第章樸素集合論課件

前言學(xué)習(xí)這門課程有兩大任務(wù)：學(xué)習(xí)這門課程的知識、學(xué)習(xí)邏輯推理的方法。

一、首先我們要明確：拓?fù)鋵W(xué)研究的是什么？

拓?fù)鋵W(xué)研究的對象就是高度抽象了的這些數(shù)學(xué)空間的具有最基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)的空間。它們只具有最基本的數(shù)學(xué)要求：開集。我們把這樣的空間稱為拓?fù)淇臻g。

拓?fù)鋵W(xué)以拓?fù)淇臻g為基本研究對象，運(yùn)用集合運(yùn)算的知識，延拓出閉集、導(dǎo)集、閉包、序列、基、子基等概念。

二、其次，只有掌握了這門課程的證明方法（邏輯推理的方法），才能稱得上學(xué)好了這門課程。

學(xué)習(xí)這門課程，提醒大家注意以下幾點(diǎn)：

（1）熟練掌握證明集合運(yùn)算的常用方法。

如：要證明A

B，A=B，A為開集(A∈T)，f連續(xù)，A為閉集，x∈d(A)，x∈

收斂，X為間，正則空間，正規(guī)空間，完全正則空間，X為緊致空間等，應(yīng)從哪兒入手？

（2）熟練掌握各種定義、定理，因為證明某個命題，往往是從定義出發(fā)去證明的。（3）證明某個命題，要證到什么程度才算證完，要心中有數(shù)。證明的開頭應(yīng)如何寫？

（4）每一步推理均要有根有據(jù)，根據(jù)只能是前面的定義、定理，有時也可參考一下集合的文氏圖。

（5）證明時用到的根據(jù)切不可將數(shù)學(xué)分析中的結(jié)論想當(dāng)然地引入，因為數(shù)學(xué)分析中的實(shí)數(shù)空間是非常完美的度量（拓?fù)洌┛臻g，既是的，又是的，…。而要證的命題不一定具備這樣的條件。第1章集合論初步

在這一章中我們介紹有關(guān)集合論的一些基本知識．從未經(jīng)定義的“集合”和“元素”兩個概念出發(fā)給出集合運(yùn)算，關(guān)系，映射以及集合的基數(shù)等方面的知識．§1．1集合的基本概念

集合指的是由某些具有某種共同特點(diǎn)的個體構(gòu)成的集體．一、集合的概念

1.元素、空集、單點(diǎn)集2.集合的表示法：3.常見的集合與元素關(guān)系的記號設(shè)A，B是兩個集合．如果，A

B，我們則稱A為B的子集；如果A是B的子集，但A又不等于B，即A

B，A≠B，我們稱A為B的真子集.(2)子集、真子集注:設(shè)X是一個集合，我們常用P(X)表示X的所有子集構(gòu)成的集族，稱為集合X的冪集．例如，集合{1,2}的冪集是P={{1},{1,2},{2},

}我們常常需要討論以集合作為元素的集合，這類集合常稱為集族.例如，A={{1},{1,2},{1,2,3}}是一個集族.它的三個元素分別為:{1},{1,2},{1,2,3}二、集族

三、冪集§1.2集合的基本運(yùn)算一、并、交、補(bǔ)（差）二、運(yùn)算定律（5）DeMongan律

A-（B∪C）＝（A-B）∩（A-C）

A-（B∩C）＝（A-B）∪（A-C）定義1.2.2設(shè)X是一個基礎(chǔ)集．對于X的任何一個子集A，我們稱X－A為A（相對于基礎(chǔ)集X而言）的補(bǔ)集或余集，并且記作CA，為了方便起見有時也記作．我們應(yīng)當(dāng)提醒讀者，補(bǔ)集的定義與基礎(chǔ)集的選取有關(guān)．基礎(chǔ)集§1．3關(guān)系

定義1．3．1設(shè)X和Y是兩個集合．集合

{（x，y）|x∈X，y∈Y}稱為X與Y的笛卡兒積，記作X×Y，讀為X叉乘Y．一般說來集合X與集合Y的笛卡兒積X×Y完全不同于集合Y與集合X的笛卡兒積Y×X．1、笛卡兒積X×Y定義1.3.3設(shè)X，Y是兩個集合．如果R是X與Y的笛卡兒積X×Y的一個子集，即R

X×Y，則稱R是從X到Y(jié)的一個關(guān)系．定義1.3.4設(shè)R是從集合X到集合Y的一個關(guān)系，即R

X×Y．如果(x，y）∈R，則我們稱x與y是R相關(guān)的，并且記作xRy．2、關(guān)系如果A

X，則Y的子集{y∈Y|存在x∈A使得xRy}稱為集合A對于關(guān)系R而言的象集，或者簡單地稱為集合A的象集，或者稱為集合A的R象，并且記作R（A），R（X）稱為關(guān)系R的值域．定義1.3.5設(shè)R是從集合X到集合Y的一個關(guān)系，即R

X×Y．這時笛卡兒積Y×X的子集

{（y，x）∈Y×X|xRy}是從集合Y到集合X的一個關(guān)系，我們稱它為關(guān)系R的逆，并且記作．3、關(guān)系的運(yùn)算（1）、逆、原象設(shè)RX×Y，SY×Z．則

SR＝{（x，z）∈X×Y|存在y∈Y使得xRy并且ySz}（2）復(fù)合定理1.3.1設(shè)R是從集合X到集合Y的一個關(guān)系，S是從集合Y到集合Z的一個關(guān)系，T是從集合Z到集合U的一個關(guān)系．則：（3）運(yùn)算性質(zhì)定理1.3.2設(shè)R是從集合X到集合Y的一個關(guān)系，S是從集合Y到集合Z的一個關(guān)系．則對于X的任意兩個子集A和B，我們有：（1）R（A∪B）＝R（A）∪R（B）；（2）R（A∩B）R（A）∩R（B）；（3）（S

R）（A）＝S(R(A))．習(xí)題

設(shè)R是從集合X到集合Y的一個關(guān)系，S是從集合Y到集合Z的一個關(guān)系．則對于X的任意兩個子集A和B以及Z中的任意一個子集C，我們有：§1．4等價關(guān)系定義1.4.1設(shè)X是一個集合．從集合X到集合X的一個關(guān)系將簡稱為集合X中的一個關(guān)系．集合X中的關(guān)系{（x，x）|x∈X}稱為恒同關(guān)系，或恒同，對角線，記作△（X）或△．1、恒同關(guān)系

2、等價關(guān)系集合X中的一個關(guān)系如果同時是自反，對稱，和傳遞的，則稱為集合X中的一個等價關(guān)系．i)關(guān)系R是自反的△(X)

R，

對于任何x∈X，有xRx；ii)關(guān)系R是對稱的R=R-1

對于任何x，y∈X，如果xRy則yRx；iv)關(guān)系R是傳遞的R

R

R，

任何x，y，z∈X，如果xRy，yRz，則有xRz．定義1.4.3設(shè)R是集合X中的一個等價關(guān)系．集合X中的兩個點(diǎn)x，y，如果滿足條件：xRy，則稱x與y是R等價的，或簡稱為等價的；3、等價類、商集對于每一個x∈X，集合X的子集：

{y∈X|yRx}稱為x的R等價類或等價類，常記作或[x]，

即：[x]={y∈X|yRx}

集族{

|x∈X}稱為集合X相對于等價關(guān)系R而言的商集，記作X／R．即：X／R＝{

|x∈X}Rx][并且任何一個y∈都稱為R等價類的一個代表元素；定理1.4.1設(shè)R是非空集合X中的一個等價關(guān)系．則：

(1)如果x∈X，則x∈，因而；

(2)對于任意x，y∈X，或者=，或者證明（1）設(shè)x∈X，由于R是自反的，4、等價類的性質(zhì)因此x∈

,∴≠．

所以xRx，設(shè)z∈[x]∩[y].此時有zRx,且zRy．由于R是對稱的，所以xRz．又由于R是傳遞的，所以xRy．（2）對于任意x，y∈X，如果對于任何一個t∈，有tRx，由上述xRy和R的傳遞性可見tRy，即t∈．這證明在初等數(shù)論中我們早就知道整數(shù)模（素數(shù)）p的等價關(guān)系將整數(shù)集合Z分為互不相交的等價類，每一個等價類記作，稱為整數(shù)x的模p同余類．同理可證．因此=

(注意:要證或者…或者…,應(yīng)從以下入手:否定掉一個,去證另一個)

作業(yè):熟練掌握等價關(guān)系,等價類的概念.掌握商集的概念.明確商集的構(gòu)成§1．5映射定義1.5.1設(shè)F是從集合X到集合Y的一個關(guān)系．如果對于每一個x∈X存在唯一的一個y∈Y使得xFy，則稱F是從X到Y(jié)的一個映射，并且記作F：X→Y．換言之，F(xiàn)是一個映射，如果對于每一個x∈X：（1）存在y∈Y，使得xFy；（2）如果對于∈Y有和，則．1、定義2.單射、滿射、雙射（一一映射）f：X→Y是一個映射對于每一個x∈X存在唯一

的一個y∈Y使得xfy.f:X→Y是一個滿射f是一映射且f（X）=Yf:X→Y是一個單射象、原象、復(fù)合、逆、定義域、值域常值映射、恒同映射定理1.5.2設(shè)X和Y是兩個集合，f:X→Y．如果A，B

Y則（1）（A∪B）＝（A）∪（B）；（2）（A∩B）＝（A）∩（B）；（3）（A-B）＝（A）-（B）．3、性質(zhì)映射的原象保持集合的并，交，差運(yùn)算．

映射的象的并，交，差運(yùn)算．P23習(xí)題1，2.

P23習(xí)題2(2、4).

P23習(xí)題1(1)、2(3).

P23習(xí)題1(2、3).

定理1.3.2

定理1.5.3設(shè)X和Y是兩個集合．又設(shè)f:X→Y．如果f是一個一一映射，則便是一個從Y到X的映射（因此我們可以寫：Y→X），并且是既單且滿的．此外我們還有：和定理1.5.3及P26習(xí)題3、9定義1．5．4設(shè)X和Y是兩個集合，A是X的一個子集．映射f:X→Y和g：A→Y如果滿足條件g

f即對于任何a∈A有f（a）=g（a），則稱g是f的限制，也稱f是g的一個擴(kuò)張，記作．特別地，恒同映射：X→X在X的子集A上的限制：A→X稱為內(nèi)射．這時我們有對于任何a∈A，(a)=a．限制定義1.5.5設(shè)是n＞0個集合，1≤i≤n．從笛卡兒積到它的第i個坐標(biāo)集的投射（或稱第i個投射）：X→

定義為對于每一個投射、自然投射定義1.5.6設(shè)R是集合X中的一個等價關(guān)系．從集合X到它的商集X/R的自然投射：p:X→X/R定義為對于每一個x∈X，p（x）=．作業(yè):熟練掌握本節(jié)的所有定義與定理注意定理1.3.2(2)與定理1.5.2的區(qū)別熟練記憶P.23習(xí)題1.2與定理1.5.2復(fù)習(xí)

1、等價關(guān)系集合X中的一個關(guān)系如果同時是自反，對稱，和傳遞的，則稱為集合X中的一個等價關(guān)系．i)關(guān)系R是自反的△(X)

R，

對于任何x∈X，有xRx；ii)關(guān)系R是對稱的R=R-1

對于任何x，y∈X，如果xRy則yRx；iv)關(guān)系R是傳遞的R

R

R，

任何x，y，z∈X，如果xRy，yRz，則有xRz．2、等價類、商集1）對于每一個x∈X，x的R等價類

[x]={y∈X|yRx}

3）集合X相對于等價關(guān)系R而言的商集

X／R＝{

|x∈X}定理1.4.1設(shè)R是非空集合X中的一個等價關(guān)系．則：(1)如果x∈X，則x∈，因而；

(2)對于任意x，y∈X，或者=，或者4）、等價類的性質(zhì)3、映射1）、定義f：X→Y是一個映射對于每一個x∈X存在唯一

的一個y∈Y使得xfy.f:X→Y是一個滿射f（X）=Yf:X→Y是一個單射定理1．5．2設(shè)X和Y是兩個集合，f:X→Y．如果A，B

Y，則（1）（A∪B）＝（A）∪（B）；（2）（A∩B）＝（A）∩（B）；（3）（A-B）＝（A）-（B）．2）、性質(zhì)映射的原象保持集合的并，交，差運(yùn)算．

映射的象的并，交，差運(yùn)算．P23習(xí)題1，2.

定理1.5.3設(shè)X和Y是兩個集合．又設(shè)f:X→Y．如果f是一個一一映射，則便是一個從Y到X的映射（因此我們可以寫：Y→X），并且是既單且滿的．此外我們還有：和定理1.5.3及P23習(xí)題3、9投射、自然投射定義1.5.2設(shè)X和Y是兩個集合，F(xiàn)：X→Y(讀做F是從X到Y(jié)的一個映射)．(記住這個記號).對于每一個x∈X，使得xFy的唯一的那個y∈Y稱為x的象或值，記作F（x）；對于每一個y∈Y，如果x∈X使得xFy（即y是x的象），則稱x是y的一個原象．（注意：y∈Y可以沒有原象，也可以有不止一個原象．）由于映射本身便是關(guān)系，因此，如果F是從集合X到集合Y的一個映射，那么：（1）對于任何A

X，象F（A）有定義，并且F(A)={F(x)|x∈A}象、原象、復(fù)合、逆、定義域、值域

(2)對于任何B

Y，原象（B）有定義，并且（B）={x∈X|F(x)∈B}(注意:

(x)與

({x})的異同,前者不一定有意義,而后者總存在；前者表示元素，后者表示集合)

（3）如果Z也是一個集合并且G：Y→Z，則關(guān)系的復(fù)合G

F作為一個從X到Z的關(guān)系有定義；(4)作為從Y到X的一個關(guān)系有定義，但一般說來不是一個從Y到X的映射(這要看F是否是一一映射)；（5）F的定義域有定義，并且它就是X；(意味著X中的每個元素都必須有象)（6）F的值域有定義，并且它就是F（X）．(F(X)不一定充滿Y)定理1.5.1設(shè)X，Y和Z都是集合．如果F：X→Y和G：Y→Z，則G

F：X→Z；并且對于任何x∈X，有

G

F（x）＝G(F(x))(這實(shí)際上是映射的積的本質(zhì))今后我們常用小寫字母f，g，h，……表示映射．定義1．5．3設(shè)X和Y是兩個集合，X→Y．如果Y中的每一個點(diǎn)都有原象（即f的值域為Y，亦即f（X）=Y），則稱f是一個滿射，或者稱f為一個從X到Y(jié)上的映射；如果X中不同的點(diǎn)的象是Y中不同的點(diǎn)（即對于任何，如果，則有，則稱f是一個單射；如果f既是一個單射又是一個滿射，則稱f為一個既單且滿的映射，或者一一映射．2、單射、滿射、一一映射集合X中的恒同關(guān)系△（X）是從X到X的一個一一映射，我們也常稱之為（集合X上的）恒同映射或恒同，有時也稱之為單位映射，并且也常用記號或i：X→X來表示它．根據(jù)定義易見，對于任何x∈X，有i(x)=x．概言之，恒同映射便是把每一個點(diǎn)映為這個點(diǎn)自身的映射．如果f（X）是一個單點(diǎn)集，則稱f是一個常值映射，并且當(dāng)f（X）={y}時，我們也說f是一個取常值y的映射．常值映射、恒同映射定理1．5．3設(shè)X和Y是兩個集合．又設(shè)f:X→Y．如果f是一個—一映射，則便是一個從Y到X的映射（因此我們可以寫：Y→X），并且是既單且滿的．此外我們還有：和證明(略)定理1．5．4設(shè)X，