2023屆上海市師范大學(xué)附屬中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在對(duì)人們休閑方式的一次調(diào)查中，根據(jù)數(shù)據(jù)建立如下的列聯(lián)表：看書運(yùn)動(dòng)合計(jì)男82028女161228合計(jì)243256根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到，所以我們至少有（）的把握判定休閑方式與性別有關(guān)系.（參考數(shù)據(jù)：，）A．99% B．95% C．1% D．5%2．已知集合，，則（）A． B． C． D．3．復(fù)數(shù),則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．已知雙曲線x2a2-yA．x212-y285．已知命題,那么命題為A． B．C． D．6．如圖，四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個(gè)大正方形，已知小正方形的外接圓恰好是大正方形的內(nèi)切圓，現(xiàn)在大正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為（）A． B． C． D．7．設(shè)函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若曲線上存在點(diǎn)使得，則的取值范圍是A． B． C． D．8．若點(diǎn)O和點(diǎn)分別是雙曲線的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn),則的取值范圍為（）A．[3-,） B．[3+,） C．[,） D．[,）9．已知均為實(shí)數(shù)，若（為虛數(shù)單位），則（）A．0 B．1 C．2 D．-110．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A． B． C． D．11．對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的變量，有一組觀測(cè)數(shù)據(jù)，其回歸直線方程，且，，則()A． B． C． D．12．設(shè)集合，|，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．二項(xiàng)展開式，兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，令，可得，類比上述方法，則______．14．已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值為____________．15．江湖傳說(shuō)，蜀中唐門配置的天下第一奇毒“含笑半步癲”是由種藏紅花，種南海毒蛇和種西域毒草順次添加煉制而成，其中藏紅花添加順序不能相鄰，同時(shí)南海毒蛇的添加順序也不能相鄰，現(xiàn)要研究所有不同添加順序?qū)λ幮У挠绊?，則總共要進(jìn)行__________此實(shí)驗(yàn)．16．已知甲盒中僅有一個(gè)球且為紅球，乙盒中有3個(gè)紅球和4個(gè)藍(lán)球，從乙盒中隨機(jī)抽取個(gè)球放在甲盒中，放入個(gè)球后，甲盒中含有紅球的個(gè)數(shù)為，則的值為________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知為實(shí)數(shù)，函數(shù)，函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，令，求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時(shí)，令，是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)于函數(shù)定義域中的任意實(shí)數(shù)，均存在實(shí)數(shù)，有成立，若存在，求出實(shí)數(shù)的取值集合；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．18．（12分）某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第18,19,20層?？浚粼撾娞菰诘讓虞d有5位乘客，且每位乘客在這三層的每一層下電梯的概率均為，用ξ表示這5位乘客在第20層下電梯的人數(shù)，求：（1）隨機(jī)變量ξ的分布列；（2）隨機(jī)變量ξ的均值．19．（12分）在二項(xiàng)式（axm+bxn）12（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展開式里最大系數(shù)項(xiàng)恰是常數(shù)項(xiàng).（1）求此常數(shù)項(xiàng)是第幾項(xiàng)；（2）求的范圍.20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，已知圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）．（1）求圓和直線l的極坐標(biāo)方程；（2）點(diǎn)的極坐標(biāo)為，直線l與圓相交于A，B，求的值．21．（12分）已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)恰有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）當(dāng)，且時(shí)，證明：.（常數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.22．（10分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

利用與臨界值比較，即可得到結(jié)論.【詳解】結(jié)合題意和獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)論，由，，故這種判斷出錯(cuò)的可能性至多為，即，故我們至少有95%的把握判定休閑方式與性別有關(guān)系.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

先求出集合A，B，由此能求出A∩B．【詳解】因?yàn)樗?故選：B【點(diǎn)睛】本題考查交集的求法，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．3、A【解析】

先求得的共軛復(fù)數(shù)，由此判斷出其對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限.【詳解】依題意，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，在第一象限，故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查共軛復(fù)數(shù)的概念，考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】試題分析：因?yàn)殡p曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為62，所以ca考點(diǎn)：雙曲線的性質(zhì)．5、C【解析】

全稱命題的否定是特稱命題,要前改量詞，后面否定結(jié)論,故選C.6、B【解析】分析：設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為1，其內(nèi)切圓的直徑為1，則小正方形的邊長(zhǎng)為，從而陰影部分的面積為，由此利用幾何概型能求出在大正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率.詳解：設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為1，其內(nèi)切圓的直徑為1，則小正方形的邊長(zhǎng)為，所以大正方形的面積為1，圓的面積為，小正方形的面積為，則陰影部分的面積為，所以在大正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率.點(diǎn)睛：本題主要考查了面積比的幾何概型及其概率的計(jì)算問(wèn)題，其中根據(jù)題意，準(zhǔn)確求解陰影部分的面積是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，以及函數(shù)與方程思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

法一：考查四個(gè)選項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)特殊值區(qū)分開了四個(gè)選項(xiàng)，0出現(xiàn)在了A，B兩個(gè)選項(xiàng)的范圍中，出現(xiàn)在了B，C兩個(gè)選項(xiàng)的范圍中，故通過(guò)驗(yàn)證參數(shù)為0與時(shí)是否符合題意判斷出正確選項(xiàng)。法二：根據(jù)題意可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上有解，分離參數(shù)得到，，利用導(dǎo)數(shù)研究的值域，即可得到參數(shù)的范圍。【詳解】法一：由題意可得，，而由可知，當(dāng)時(shí)，＝為增函數(shù)，∴時(shí)，．∴不存在使成立，故A，B錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，＝，當(dāng)時(shí)，只有時(shí)才有意義，而，故C錯(cuò)．故選D．法二：顯然，函數(shù)是增函數(shù)，，由題意可得，，而由可知，于是，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上有解．由，得，分離變量，得，因?yàn)椋?，函?shù)在上是增函數(shù)，于是有，即，應(yīng)選D．【點(diǎn)睛】本題是一個(gè)函數(shù)綜合題，方法一的切入點(diǎn)是觀察四個(gè)選項(xiàng)中與不同，結(jié)合排除法以及函數(shù)性質(zhì)判斷出正確選項(xiàng)，方法二是把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行研究，屬于中檔題。8、B【解析】

由題意可得,,故.設(shè),則.

關(guān)于

對(duì)稱,故

在上是增函數(shù),當(dāng)時(shí)有最小值為,無(wú)最大值,故的取值范圍為,

故選B.9、C【解析】

將已知等式整理為，根據(jù)復(fù)數(shù)相等可求得結(jié)果.【詳解】由題意得：，即：則：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)相等的定義，涉及簡(jiǎn)單的復(fù)數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】分析：對(duì)求導(dǎo)，令，即可求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.詳解：函數(shù)的定義域?yàn)?，得?故選D點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題.11、A【解析】

根據(jù)，，求出樣本點(diǎn)的中心，代入回歸直線方程，即可求解.【詳解】由題：，，所以樣本點(diǎn)的中心為，該點(diǎn)必滿足，即，所以.故選：A【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)已知數(shù)據(jù)求回歸直線方程，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求出樣本點(diǎn)的中心，根據(jù)樣本點(diǎn)的中心在回歸直線上求解參數(shù).12、C【解析】

解出集合M中的不等式即可【詳解】因?yàn)?，所以故選：C【點(diǎn)睛】本題考查的是解對(duì)數(shù)不等式及集合的運(yùn)算，屬于基本題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

依據(jù)類比推理觀察式子的特點(diǎn)，可得，然后進(jìn)行求導(dǎo)并對(duì)取特殊值，可得結(jié)果.【詳解】，兩邊對(duì)求導(dǎo)，左邊右邊令，．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查類比推理以及二項(xiàng)式定理與導(dǎo)數(shù)的結(jié)合，難點(diǎn)在于找到式子，屬中檔題.14、25【解析】

由＋＝1，得x＋y＝xy,＋＝＋＝13＋＋＝13＋＝9x＋4y＝(9x＋4y)＝13＋＋≥13＋2＝25.當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立15、.【解析】分析：先不考慮蛇共有種排法，再減去蛇相鄰的情況，即可得出結(jié)論．詳解：先不考慮蛇，先排蛇與毒草有種，再排藏紅花有種，共有種，其中蛇相鄰的排法共有種，，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查排列的應(yīng)用，屬于中檔題.常見排列數(shù)的求法為：（1）相鄰問(wèn)題采取“捆綁法”；（2）不相鄰問(wèn)題采取“插空法”；（3）有限制元素采取“優(yōu)先法”；（4）特殊順序問(wèn)題，先讓所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列數(shù).16、【解析】

當(dāng)抽取個(gè)球時(shí)，的取值為，根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出概率，并求得期望值.當(dāng)抽取個(gè)球時(shí)，的取值為，根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出概率，并求得期望值.【詳解】解：甲盒中含有紅球的個(gè)數(shù)的取值為1，2，則，.則；甲盒中含有紅球的個(gè)數(shù)的值為1，2，3，則，，.則.∴.故答案為：.【點(diǎn)睛】本小題主要考查隨機(jī)變量期望值的計(jì)算方法，考查古典概型概率計(jì)算公式，考查組合數(shù)的計(jì)算，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）的極小值為，無(wú)極大值．（2）【解析】

試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，由得．列表分析得的極小值為，無(wú)極大值．（2）恒成立問(wèn)題及存在問(wèn)題，一般利用最值進(jìn)行轉(zhuǎn)化：在上恒成立．由于不易求，因此再進(jìn)行轉(zhuǎn)化：當(dāng)時(shí)，可化為，令，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：對(duì)任意恒成立；同理當(dāng)時(shí)，可化為，令，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：對(duì)任意的恒成立；以下根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)情況進(jìn)行討論即可.試題解析：（1），，令，得．列表：x

0

+

↘

極小值

↗

所以的極小值為，無(wú)極大值．（2）當(dāng)時(shí)，假設(shè)存在實(shí)數(shù)滿足條件，則在上恒成立．1）當(dāng)時(shí)，可化為，令，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：對(duì)任意恒成立；（*）則，，．令，則．①時(shí)，因?yàn)?，故，所以函?shù)在時(shí)單調(diào)遞減，，即，從而函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，故，所以（*）成立，滿足題意；②當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，記，則當(dāng)時(shí)，，故，所以函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，，即，從而函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減，所以，此時(shí)（*）不成立；所以當(dāng)，恒成立時(shí)，；2）當(dāng)時(shí)，可化為，令，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：對(duì)任意的恒成立；（**）則，，．令，則．①時(shí)，，故，所以函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，，即，從而函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，所以，此時(shí)（**）成立；②當(dāng)時(shí)，ⅰ）若，必有，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，從而函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減，所以，此時(shí)（**）不成立；ⅱ）若，則，所以當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，，即，所以函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減，所以，此時(shí)（**）不成立；所以當(dāng)，恒成立時(shí)，；綜上所述，當(dāng)，恒成立時(shí)，，從而實(shí)數(shù)的取值集合為．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求極值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性18、(1)見解析；(2)【解析】

（1）一位乘客是否在第20層下電梯為一次試驗(yàn)，這是5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．故ξ～B，由此能求出ξ的分布列．（2）由ξ～B，能求出Eξ．【詳解】（1）考察一位乘客是否在第20層下電梯為一次試驗(yàn)，這是5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，故，即有，.由此可得的分布列為012345（2），.【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差，是中檔題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意二項(xiàng)分布的合理運(yùn)用．19、（1）5；（2）≤≤.【解析】分析：（1）求出通項(xiàng)，由以及，即可求出答案；（2）由只有常數(shù)項(xiàng)為最大項(xiàng)且，可得，即可得到答案.詳解：(1)設(shè)Tr+1=(axm)12-r·(bxn)r=a12-r·brxm(12-r)+nr為常數(shù)項(xiàng),則有m(12-r)+nr=0,因?yàn)?m+n=0,所以m(12-r)-2mr=0,解得r=4,故可知常數(shù)項(xiàng)是第5項(xiàng).(2)因?yàn)榈?項(xiàng)又是系數(shù)最大的項(xiàng),所以因?yàn)閍>0,b>0,所以由①②可得點(diǎn)睛：本題主要考查二項(xiàng)式定理，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.20、（1）圓的極坐標(biāo)方程為，的極坐標(biāo)方程為；（2）．【解析】

（1）代入圓C得圓C的極坐標(biāo)方程；直線l的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成普通方程，進(jìn)而求得直線l的極坐標(biāo)方程；（2）將直線l的參數(shù)方程代入圓的方程，求得關(guān)于t的一元二次方程，令A(yù)，B對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t1，t2，根據(jù)韋達(dá)定理、直線與圓的位置關(guān)系，即可求得|PA|+|PB|的值．【詳解】（1）圓的直角坐標(biāo)方程為：，把代入圓得：化簡(jiǎn)得圓的極坐標(biāo)方程為：由（為參數(shù)），得，的極坐標(biāo)方程為：.（2）由點(diǎn)的極坐標(biāo)為得點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，∴直線的參數(shù)方程可寫成：（為參數(shù)）．代入圓得：化簡(jiǎn)得：，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查圓的極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)換，直線與圓的位置關(guān)系，考查分析問(wèn)題及解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．一般t的絕對(duì)值表示方程中的定點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)的距離，故，，均可用t來(lái)表示，從而轉(zhuǎn)化為韋達(dá)定理來(lái)解決.21、（1）（2）證明見解析【解析】

1，等價(jià)于方程在恰有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)．即在恰有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)．令，利用

函數(shù)圖象即可求解．

2要證明：只需證明，即證明要證明，即證明利用導(dǎo)數(shù)即可證明．【詳解】Ⅰ，，，函數(shù)恰有一個(gè)極值點(diǎn)，方程在恰有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)．在恰有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)．令，則．可得時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減．函數(shù)草圖如下，可得，．實(shí)數(shù)a的取值范圍為：2要證明：證明．證明，即證明．令則，時(shí)，，函數(shù)遞增，時(shí)，，遞減．，即原不等式成立．要證明，即證明．，故只