隨機(jī)變量及分布

隨機(jī)變量及分布第1頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月

每次試驗只有兩種可能的結(jié)局,分別稱作“成功”和“失敗”;(2)各次試驗成功的概率相同;(3)各次試驗相互獨立.第2頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月

(伯努利試驗)設(shè)伯努利試驗成功的概率為p.那么n次伯努利試驗,恰好有k(0≤k≤n)次成功的概率.該式有時稱作伯努利公式.第3頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月例設(shè)某人連續(xù)投籃3次,他至少投中一次的概率為0.992,求該人投4次至少有1次未中的概率.第4頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月例一本有50頁的雜志中共有50個錯誤,每個錯誤等可能的出現(xiàn)在每一頁上,求指定的某一頁上至少有2個錯誤的概率.第5頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月解以vn表示n次伯努利試驗成功的次數(shù),需要求事件{vn=k}(k=0,1,…,n)的概率.引進(jìn)事件:Am={第m次試驗成功}(m=1,2,…,n);由于試驗的獨立性,可見事件A1,A2,…,An相互獨立.q=1－p是試驗失敗的概率.若以A表示成功,則對任意事件列B1,B2,…,Bn,其中Bi=A或(i=1,2,…,n),有第6頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月其中k和n－k分別是B1,B2,…,Bn中A和出現(xiàn)的次數(shù).事件{vn=k}是一切含k個A和n－k個的形如(B1B2…Bn)的事件之和:例如,就是其中的一種情形,事件{vn=k}是的形如(B1B2…Bn)的不相容事件的和,因而(1.26)該式有時稱作伯努利公式.第7頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月一、隨機(jī)變量的概率和例二、隨機(jī)變量的定義和與其有關(guān)的事件三、隨機(jī)變量的類型和分布函數(shù)第一節(jié)隨機(jī)變量及其概率分布第二章隨機(jī)變量及分布第8頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月

動機(jī)：將隨機(jī)試驗的結(jié)果數(shù)量化

例1拋一枚硬幣，觀察正反面的出現(xiàn)情況，，如果我們引入記號：顯然，該試驗有兩個可能的結(jié)果：一隨機(jī)變量則，我們就可以用表示出現(xiàn)的是正面，而用表示出現(xiàn)的是反面。第9頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月就是一個隨機(jī)變量。

定義設(shè)隨機(jī)試驗的樣本空間為如果對于每一個都有一個實數(shù)與其對應(yīng)，這樣就得到一個定義在上的一個單值實函數(shù)我們稱該函數(shù)為隨機(jī)變量。一般的，隨機(jī)變量用英文字母表后面的大寫字母或者希臘字母（可以帶下標(biāo)）表示。如等，都可以表示隨機(jī)變量。第10頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月

引入隨機(jī)變量以后,隨機(jī)事件就可以用隨機(jī)變量在某范圍的取值來表示.

隨機(jī)變量的取值隨試驗的結(jié)果而定,因此試驗之前,我們只知道它可能取值的范圍,而不能預(yù)知它取什么值,由于試驗的各個結(jié)果的出現(xiàn)有一定的概率,因此隨機(jī)變量取各個值也有一定的概率.如果我們用表示某臺電視機(jī)的壽命,并且規(guī)定壽命超過10000小時者為合格品,則該電視機(jī)為合格品這一事件就可以表示為如果用表示某位同學(xué)大學(xué)英語四級考試的成績,則表示“該同學(xué)通過考試”這一事件，而表示“該同學(xué)成績優(yōu)秀”這一事件.第11頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月只有有限個或無窮可列個可能值的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量;連續(xù)型隨機(jī)變量是連續(xù)取值的隨機(jī)變量.例1考慮隨機(jī)試驗:接連進(jìn)行兩次射擊.以ω=(i,j)表示基本事件,其中i,j=0或1,其中“0”表示脫靶,“1”表示命中.那么,兩次射擊命中的次數(shù)X是基本事件ω的函數(shù),故是一隨機(jī)變量,有0,1,2三個可能值(見表).第12頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月表隨機(jī)變量─基本事件的函數(shù)ωX=X(ω)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)0112第13頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月例對于任何事件A,設(shè)若A出現(xiàn),若出現(xiàn).由于A是隨機(jī)變量,因此是隨機(jī)變量.第14頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月隨機(jī)變量隨機(jī)變量的分類：從兩方面研究隨機(jī)變量：研究隨機(jī)變量的取值規(guī)律研究隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律第15頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月二離散型隨機(jī)變量及其分布律如果隨機(jī)變量只取有限或可列無窮多個值，則稱隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量.對于離散型隨機(jī)變量，關(guān)鍵是要確定：1）所有可能的取值是什么？2）取任意可能值的概率是多少？設(shè)隨機(jī)變量的可能取值為，且（1）則稱（1）式為的概率分布或分布律.第16頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月分布律（1）也常常寫成如下的表格形式.顯然有：或者也可以表示為第17頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月

例1擲一顆勻稱的骰子，以表示出現(xiàn)的點數(shù)，求的分布律.解的可能取值為而由等可能性，它取每一個值的概率均為1/6，故其分布律為第18頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月

例２設(shè)一汽車在開往目的地的路上需經(jīng)過四盞燈,每盞信號燈以0.5的概率允許或禁止汽車通過,以X表示汽車首次停下時，它已通過的信號燈的盞數(shù)（設(shè)各盞信號燈的工作是相互獨立的），求其分布律。

解

以p表示每盞信號燈禁止汽車通過的概率，則X的分布律為將代入，得第19頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月若的分布律為或者01

如果試驗的結(jié)果只有兩個：成功與失敗，并且成功的概率為p，則成功的次數(shù)服從分布。第20頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月

例3設(shè)袋中有標(biāo)號為1,2,3,4的球若干個,從中任取一個,(1)假設(shè)取到各號球的概率與球上的號碼成正比,求取到球上號碼X的概率分布;(2)假設(shè)取到各號球的概率與球上的號碼成反比,求取到球上號碼Y的概率分布并計算.

解第21頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月

解第22頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月三、隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量的概率分布,指概率在隨機(jī)變量值域內(nèi)的分布,是隨機(jī)變量最基本和最重要的特征.對于任何隨機(jī)變量X,函數(shù)F(x)=P{X≤x}(－∞<x<+∞)稱作X的分布函數(shù).第23頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月1.分布函數(shù)的基本性質(zhì)(1)0≤F(x)≤1,是單調(diào)不減函數(shù);(2)F(x)是右連續(xù)函數(shù):對于任意－∞<x<+∞,(3)F(－∞)=0,F(+∞)=1,其中第24頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月(4)離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為其中Σ表示對于不大于x的一切可能值xk求和.(5)根據(jù)分布函數(shù)可以求隨機(jī)變量有關(guān)事件的概率.例如,第25頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月例1設(shè)隨機(jī)變量的分布律為-123求的分布函數(shù),并求解

由概率的可加性,得所求的分布函數(shù)為第26頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月即又第27頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月xy-1231

F(x)的圖形如圖所示為一階梯形曲線,它在可能的取值處-1,2,3處發(fā)生跳躍，跳躍值為取該值的概率.第28頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月例2假設(shè)10件產(chǎn)品中有8件優(yōu)質(zhì)品,2件劣質(zhì)品,從中一件一件地抽驗產(chǎn)品直到抽到優(yōu)質(zhì)品為止.試求最后抽驗產(chǎn)品件數(shù)X的分布函數(shù).解先求X的概率分布.易見,X有1,2,3等3個可能值;由于先隨機(jī)地抽取一件,10件產(chǎn)品都是等可能的,可見第29頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月于是,X的分布函數(shù)為若x<1;若1≤x<2;若2≤x<3;若x≥3.第30頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月四連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度概率密度及其性質(zhì)定義如果隨機(jī)變量X的分布函數(shù)可表示成其中為非負(fù)的函數(shù),則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量,f(x)稱為X的概率密度函數(shù),簡稱為概率密度或密度.記作第31頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月概率密度具有如下兩條基本性質(zhì):另外,連續(xù)型隨機(jī)變量還具有如下性質(zhì):2)在的連續(xù)點處,有1)第32頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月4)連續(xù)型隨機(jī)變量取任何一個指定值的概率為0.即,對于任意常數(shù)C,有5)若是連續(xù)型隨機(jī)變量,則3)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù).因為第33頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月例1已知隨機(jī)變量的的概率密度為且試確定常數(shù)并求解

解方程組得第34頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月從而第35頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月例2已知隨機(jī)變量的的概率密度為求的分布函數(shù).解

第36頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月例3已知隨機(jī)變量的的概率密度為求的分布函數(shù).解

第37頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月解

例4已知隨機(jī)變量的的分布函數(shù)為求(1)a,b的值;(2)的概率密度;(3)頻率.第38頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月

例5設(shè)隨機(jī)變量X和Y具有相同的分布函數(shù)，X的概率密度為已知事件與相互獨立，且求常數(shù)a.解由題設(shè)知第39頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月解得于是又由題設(shè)由此可知應(yīng)有第40頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月一、常見離散型概率分布二、離散型概率分布的例題第二節(jié)常用的離散型分布第41頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月（一）0-1分布若的分布律為或者01

則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為p的0-1分布.如果試驗的結(jié)果只有兩個：成功與失敗，并且成功的概率為p，則成功的次數(shù)服從參數(shù)為p的0-1分布。第42頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月（二）二項分布(BinomialDistribution)若隨機(jī)變量的分布律為：則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為n,p的二項分布，

二項分布的背景是伯努利試驗：如果每次試驗中成功的概率均為p，則在n重伯努利試驗中成功的次數(shù)服從參數(shù)為n,p的二項分布。注意，當(dāng)n=1時二項分布就是0-1分布。記為或第43頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月定理:如果隨機(jī)變量X服從二項分布B(n,p),則隨機(jī)變量Y=n-X服從二項分布B(n,q),其中q=1-p。顯然有：第44頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月

例1

擲3顆色子,求”恰好出現(xiàn)1次6點”的概率與”至少出現(xiàn)1次6點”的概率。

解所以有第45頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月

例2

進(jìn)行3次獨立重復(fù)試驗至少成功1次的概率為99.9%,若將試驗獨立重復(fù)進(jìn)行4次,求失敗與成功次數(shù)相等的概率。

解所以有第46頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月

例3某人進(jìn)行射擊，設(shè)每次擊中的概率均為0.02,獨立射擊400次，試求至少擊中兩次的概率。

解將每次射擊看成是一次試驗,設(shè)擊中的次數(shù)為，則所以有直接計算上式比較麻煩，為此需要一個近似計算公式。我們先引入一個重要的分布。第47頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月(三)泊松分布(PoissonDistribution)如果隨機(jī)變量的分布律為：則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布。記為

實例：1）普魯士騎兵每年被馬踢死的人數(shù)服從參數(shù)為0.61的泊松分布；2）1500年到1932年之間每年發(fā)生戰(zhàn)爭的次數(shù)（規(guī)模超過50000人）服從參數(shù)為0.69的泊松分布。第48頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月泊松分布與二項分布之間有密切的聯(lián)系，這一點由下面的泊松定理所闡述。

泊松定理設(shè)隨機(jī)變量且則有證略因此,由定理,當(dāng)n很大p很小時，就有第49頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)X為離散型隨機(jī)變量,且概率分布表示為其中xi為(i=1,2,…,r,…)是X的一切(r個或者可數(shù)個)可能值.表示離散型概率分布的方法,有時用下面形如式的矩陣表示,或用形如表的分布表表示:第50頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月表離散型變量X的概率分布xiP{X=xi}x1x2

…

xr…p1p2

…

pr…Σ1第51頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月

續(xù)例3現(xiàn)在我們運用泊松定理來做近似計算,由于此時故,于是因此

該例題表明,即使是一個命中率很低的射手,在大量的射擊中至少擊中兩次或兩次以上概率還是很大的.因此在大數(shù)次的試驗中,不能忽略小概率事件.第52頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月

例4

設(shè)某項試驗的成功率為98.5%,現(xiàn)獨立重復(fù)進(jìn)行100次該項試驗,求只失敗1次的概率?

解第53頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月

例5

為了保證設(shè)備正常工作，需配備適量的維修工人(工人配備多了浪費,配備少了又要影響生產(chǎn)),現(xiàn)有同類型的設(shè)備300臺,各臺工作是相互獨立的,發(fā)生故障的概率都是0.01.在通常情況下一臺設(shè)備的故障可由一個人來處理(我們也只考慮這種情形),問至少需配備多少工人,才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障但不能及時維修的概率小于0.01?

解

設(shè)需配備N人,記同一時刻發(fā)生故障的設(shè)備臺數(shù)為X,則X~B(300,0.01).所需解決的問題是確定最小的N,使得第54頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月由泊松定理(1)于是(1)式化為經(jīng)查表計算知,滿足上式最小的N是8.因此,為達(dá)到上述要求,至少需配備8個工人.第55頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月

例6

設(shè)有80臺同類型設(shè)備,各臺工作是相互獨立的,發(fā)生故障的概率都是0.01,且一臺機(jī)器的故障能由一個人處理.考慮兩種配備維修工人的方法,其一是由4人維修,每人負(fù)責(zé)20臺;其二是由3人共同維修80臺.試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時不能及時維修的概率的大小.

解先考慮第一種方法以X表示第一個人維護(hù)的20臺機(jī)器中同一時刻發(fā)生故障的臺數(shù),則X~B(20,0.01).于是,第一個人來不及維修的概率為第56頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)A為“四個人中至少有一個人來不及維修”這一事件，則有以Y表示3個人共同維護(hù)的80臺機(jī)器中同一時刻發(fā)生故障的臺數(shù),則Y~B(80,0.01).于是他們來不及維修的概率為按第二種方法效率更高！第57頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月例7一立方體的三個側(cè)面上印有“0”,兩個側(cè)面上印有“1”,另一側(cè)面上印有“2”,若將其隨意投擲在桌面上,并以X表示朝上的側(cè)面上的數(shù)字,求X的概率分布.解隨意將該正立方體投擲在桌面上,可能出現(xiàn)6種等可能的情形(基本事件),其中有利于出現(xiàn)“0”,“1”和“2”的情形,分別有3,2,1種.因此第58頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月第59頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月例8一條交通干線上5處設(shè)有紅綠信號燈,兩種信號交替開放,且紅燈和綠燈開放的時間為2:3.假設(shè)有一輛汽車沿此街道駛過,以X表示它首次遇到紅燈之前已通過綠燈的次數(shù).求X的概率分布.解隨機(jī)變量X有0,1,…,5等6個可能值.設(shè)Ak={汽車在第k個信號燈處首次遇到紅燈}(k=1,2,3,4,5).事件A1,A2,…,A5顯然相互獨立,且P(Ak)=2/5(k=1,2,3,4,5).因此,有第60頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月第61頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月第62頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月例9假設(shè)碩士研究生入學(xué)數(shù)學(xué)考試及格率為0.60,求14名考生中及格人數(shù)X的概率分布,并列出分布的數(shù)值表.解

n=14名考生參加考試,可以視為14次伯努利試驗,每名考生考試及格為“成功”,不及格為“失敗”,成功的概率為p=0.60.因此14名考生中及格人數(shù)X服從參數(shù)為(14,0.60)的二項分布(表是該二項分布的數(shù)值表):第63頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月kpkkpkkpkkpk00.00000310.0000620.0005530.0033040.0136050.0408160.0928270.0033080.2066090.20660100.15495110.08452120.03169130.00781140.00078表參數(shù)為(14,0.60)的二項分布表第64頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月例10某生產(chǎn)線平均每3分鐘生產(chǎn)一件產(chǎn)品,假設(shè)不合格品率為0.01.求8小時內(nèi)出現(xiàn)不合格品件數(shù)X的概率分布;(2)問:為使至少出現(xiàn)一件不合格品的概率不小于0.95,最少需要多長時間?第65頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月解(1)由條件知,若平均每3分鐘生產(chǎn)一件產(chǎn)品,則8小時內(nèi)平均可以生產(chǎn)8×60/3=160件產(chǎn)品,每件產(chǎn)品為不合格品的概率是p=0.01,在160件成品中不合格品的件數(shù)X顯然服從參數(shù)為(160,0.01)的二項分布.第66頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)設(shè)n為至少出現(xiàn)一件不合格品所要生產(chǎn)產(chǎn)品的件數(shù),則n件產(chǎn)品中不合格品的件數(shù)vn服從參數(shù)為(n,0.01)的二項分布;按題意,n應(yīng)滿足條件于是,至少出現(xiàn)一件不合格品的概率不小于95%,最少需要298.0729×3≈895分鐘,即將近14小時55分鐘.第67頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月解以X表示隨意抽取的一頁上印刷錯誤的個數(shù),以Xk(k=1,2,3,4)表示隨意抽取的第k頁上印刷錯誤的個數(shù),由條件知X和Xk(k=1,2,3,4)服從同一泊松分布,未知分布參數(shù)λ取決于條件:例11設(shè)一本書的各頁的印刷錯誤個數(shù)X服從泊松分布律.已知有一個和兩個印刷錯誤的頁數(shù)相同,求隨意抽查的4頁中無印刷錯誤的概率p.第68頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月于是λ=2.由于事件{Xk=0}(k=1,2,3,4)顯然相互獨立,因此第69頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月第三節(jié).三種重要的連續(xù)型分布(一)均勻分布(UniformDistribution)如果隨機(jī)變量的概率密度為則稱在［a,b]上服從均勻分布，記為第70頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月上式表明,落在區(qū)間[a,b]中任意等長度的子區(qū)間內(nèi)的概率是相同的.在這個意義上我們說,服從均勻分布的隨機(jī)變量在其可能取值的區(qū)間內(nèi)具有等可能性.設(shè)則第71頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月解知的分布函數(shù)為于是

例1

設(shè)隨機(jī)變量求.第72頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月

例2設(shè)隨機(jī)變量現(xiàn)在對進(jìn)行三次獨立的觀測，求至少有兩次觀測值大于3的概率.解由題設(shè)知的概率密度為于是第73頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月若以Y表示三次獨立觀測中觀測值大于3的次數(shù)(即在三次試驗中{X>3}出現(xiàn)的次數(shù)),則故所求的概率為第74頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月二.指數(shù)分布(ExponentialDistribution)如果隨機(jī)變量的概率密度為則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布.（其中是常數(shù)）第75頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月易知，若則其分布函數(shù)為指數(shù)分布在排隊論和可靠性理論中有廣泛的應(yīng)用，常常用它來作為各種“壽命”的分布的近似.例如,電子元件的壽命,電話的通話時間,微生物的壽命,隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時間等都可認(rèn)為是近似服從指數(shù)分布.第76頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月指數(shù)分布的一個重要性質(zhì)就是“無后效性”或“無記憶性”.具體敘述如下.設(shè)則對于任意的s>0,t>0,有事實上，有第77頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月假如把服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量解釋為某元件工作的壽命,則上式表明,在該元件已工作了s小時的條件下,它還能繼續(xù)工作t小時的概率與已經(jīng)工作過的時間s無關(guān).換句話說,如果元件在時刻s還“活著”,則它的剩余壽命的分布還是原來壽命的分布,而與它已工作了多長的時間無關(guān).所以有時又稱指數(shù)分布是“永遠(yuǎn)年輕”的.值得指出的是,我們可以證明,指數(shù)分布是唯一具有無記憶性的連續(xù)型分布.第78頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月例3某元件使用壽命X(單位:h)服從=0.002的指數(shù)分布.求該元件使用了500h還完好的概率以及該元件使用壽命不低于-100h且不超過250h的概率.解由題設(shè)知的概率密度與分布函數(shù)分別為于是第79頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月下面的例子說明了泊松分布和指數(shù)分布之間的關(guān)系。即服從參數(shù)為指數(shù)分布。第80頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月例5設(shè)某電子元件的壽命X(單位:小時)服從的指數(shù)分布,(1)求該元件使用500小時沒有壞的概率;(2)若已知該元件使用了200小時沒有壞,求它還可以繼續(xù)使用500小時的概率.解設(shè)X的分布函數(shù)為F(x),則(1)所求的概率為(2)由指數(shù)分布的無記憶性,有第81頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月三.正態(tài)分布(NormalDistribution)正態(tài)分布是概率分布中最重要的一種分布，這有實踐與理論兩方面的原因。實踐方面的原因是，正態(tài)分布是自然界最常見的一種分布，例如測量的誤差、炮彈的落點、人的身高與體重、農(nóng)作物的收獲量、波浪的高度等等都近似服從正態(tài)分布。一般來說，如果影響某一隨機(jī)變量的因素很多，而每一個因素都不起決定性作用，且這些影響是可以疊加的，則這個隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，這點可用下一章的極限定理來加以證明。從理論方面來說，正態(tài)分布有許多良好的性質(zhì)，如正態(tài)分布可以導(dǎo)出一些其它分布，而某些分布（如二項分布、泊松分布等）在一定的條件下可用正態(tài)分布來近似。

第82頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月正態(tài)分布在十九世紀(jì)前葉由高斯加以推廣，所以通常稱為高斯分布.德莫佛德莫佛最早發(fā)現(xiàn)了二項概率的一個近似公式，這一公式被認(rèn)為是正態(tài)分布的首次露面.高斯第83頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月不知你們是否注意到街頭的一種賭博活動?用一個釘板作賭具。第84頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月

也許很多人不相信，雖然玩這種賭博游戲十有八九是要輸?shù)舻?，不少人總想碰碰運氣，然而中大獎的概率實在是太低了。第85頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月下面我們在計算機(jī)上模擬這個游戲：街頭賭博高爾頓釘板試驗第86頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月平時，我們很少有人會去關(guān)心小球下落位置的規(guī)律性，人們可能不相信它是有規(guī)律的。一旦試驗次數(shù)增多并且注意觀察的話，你就會發(fā)現(xiàn)，最后得出的竟是一條優(yōu)美的曲線。第87頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月高爾頓釘板試驗這條曲線就近似我們將要介紹的正態(tài)分布的密度曲線。第88頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月定義如果隨機(jī)變量X的概率密度為

第89頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月正態(tài)分布密度函數(shù)的幾何性態(tài)：第90頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月正態(tài)分布密度函數(shù)的幾何性態(tài)：第91頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月正態(tài)分布密度函數(shù)的幾何性態(tài)：第92頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月正態(tài)變量的分布函數(shù)為第93頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用

和

表示：第94頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月

任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.定理其分布函數(shù)為則證第95頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月于是,有

這個公式把一般正態(tài)變量的概率計算轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布來計算.當(dāng)-x<0時，第96頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月第97頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月若X～N(0,1),第98頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月

例設(shè)隨機(jī)變量查表求概率第99頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月

例設(shè)隨機(jī)變量求概率

例設(shè)隨機(jī)變量已知求第100頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月例1解第101頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月例3解若入學(xué)考試中各個考生的總分?jǐn)?shù)服從正態(tài)分布N(400,1002),共有2000人參加考試，假定只錄取前300名，求分?jǐn)?shù)線a，使考生總分超過a的概率等于升學(xué)率。設(shè)X表示考試總分，則第102頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月例2這在統(tǒng)計學(xué)上稱作“3準(zhǔn)則”（三倍標(biāo)準(zhǔn)差原則）.第103頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月68.26%95.44%99.74%第104頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月若某人從甲地到乙地有兩條路線可走，第一條路線過市區(qū)，路程短但擁擠，所需時間(分)服從正態(tài)分布N(50,100)；第二條線路沿環(huán)城路走，路程長但阻塞少，所需時間(分)服從正態(tài)分布N(60,16)。問:(1)假如有70分鐘可用，應(yīng)選哪條路？(2)若只有65分鐘，又應(yīng)走哪條路？例4解記行走時間為t，(1)若有70分鐘可用,走第一條路線能及時趕到的概率為第105頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月走第二條路線能及時趕到的概率為因此，若有70分鐘可用，應(yīng)選第二條路線。解記行走時間為t，(1)若有70分鐘可用,走第一條路線能及時趕到的概率為第106頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月走第二條路線能及時趕到的概率為因此，若有65分鐘可用，應(yīng)選第一條路線。解記行走時間為t，(2)若有65分鐘可用,走第一條路線能及時趕到的概率為第107頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月

例5由歷史記錄知,某地區(qū)總降雨量(單位:mm).求(1)明年降雨量在400mm~700mm之間的概率；(2)明年降雨量至少為300mm的概率;(3)明年降雨量小于何值的概率為0.1?解1)2)第108頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月3)設(shè)該值為則有即查表得從而第109頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月例假設(shè)新生入學(xué)外語考試的成績(百分制)服從正態(tài)分布N(72,σ2).而且96分以上的考生占2.3%,求隨意抽取的一份外語試卷的成績,介于60分到84分之間的概率α.第110頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月解由條件知外語考試的成績X~N(72,σ2);而由即Φ(24/σ)=0.977;由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表(附表1)可查得Φ(2)=0.977,故24/σ≈2,從而σ≈12.因此,第111頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月例假設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為(108,9)的正態(tài)分布,求(1)事件{101.11<X<117.6}的概率;(2)常數(shù)a,使P{X≤a}=0.90;(3)常數(shù)b,使P{|X－b|>b}=0.10.第112頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月解由條件知,隨機(jī)變量(1)由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)Φ(x)數(shù)值表(附表1),可見第113頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)設(shè)Φ(x)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù).由條件知由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)Φ(x)的水平α雙側(cè)分位數(shù)uα表(附表3),可見第114頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)設(shè)條件知(注意到Φ(－36)≈0)由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)Φ(x)的水平α雙側(cè)分位數(shù)uα表(附表3),可見第115頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月例假設(shè)無線電測距儀無系統(tǒng)誤差,其測量的隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布.已知隨機(jī)測量的絕對誤差以概率0.95不大于20m,求隨機(jī)測量的標(biāo)準(zhǔn)差σ.解由條件知,隨機(jī)誤差e服從正態(tài)分布N(0,σ2),所以由可見第116頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月

前面討論了隨機(jī)變量的概率分布，它完整地描述了隨機(jī)變量的概率性質(zhì)，而數(shù)字特征則是由概率分布所決定的常數(shù)，它刻劃了隨機(jī)變量的某一方面的性質(zhì)。在許多實際問題中，分布往往不易求得或不需求得，而只需了解某些數(shù)字特征，而數(shù)字特征往往容易通過數(shù)理統(tǒng)計的方法得到。這一節(jié)先介紹隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.在這些數(shù)字特征中，最常用的是期望和方差第117頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月第四節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征

隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的方差第118頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月4.1數(shù)學(xué)期望

一.數(shù)學(xué)期望的定義例1設(shè)某班40名學(xué)生的概率統(tǒng)計成績及得分人數(shù)如下表所示：分?jǐn)?shù)4060708090100人數(shù)1691572數(shù)學(xué)期望——描述隨機(jī)變量取值的平均特征則學(xué)生的平均成績是總分÷總?cè)藬?shù)(分)。即第119頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月有甲、乙兩射手，他們的射擊技術(shù)如下表：例甲：擊中環(huán)數(shù)

891030%10%60%頻率

乙：擊中環(huán)數(shù)

891020%50%30%頻率

問哪一個射手水平較高？解假定各射N槍，則平均每槍所得環(huán)數(shù)約為甲：第120頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月甲：擊中環(huán)數(shù)

891030%10%60%頻率

乙：擊中環(huán)數(shù)

891020%50%30%頻率

問哪一個射手水平較高？解假定各射N槍，則平均每槍所得環(huán)數(shù)約為甲：乙：可見甲的水平高些。第121頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月

定義1離散型隨機(jī)變量X~P{X=xk}=pk,k=1,2,…n,若級數(shù)，則稱為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望或均值。

對于離散型隨機(jī)變量X,EX就是X的各可能值與其對應(yīng)概率乘積的和.第122頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月例1若X服從0-1分布,其概率函數(shù)為

P{X=k}=Pk(1-p)1-k(k=0,1),求EX.

X01P1-pp解：第123頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月例2甲,乙兩名射手在一次射擊中得分(分別用ξ,η表示)的分布律如表1,表2所示.這表明,如果進(jìn)行多次射擊,他們得分的平均值是2.1和2.2,故乙射手較甲射手的技術(shù)好.ξ123P0.40.10.5試比較甲乙兩射手的技術(shù).η123P0.10.60.3解：第124頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月例3一批產(chǎn)品中有一,二,三等品,等外品及廢品5種,相應(yīng)的概率分別為0.7,0.1,0.1,0.06及0.04,若其產(chǎn)值分別為6元,5.4元,5元,4元及0元.求產(chǎn)品的平均產(chǎn)值.

Eξ=6x0.7+5.4x0.1+5x0.1+4x0.06+0x0.04=5.48(元)ξ65.4540p0.70.10.10.060.04解：產(chǎn)品產(chǎn)值ξ是一個隨機(jī)變量,它的分布率如表:第125頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月例4已知盒內(nèi)有5個球,其中2個白球,3個黑球,從中一次摸出3個球,計算摸到的白球個數(shù)X的數(shù)學(xué)期望EX.第126頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月例5已知甲袋內(nèi)有3個白球與3個黑球,乙袋內(nèi)有3個白球,今從甲袋內(nèi)任意摸出3個球放入乙袋.求(1)乙袋內(nèi)黑球個數(shù)X的數(shù)學(xué)期望;(2)從乙袋內(nèi)再任摸一球是黑球的概率.第127頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月例5已知甲袋內(nèi)有3個白球與3個黑球,乙袋內(nèi)有3個白球,今從甲袋內(nèi)任意摸出3個球放入乙袋.求(1)乙袋內(nèi)黑球個數(shù)X的數(shù)學(xué)期望;(2)從乙袋內(nèi)再任摸一球是黑球的概率.設(shè)B=從乙袋內(nèi)再任摸一球是黑球第128頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月例6擲一顆均勻的骰子，以ξ表示擲得的點數(shù)，求ξ的數(shù)學(xué)期望。定義4.2P(58)設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量x~φ(x),-<x<+,若

為x的數(shù)學(xué)期望。則稱

連續(xù)型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望是它的概率密度f(x)與實數(shù)x的乘積在(-∞,+∞)無窮區(qū)間上的廣義積分.第129頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月例7設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為

解：第130頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月例8設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為

解：第131頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月例9設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為

解：第132頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望(1)若X是離散型隨機(jī)變量，且X的概率分布為

(2)若X是連續(xù)型隨機(jī)變量，且其概率密度為

f(x)，

則則第133頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月E(a)=a,a為常數(shù);E(X+a)=E(X)+a,a為常數(shù);3.E(aX)=aE(X),a為常數(shù);數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)證明:設(shè)X~φ(x),則4.E(kX+b)=E?(kX)+b=k?E(X)+b第134頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月這個性質(zhì)可以推廣到任意有限個隨機(jī)變量的情況,即對于n>2也同樣有

第135頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月例解X-2-100.1P

10.20.30.4設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布如下：第136頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月例解設(shè)隨機(jī)變量X的服從[a,b]上的均勻分布第137頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月例解設(shè)隨機(jī)變量X的服從[0,2п]上的均勻分布第138頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月例2有一隊射手共9人,技術(shù)不相上下,每人射擊中靶的概率均為0.8;進(jìn)行射擊,各自打中靶為止,但限制每人最多只打3次.問大約需為他們準(zhǔn)多少發(fā)子彈?解設(shè)ξi表示i名射手所需的子彈數(shù)目,ξ表示9名射手所需的子彈數(shù)目,依題意,并且ξi有如下分布律再多準(zhǔn)備10%~15%,大約為他們準(zhǔn)備13發(fā)子彈.第139頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月例4某無線電元件的使用壽命ξ是一個隨機(jī)變量,其概率密度為其中λ>0,求這種元件的平均使用壽命.解：第140頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月解例假定世界市場對我國某種出口商品的需求量X(單位噸)是個隨機(jī)變量,它服從[2000,4000]上的均勻分布,設(shè)該商品每售出1噸可獲利3萬美元,但若銷售不出去積壓于庫,則每噸需支付1萬美元,問如何計劃年出口量能使國家期望獲利最多?第141頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月EX1：設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為解:求隨機(jī)變量Y=X2的數(shù)學(xué)期望XPk-101YPk10

第142頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)ξ的概率密度為，求E(ξ2),E(ξ3)，E(ξ4)。第143頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月第144頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月二方差(Variance)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，描述了隨機(jī)變量X取值的集中趨勢或平均水平，但是僅僅知道X的數(shù)學(xué)期望有時還不能完全刻劃隨機(jī)變量X的統(tǒng)計特征。比如，某廠生產(chǎn)一批元件，平均使用壽命E(X)=1000小時，僅由此我們還很難了解這批元件質(zhì)量的好壞，因為有可能有一半的元件質(zhì)量很高，壽命在1500小時以上，而另一半?yún)s質(zhì)量很差，壽命不足500小時，從而反映出質(zhì)量不穩(wěn)定?？梢姂?yīng)進(jìn)一步考察元件壽命X對期望E(X)的偏離程度。下面介紹的方差就是用來描述隨機(jī)變量的可能取值與其期望之間的差異程度的數(shù)量特征。

第145頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月一、方差的定義定義即第146頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月計算公式:第147頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月1.若X是離散型隨機(jī)變量，其概率分布為

則計算公式:2.若X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x)，則第148頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月

設(shè)X表示機(jī)床A一天生產(chǎn)的產(chǎn)品廢品數(shù)，Y表示機(jī)床B一天生產(chǎn)的產(chǎn)品廢品數(shù)，它們的概率分布如下：

X0120.5P

30.30.10.1例1解Y0120.6P

30.10.20.1問：兩機(jī)床哪臺質(zhì)量好？設(shè)兩臺機(jī)床的日產(chǎn)量相等。

均值相等,據(jù)此不能判斷優(yōu)劣,再求方差.第149頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月X0120.5P

30.30.10.1Y0120.6P

30.10.20.1均值相等,據(jù)此不能判斷優(yōu)劣,再求方差.由于D(X)<D(Y),因此機(jī)床A的波動較機(jī)床B的波動小,質(zhì)量較穩(wěn)定.第150頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月幾種常見離散型分布的方差1.0-1分布已經(jīng)求得第151頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月2.二項分布已經(jīng)求得所以第152頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月3.泊松分布已經(jīng)求得所以第153頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月幾種常見連續(xù)型分布的方差1.均勻分布已經(jīng)求得第154頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月2.指數(shù)分布已經(jīng)求得第155頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月3.正態(tài)分布已經(jīng)求得第156頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月幾種常用的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差

分布概率分布或概率密度

數(shù)學(xué)期望

方差

0-1分布二項分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布泊松分布第157頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月二、方差的性質(zhì)性質(zhì)1D(C)=0，其中C是常數(shù)。性質(zhì)2若k是常數(shù),則性質(zhì)3證其中C是常數(shù)。證第158頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)4設(shè)X和Y是兩個相互獨立的隨機(jī)變量，則

證而第159頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)4設(shè)X和Y是兩個相互獨立的隨機(jī)變量，則

證當(dāng)X和Y相互獨立時，有E(XY)=E(X)E(Y)，所以推廣：若X1,X2,…,Xn相互獨立,則第160頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月注意：以下兩個式子是等價的,的充分必要條件為,存在常數(shù)C,使事實上,若X1,X2,…,Xn相互獨立,則例如,當(dāng)X和Y相互獨立時,有性質(zhì)5第161頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月利用方差的性質(zhì)重新求二項分布的方差.設(shè)X~B(n,p)，X表示n重貝努里試驗中的“成功”次數(shù).例解設(shè)而X=X1+X2+…+Xn,i=1,2,…,n其分布律為所以且X1,X2,…,Xn相互獨立,第162頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月例2設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為

解：第163頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月例3：已知隨機(jī)變量X服從二項分布B(n,p),且EX=2.4,DX=0.48,求X的概率函數(shù)與分布函數(shù).第164頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月例4：已知隨機(jī)變量X服從期望為1的指數(shù)分布,求.第165頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月例5：已知隨機(jī)變量X服從期望為0,方差為的正態(tài)分布,求的值.第166頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月例6：設(shè)隨機(jī)變量ξ的概率密度為1)求Dξ,2)求第167頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月第168頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月例7若連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度是已知Eξ=0.5,Dξ=0.15,求系數(shù)a,b,c.解:第169頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月第五節(jié)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布一、求隨機(jī)變量函數(shù)的分布的一般方法二、求隨機(jī)變量函數(shù)的密度的一個常用公式第170頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月一、求隨機(jī)變量函數(shù)的分布的一般方法設(shè)y=g(x)是連續(xù)函數(shù)或分段連續(xù)函數(shù),Y=g(X)作為隨機(jī)變量X的函數(shù),也是隨機(jī)變量.根據(jù)自變量X的概率分布,求Y的概率分布的一般方法:將Y的分布函數(shù)通過X的概率分布表示:第171頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月1.離散型若X是離散型隨機(jī)變量,則首先根據(jù)X的可能值列出Y的可能值,然后分別求Y等于各個可能值的概率.例1假設(shè)一部機(jī)器在一個工作日因故停用的概率為0.2.一周使用5個工作日可創(chuàng)利潤10萬元;使用4個工作日可創(chuàng)利潤7萬元;使用3個工作日只創(chuàng)2萬元;停用3天及多于3天虧損2萬元.求所創(chuàng)利潤的概率分布.第172頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月解設(shè)X是一周5個工作日停用的天數(shù);Y是一周所創(chuàng)利潤.X服從參數(shù)為(5,0.2)的二項分布,而一周所創(chuàng)利潤Y是停用天數(shù)X的函數(shù):若X=0,若X=1,若X=2,若X=3,第173頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月顯然Y的可能值為10,7,2,－2,因此于是,所創(chuàng)利潤Y的概率分布第174頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為例2解求2X+1及X2的概率分布。注意：取值相同的概率應(yīng)相加。第175頁，課件共196頁，創(chuàng)作于2023年2月例3設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為解(1)易見,隨機(jī)變量Y=X2+1有1,2,5等3個可能值,因此Y的概率分布為分別求隨機(jī)變量Y=X2+