋1＝nan，∴數(shù)列{nan}是常數(shù)列，∴nan＝1·a1＝1，nn1∴a

＝

.[方法總結(jié)](1)由遞推關(guān)系式an＝f(n)an－1求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)一般采用累乘法，也可以用迭代等方法．除累乘、迭代法外，還應(yīng)注意原遞推公式變形后的數(shù)列是否為某個(gè)特殊數(shù)列．(2)遞推公式：如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且從第二項(xiàng)(或第二項(xiàng)以后的某一項(xiàng))開始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式，遞推公式也是給出數(shù)列的一種重要方法．(3)通項(xiàng)公式和遞推公式的區(qū)別通項(xiàng)公式直接反映an和n之間的關(guān)系，即an是n的函數(shù)，知道任意一個(gè)具體的n值，通過通項(xiàng)公式就可以求出該項(xiàng)的值an；而遞推公式則是間接反映數(shù)列的式子，它是數(shù)列任意兩個(gè)(或多個(gè))相鄰項(xiàng)之間的推導(dǎo)關(guān)系，不能由n直接得出an.已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各項(xiàng)由an＝an－1＋an－2(n≥3)給出．(1)寫出此數(shù)列的前5

項(xiàng)；n(2)通過公式b

＝anan＋1n構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)列{b

}，寫出數(shù)列{bn}的前4

項(xiàng)．[解析]

(1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，且

a1＝1，a2＝2，∴a3＝a2＋a1＝2＋1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋a3＝5＋3＝8.所以數(shù)列{an}的前5

項(xiàng)依次為1,2,3,5,8.n(2)∵b

＝anan＋11，a

＝21，a

＝32，a

＝43，a

＝55，a

＝8，12a1

1a

2∴b

＝ ＝

，23a2

2a

3b

＝ ＝

，3a3

3a

5b

＝ ＝

，44

5a4

5a

8b

＝ ＝

.n1

2

3

5即數(shù)列{b

}的前4

項(xiàng)依次為2，3，5，8.一張長(zhǎng)方形桌子可坐6人，按如圖所示方式把桌子拼在一起，n張桌子可坐

人．創(chuàng)新探究性題目[分析]圖形中的數(shù)列問題，可根據(jù)圖形的變化特點(diǎn)和數(shù)字的變化特點(diǎn)來尋找規(guī)律．通過觀察上圖我們會(huì)發(fā)現(xiàn)：每張桌子的上、下共有2人，n張桌子有2n人，每個(gè)圖中左右始終共有

4人，所以n張桌子可坐2n＋4人．[答案]

2n＋4[方法總結(jié)]信息