2023屆廈門市大同中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)集合，，，則中的元素個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．2．若函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)，則（）A． B． C． D．3．設(shè)隨機(jī)變量，若，則（）A． B． C． D．4．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．5．設(shè)直線的一個(gè)方向向量，平面的一個(gè)法向量，則直線與平面的位置關(guān)系是（）.A．垂直 B．平行C．直線在平面內(nèi) D．直線在平面內(nèi)或平行6．函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為()A．25,-2 B．50,-2 C．50,14 D．50,-147．已知平面向量，的夾角為，，，則（）A．4 B．2 C． D．8．函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，給出下列命題：①－3是函數(shù)y＝f(x)的極值點(diǎn)；②－1是函數(shù)y＝f(x)的最小值點(diǎn)；③y＝f(x)在區(qū)間(－3,1)上單調(diào)遞增；④y＝f(x)在x＝0處切線的斜率小于零．以上正確命題的序號(hào)是()A．①② B．③④ C．①③ D．②④9．在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中任取2項(xiàng)，則取出的2項(xiàng)中系數(shù)均為偶數(shù)的概率為（）A． B． C． D．10．已知函數(shù).正實(shí)數(shù)滿足，則下述結(jié)論中正確的一項(xiàng)是()A． B．C． D．11．已知直線與圓相交所得的弦長(zhǎng)為，則圓的半徑（）A． B．2 C． D．412．已知函數(shù)，若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則實(shí)數(shù)的取值為（）A．-2 B．-1 C．1 D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線的參數(shù)方程，化成普通方程為_(kāi)____________.14．在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為底面上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____．15．從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，則選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率是_____.16．如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F(xiàn)為圓O上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開(kāi)后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐．當(dāng)△ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí)，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為_(kāi)_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)，求.（其中為虛數(shù)單位）18．（12分）“過(guò)橋米線”是云南滇南地區(qū)特有的一種小吃.在云南某地區(qū)“過(guò)橋米線”有三種品牌的店，其中品牌店家，品牌店家，品牌店家.（Ⅰ）為了加強(qiáng)對(duì)食品衛(wèi)生的監(jiān)督管理工作，該地區(qū)的食品安全管理局決定按品牌對(duì)這家“過(guò)橋米線”專營(yíng)店采用分層抽樣的方式進(jìn)行抽樣調(diào)查，被調(diào)查的店共有家，則品牌的店各應(yīng)抽取多少家？（Ⅱ）為了吸引顧客，所有品牌店舉辦優(yōu)惠活動(dòng)：在一個(gè)盒子中裝有形狀、大小相同的個(gè)白球和個(gè)紅球.顧客可以一次性從盒中抽取個(gè)球，若是個(gè)紅球則打六折（按原價(jià)的付費(fèi)），個(gè)紅球個(gè)白球打八折，個(gè)紅球個(gè)白球則打九折，個(gè)白球則打九六折.小張?jiān)谠摰挈c(diǎn)了價(jià)值元的食品，并參與了抽獎(jiǎng)活動(dòng)，設(shè)他實(shí)際需要支付的費(fèi)用為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.19．（12分）如圖，已知正三棱柱的高為3，底面邊長(zhǎng)為，點(diǎn)分別為棱和的中點(diǎn)．（1）求證：直線平面；（2）求二面角的余弦值．20．（12分）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．21．（12分）交通指數(shù)是交通擁堵指數(shù)的簡(jiǎn)稱，是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念，記交通指數(shù)為，其范圍為，分為五個(gè)級(jí)別，暢通；基本暢通；輕度擁堵；中度擁堵；嚴(yán)重?fù)矶?早高峰時(shí)段（），從某市交通指揮中心隨機(jī)選取了三環(huán)以內(nèi)的50個(gè)交通路段，依據(jù)其交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖如圖.（1）這50個(gè)路段為中度擁堵的有多少個(gè)？（2）據(jù)此估計(jì)，早高峰三環(huán)以內(nèi)的三個(gè)路段至少有一個(gè)是嚴(yán)重?fù)矶碌母怕适嵌嗌伲浚?）某人上班路上所用時(shí)間若暢通時(shí)為20分鐘，基本暢通為30分鐘，輕度擁堵為36分鐘，中度擁堵為42分鐘，嚴(yán)重?fù)矶聻?0分鐘，求此人所用時(shí)間的數(shù)學(xué)期望.22．（10分）某學(xué)校課題組為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與學(xué)生細(xì)心程度的關(guān)系，在本校隨機(jī)調(diào)查了100名學(xué)生進(jìn)行研究.研究結(jié)果表明：在數(shù)學(xué)成績(jī)及格的60名學(xué)生中有45人比較細(xì)心，另外15人比較粗心；在數(shù)學(xué)成績(jī)不及格的40名學(xué)生中有10人比較細(xì)心，另外30人比較粗心.（I）試根據(jù)上述數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表：（II）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與細(xì)心程度有關(guān)系？0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參考公式：，其中.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】分析：由題意列表計(jì)算所有可能的值，然后結(jié)合集合元素的互異性確定集合M，最后確定其元素的個(gè)數(shù)即可.詳解：結(jié)合題意列表計(jì)算M中所有可能的值如下：2341234246836912觀察可得：，據(jù)此可知中的元素個(gè)數(shù)為.本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查集合的表示方法，集合元素的互異性等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.2、A【解析】

先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再利用導(dǎo)函數(shù)與極值的關(guān)系即得解.【詳解】由題得，因?yàn)楹瘮?shù)無(wú)極值點(diǎn)，所以，即.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.3、A【解析】

根據(jù)對(duì)立事件的概率公式，先求出，再依二項(xiàng)分布的期望公式求出結(jié)果【詳解】，即，所以，，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)分布的期望公式，記準(zhǔn)公式是解題的關(guān)鍵．4、D【解析】分析：先根據(jù)復(fù)數(shù)除法得，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模求結(jié)果.詳解：因?yàn)?，所?因此選D.點(diǎn)睛：首先對(duì)于復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，要切實(shí)掌握其運(yùn)算技巧和常規(guī)思路，如.其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)的實(shí)部為、虛部為、模為、對(duì)應(yīng)點(diǎn)為、共軛為5、D【解析】∵直線的一個(gè)方向向量，平面的一個(gè)法向量∴∴直線在平面內(nèi)或平行故選D.6、B【解析】

求導(dǎo)，分析出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的極值和兩端點(diǎn)的函數(shù)值，可得函數(shù)f（x）＝2x3+9x2﹣2在區(qū)間[﹣4，2]上的最大值和最小值．【詳解】∵函數(shù)f（x）＝2x3+9x2﹣2，∴f′（x）＝6x2+18x，當(dāng)x∈[﹣4，﹣3），或x∈（0，2]時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)x∈（﹣3，0）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)；由f（﹣4）＝14，f（﹣3）＝25，f（0）＝﹣2，f（2）＝50，故函數(shù)f（x）＝2x3+9x2﹣2在區(qū)間[﹣4，2]上的最大值和最小值分別為50，﹣2，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的函數(shù)的最值及函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，屬于中檔題．7、B【解析】

將兩邊平方，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算求解得出數(shù)值，然后開(kāi)方得到結(jié)果.【詳解】依題意.故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查向量模的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

試題分析：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象可判定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，得到極值點(diǎn)，以及根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為在該點(diǎn)處的切線斜率．根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象可知：當(dāng)x∈（-∞，-3）時(shí)，f'（x）＜0，在x∈（-3，1）時(shí)，∴函數(shù)y=f（x）在（-∞，-3）上單調(diào)遞減，在（-3，1）上單調(diào)遞增，故③正確；則-3是函數(shù)y=f（x）的極小值點(diǎn)，故①正確；∵在（-3，1）上單調(diào)遞增∴-1不是函數(shù)y=f（x）的最小值點(diǎn)，故②不正確；∵函數(shù)y=f（x）在x=0處的導(dǎo)數(shù)大于0∴切線的斜率大于零，故④不正確.故選C.考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線斜率；函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；函數(shù)極值的判定.9、C【解析】

二項(xiàng)式的展開(kāi)式共十項(xiàng)，從中任取2項(xiàng)，共有種取法，再研究其系數(shù)為偶數(shù)情況有幾個(gè)，從中取兩個(gè)有幾種取法得出答案．【詳解】二項(xiàng)式的展開(kāi)式共十項(xiàng)，從中任取2項(xiàng)，共有種取法，展開(kāi)式系數(shù)為偶數(shù)的有，共六個(gè)，取出的2項(xiàng)中系數(shù)均為偶數(shù)的取法有種取法，取出的2項(xiàng)中系數(shù)均為偶數(shù)的概率為故選：【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理及等可能事件的概率，正確求解本題的關(guān)鍵是找出哪些項(xiàng)的系數(shù)是偶數(shù)，求出取出的2項(xiàng)中系數(shù)均為偶數(shù)的事件包含的基本事件數(shù)．10、A【解析】由，即，從而，令，則由得，，可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，，可得或，又，因此成立，故選A.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，一元二次不等式的解法及數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化與劃歸思想.屬于難題.轉(zhuǎn)化與劃歸思想解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法，是中學(xué)數(shù)學(xué)四種重要的數(shù)學(xué)思想之一，尤其在解決知識(shí)點(diǎn)較多以及知識(shí)跨度較大的問(wèn)題發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是將題設(shè)條件研究透，這樣才能快速找準(zhǔn)突破點(diǎn).以便將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的知識(shí)領(lǐng)域，進(jìn)而順利解答，希望同學(xué)們能夠熟練掌握并應(yīng)用于解題當(dāng)中.解答本題的關(guān)鍵是將方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求最值進(jìn)而通過(guò)解不等式解答.11、B【解析】

圓心到直線的距離，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算得到答案.【詳解】根據(jù)題意：圓心到直線的距離，故，解得.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)弦長(zhǎng)求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.12、B【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用切線方程通過(guò)f′（0），求解即可；【詳解】f（x）的定義域?yàn)椋ī?，+∞），因?yàn)閒′（x）a，曲線y＝f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y＝2x，可得1﹣a＝2，解得a＝﹣1，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線方程的求法，考查計(jì)算能力．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、．【解析】

用代入法或消元法可化參數(shù)方程為普通方程．【詳解】在中，由得，代入得，整理得．又，∴所求普通方程為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化，在轉(zhuǎn)化時(shí)要注意變量的取值范圍有沒(méi)有發(fā)生變化，如果有變化必須加上變量的范圍，如本題中，如果答案是，則其為直線，如果答案是，則其為射線，圖形發(fā)生了變化．14、【解析】

畫出圖形,利用折疊與展開(kāi)法則使和在同一個(gè)平面,轉(zhuǎn)化折線段為直線段距離最小,即可求得的最小值．【詳解】當(dāng)?shù)淖钚≈?即到底面的距離的最小值與的最小值之和.為底面上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)是在底面上的射影,即是最小值.展開(kāi)三角形與三角形在同一個(gè)平面上,如圖:長(zhǎng)方體中，，長(zhǎng)方體體對(duì)角線長(zhǎng)為:在中:故故過(guò)點(diǎn)作,即為最小值.在,故答案為:.【點(diǎn)睛】解答折疊問(wèn)題的關(guān)鍵在于畫好折疊前后的平面圖形與立體圖形，并弄清折疊前后哪些條件發(fā)生了變化,哪些條件沒(méi)有發(fā)生變化.這些未變化的已知條件都是我們分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的依據(jù).15、.【解析】

先求事件的總數(shù)，再求選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式得出答案.【詳解】從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿服務(wù)，共有種情況.若選出的2名學(xué)生恰有1名女生，有種情況，若選出的2名學(xué)生都是女生，有種情況，所以所求的概率為.【點(diǎn)睛】計(jì)數(shù)原理是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，考查的形式有兩種，一是獨(dú)立考查，二是與古典概型結(jié)合考查，由于古典概型概率的計(jì)算比較明確，所以，計(jì)算正確基本事件總數(shù)是解題的重要一環(huán).在處理問(wèn)題的過(guò)程中，應(yīng)注意審清題意，明確“分類”“分步”，根據(jù)順序有無(wú)，明確“排列”“組合”.16、【解析】如下圖，連接DO交BC于點(diǎn)G，設(shè)D，E，F(xiàn)重合于S點(diǎn)，正三角形的邊長(zhǎng)為x(x>0)，則.，，三棱錐的體積.設(shè)，x>0，則，令，即，得，易知在處取得最大值.∴.點(diǎn)睛:對(duì)于三棱錐最值問(wèn)題，需要用到函數(shù)思想進(jìn)行解決，本題解決的關(guān)鍵是設(shè)好未知量，利用圖形特征表示出三棱錐體積.當(dāng)體積中的變量最高次是2次時(shí)可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解決，當(dāng)變量是高次時(shí)需要用到求導(dǎo)的方式進(jìn)行解決.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、【解析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、純虛數(shù)的定義出復(fù)數(shù)，再代入目標(biāo)式子利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式即可得到答案．【詳解】復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)．即為純虛數(shù)，，，解得．．，．【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、純虛數(shù)的定義、模的計(jì)算公式，考查對(duì)概念的理解、考查基本運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．18、（Ⅰ）品牌店家，應(yīng)抽查品牌店家；（Ⅱ）分布列見(jiàn)解析，【解析】

（1）根據(jù)分層抽樣每層按比例分配，即可求解；（2）求出隨機(jī)變量的可能取值，并求出相應(yīng)的概率，即可得到分布列，進(jìn)而根據(jù)期望公式求解.【詳解】（Ⅰ）由題意得，應(yīng)抽查品牌店家，應(yīng)抽查品牌店家；（Ⅱ）離散型隨機(jī)變量的可能取值為.于是，，，.的分布列如下60809096所以【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣、離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，求出隨機(jī)變量的概率是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）詳見(jiàn)解析；（2）．【解析】

取BC中點(diǎn)F，連接FE，F(xiàn)D，可證平面AFDE，則，求解三角形證明，再由線面垂直的判定可得直線平面BCE；

以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面BED與平面BCD的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，如圖，由題意知，四邊形為矩形，且．因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋云矫?，所以．?所以平面．（2）以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則0，，0，，，

，，

設(shè)平面BED的一個(gè)法向量為，

由，取，得．

取平面BCD的一個(gè)法向量為，

．

且二面角為銳角，

二面角的余弦值為．【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定，利用空間向量求解二面角的余弦值，考查空間想象能力與思維能力，屬于中檔題．20、（1）詳見(jiàn)解析（2）或【解析】

（1）將函數(shù)求導(dǎo)并化簡(jiǎn)，對(duì)分成兩種情況，討論函數(shù)的單調(diào)性.（2）原不等式即（），當(dāng)時(shí)，上述不等式顯然成立.當(dāng)時(shí)，將不等式變?yōu)椋瑯?gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由此求得的取值范圍.【詳解】解：（1）．①若，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減．②若，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增．∴當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）（），當(dāng)時(shí)，上不等式成立，滿足題設(shè)條件；當(dāng)時(shí)，，等價(jià)于，設(shè)，則，設(shè)（），則，∴在上單調(diào)遞減，得．①當(dāng)，即時(shí)，得，，∴在上單調(diào)遞減，得，滿足題設(shè)條件；②當(dāng)，即時(shí)，，