三大抽樣分布課件(同名96)

第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布12February2020第1頁(yè)§5.4三大抽樣分布大家很快會(huì)看到，有很多統(tǒng)計(jì)推斷是基于正態(tài)分布的假設(shè)的，以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量為基石而構(gòu)造的三個(gè)著名統(tǒng)計(jì)量在實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用，這是因?yàn)檫@三個(gè)統(tǒng)計(jì)量不僅有明確背景，而且其抽樣分布的密度函數(shù)有明顯表達(dá)式，它們被稱為統(tǒng)計(jì)中的“三大抽樣分布”。第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布12February2020第2頁(yè)5.4.1?2分布(卡方分布)定義5.4.1設(shè)X1,X2,…,Xn,獨(dú)立同分布于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，則?2=X12+…Xn2的分布稱為自由度為n的?2分布，記為?2??2(n)。第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布12February2020第3頁(yè)?2—分布的密度函數(shù)曲線這是一個(gè)特殊的Gamma分布Γ(n/2,1/2)?2分布的性質(zhì)：分布可加性若X～?2(n1)，Y～?2(n2)，X與Y獨(dú)立，則X+Y～?2(n1+n2).第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布12February2020第4頁(yè)當(dāng)隨機(jī)變量?2??2(n)時(shí)，對(duì)給定?(0???1)，稱滿足P(?2??1??2(n))的?1??2(n)是自由度為n?1的卡方分布的1??分位數(shù).分位數(shù)?1??2(n)可以從附表3中查到。第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布12February2020第5頁(yè)該密度函數(shù)的圖像是一只取非負(fù)值的偏態(tài)分布22,Var()2Enn????第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布12February2020第6頁(yè)例設(shè)是取自總體N(0,4)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.當(dāng)a=,b=時(shí),則).2(~2?X243221)43()2(XXbXXaX????4321,,,XXXX解：由題意得???????)1,0(N~)X4X3(b)1,0(N~)X2X(a4321?????????1)]X4X3(b[D1)]X2X(a[D4321?a=1/20b=1/100第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布12February2020第7頁(yè)5.4.2F分布定義5.4.2設(shè)X1??2(m),X2??2(n),X1與X2獨(dú)立，則稱F=(X1/m)/(X2/n)的分布是自由度為m與n的F分布，記為F?F(m,n)，其中m稱為分子自由度，n稱為分母自由度。其概率密度為第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布12February2020第8頁(yè)該密度函數(shù)的圖象也是一只取非負(fù)值的偏態(tài)分布第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布12February2020第9頁(yè)2.F—分布的分位點(diǎn)對(duì)于0<?<1，若存在F1-?(m,n)>0滿足P{F?F1-?(m,n)}=1-?，則稱F1-?(m,n)為F(m,n)的下側(cè)1-?分位數(shù)第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布12February2020第10頁(yè)F—分布性質(zhì):第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布12February2020第11頁(yè)5.4.3t分布定義5.4.3設(shè)隨機(jī)變量X1與X2獨(dú)立，且X1?N(0,1),X2??2(n),則稱t=X1/?X2/n的分布為自由度為n的t分布，記為t?t(n)。第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布12February2020第12頁(yè)t(n)的概率密度為:第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布12February2020第13頁(yè)t分布的密度函數(shù)的圖象是一個(gè)關(guān)于縱軸對(duì)稱的分布，與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)形狀類(lèi)似，只是峰比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布低一些尾部的概率比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的大一些。第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布12February2020第14頁(yè)?n?1時(shí),t分布的數(shù)學(xué)期望存在且為0；?n?2時(shí)，t分布的方差存在，且為n/(n?2)；?當(dāng)自由度較大(如n?30)時(shí)，t分布可以用正態(tài)分布N(0,1)近似。?自由度為1的t分布就是標(biāo)準(zhǔn)柯西分布，它的均值不存在；.,)1(1)(21???????xxxt?,21)(lim22xnnext?????第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布12February2020第15頁(yè)t(n)的性質(zhì):(1)p(t)關(guān)于t=0(縱軸)對(duì)稱。(2)p(t)的極限為N(0，1)的密度函數(shù).分位點(diǎn)設(shè)T～t(n)，若對(duì)0<?<1,存在t1-?(n)>0，滿足P{t?t1-?(n)}=1-?則稱t1-?(n)為t(n)的下側(cè)1-?分位點(diǎn).1()tn??第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布12February2020第16頁(yè)當(dāng)隨機(jī)變量t?t(n)時(shí)，稱滿足P(t?t1??(n))=1??的t1??(n)是自由度為n的t分布的1??分位數(shù).分位數(shù)t1??(n)可以從附表4中查到。譬如n=10,?=0.05，那么從附表4上查得t1?0.05(10)=t0.95(10)=1.812.由于t分布的密度函數(shù)關(guān)于0對(duì)稱,故其分位數(shù)間有如下關(guān)系t?(n?1)=?t1??(n?1)第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布12February2020第17頁(yè)注:第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布12February2020第18頁(yè)例設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布,而和分別是來(lái)自總體X和Y的s.r.s,則)9,0(N91,,XX?91,,YY?19~(9)2219XXUtYY?????證明：),1,0(N~X91X91ii???)1,0(N~3Yi故，且)9(~91)3(~2912912???????iiiiYYY與獨(dú)立,YX~所以)9(~9/~tYXU?第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布12February2020第19頁(yè)一般總體的結(jié)論設(shè)X為總體,且E(X)=?,Var(X)=?2,為樣本,且：222211111(),()1nnniiniiSXXSXXnn-===-=--邋

則：第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布12February2020第20頁(yè)5.4.4一些重要結(jié)論定理5.4.1設(shè)x1,x2,…,xn是來(lái)自N(?,?2)的樣本，其樣本均值和樣本方差分別為和x=?xi/ns2=?(xi?x)2/(n?1)(3)(n?1)s2/?2??2(n?1)。則有(1)x與s2相互獨(dú)立；(2)x?N(?,?2/n)；第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布12February2020第21頁(yè)證明:第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布12February2020第22頁(yè)相互獨(dú)立，而的證明知由nYY,,)2()3(1?.2獨(dú)立與因此，SX,,,2ni??第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布12February2020第23頁(yè)01~(,)XNn????),(~2nNX??注：第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布12February2020第24頁(yè)推論5.4.1設(shè)x1,x2,…,xn是來(lái)自N(?,?2)的樣本，其樣本均值和樣本方差分別為和x=?xi/ns2=?(xi?x)2/(n?1)則有第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布12February2020第25頁(yè)推論5.4.2設(shè)x1,x2,…,xm是來(lái)自N(?1,?12)的樣本，y1,y2,…,yn是來(lái)自N(?2,?22)的樣本，且此兩樣本相互獨(dú)立，則有特別，若?12=?22，則F=sx2/sy2?F(m?1,n?1)221222/~(1,1)/xysFFmns?????第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布12February2020第26頁(yè)推論5.4.3在推論5.4.2的記號(hào)下，設(shè)?12=?22=?2，并記則2)()(2)1()1(1122222????????????????nmyyxxnmsnsmsminiiiyxw)2(~11)()(21??????nmtnmsyxw??第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布12February2020第27頁(yè)課堂練習(xí)設(shè)X1,X2,…,Xn是來(lái)自總體N(?,?2)的一個(gè)樣本,則21niiX???????????服從什么分布？??2(n)第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布12February2020第28頁(yè)課堂練習(xí)設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且都服從正態(tài)分布N(0,9).而X1,X2,…,X9和Y1,Y2,…,Y9分別是來(lái)自總體X和Y的樣本，則統(tǒng)計(jì)量服從()分布，參數(shù)為().19222129....XXZYYY??????t9第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布12February2020第29頁(yè)解:911~(0,1),9iiUXN???~(0,1)3iYN故29922111~(9)39iiiiYVY?????????????所以9~(9)9/9UUZtVV??U與V獨(dú)立,第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布12February2020第30頁(yè)課堂練習(xí)設(shè)X1,X2,…,Xn是來(lái)自總體N(?,?2)的一個(gè)樣本,11627899222712()/6,

()/3,(),

/22()/iiYXXYXXXSXYZYYS????????????證明:Z~t(2)第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布12February2020第31頁(yè)§5.5充分統(tǒng)計(jì)量5.5.1充分性的概念統(tǒng)計(jì)量是對(duì)樣本的加工目的①簡(jiǎn)化程度高；②信息的損失少第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布12February2020第32頁(yè)一大堆原始資料，經(jīng)過(guò)加工成簡(jiǎn)單的后，一般來(lái)說(shuō)在信息上會(huì)有損失。但也有可能，把樣本X加工成后，抓住了問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，中保留了樣本X中所含參數(shù)的全部信息，所丟掉的只是無(wú)關(guān)緊要的東西。如果一個(gè)統(tǒng)計(jì)量滿足這個(gè)要求，即使忘掉了樣本X也能恢復(fù)參數(shù)的信息，則稱此統(tǒng)計(jì)量為充分的。)(XT)(XT)(XT??第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布12February2020第33頁(yè)例5.5.1為研究某個(gè)運(yùn)動(dòng)員的打靶命中率，我們對(duì)該運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行測(cè)試，觀測(cè)其10次，發(fā)現(xiàn)除第三、六次未命中外，其余8次都命中。這樣的觀測(cè)結(jié)果包含了兩種信息：(1)打靶10次命中8次；(2)2次不命中分別出現(xiàn)在第3次和第6次打靶上。第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布12February2020第34頁(yè)第二種信息對(duì)了解該運(yùn)動(dòng)員的命中率是沒(méi)有什么幫助的。一般地，設(shè)我們對(duì)該運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行n次觀測(cè)，得到x1,x2,…,xn，每個(gè)xj取值非0即1，命中為1，不命中為0。令T=x1+…+xn，T為觀測(cè)到的命中次數(shù)。在這種場(chǎng)合僅僅記錄使用T不會(huì)丟失任何與命中率?有關(guān)的信息，統(tǒng)計(jì)上將這種“樣本加工不損失信息”稱為“充分性”。樣本x=(x1,x2,…,xn)有一個(gè)樣本分布F?(x)，這個(gè)分布包含了樣本中一切有關(guān)?的信息。第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布12February2020第35頁(yè)統(tǒng)計(jì)量T=T(x1,x2,…,xn)也有一個(gè)抽樣分布F?T(t)，當(dāng)我們期望用統(tǒng)計(jì)量T代替原始樣本并且不損失任何有關(guān)?的信息時(shí)，也就是期望抽樣分布F?T(t)像F?(x)一樣概括了有關(guān)?的一切信息，這即是說(shuō)在統(tǒng)計(jì)量T的取值為t的情況下樣本x的條件分布F?(x|T=t)已不含?的信息，這正是統(tǒng)計(jì)量具有充分性的含義。第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布12February2020第36頁(yè)??中的信息樣本X??中所含樣本的的信息

X)(T???的剩余信息尚含有的后樣本在知道?XX)(T?關(guān)于樣本X的信息可以設(shè)想成如下公式：故為充分統(tǒng)計(jì)量的要求歸結(jié)為：)(XT)(tTXP???后一項(xiàng)信息為0與無(wú)關(guān)第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布12February2020第37頁(yè)定義5.5.1設(shè)x1,x2,…,xn是來(lái)自某個(gè)總體的樣本，總體分布函數(shù)為F(x;?)，統(tǒng)計(jì)量T=T(x1,x2,…,xn)稱為?的充分統(tǒng)計(jì)量，如果在給定T的取值后，x1,x2,…,xn的條件分布與?無(wú)關(guān).第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布12February2020第38頁(yè)))((),,,(0011tXTPtTxXxXPnn??????),,(011tTxXxXPnn????????0000110tnttnttn??????????????????????????01tn上述條件概率與無(wú)關(guān)，因此為充分統(tǒng)計(jì)量。???niixXT1)(01txnii???證：記，按定義只要證明下列條件概率與無(wú)關(guān)。當(dāng)時(shí)有)(XTT???例設(shè)為從0-1分布中抽取的簡(jiǎn)單樣本，證明為充分統(tǒng)計(jì)量。),,(1nXXX?????niixXT1)(第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布12February2020第39頁(yè)5.5.2因子分解定理充分性原則：在統(tǒng)計(jì)學(xué)中有一個(gè)基本原則--在充分統(tǒng)計(jì)量存在的場(chǎng)合，任何統(tǒng)計(jì)推斷都可以基于充分統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行，這可以簡(jiǎn)化統(tǒng)計(jì)推斷的程序。定理5.5.1設(shè)總體概率函數(shù)為p(x;?)，X1,…,Xn為樣本，則T=T(X1,…Xn)為充分統(tǒng)計(jì)量的充分必要條件是：存在兩個(gè)函數(shù)g(t;?)和h(x1,…,xn)，使得對(duì)任意的?和任一組觀測(cè)值x1,x2,…,xn，有p(x1,x2,…,xn;?)=g(T(x1,x2,…,xn);?)h(x1,x2,…,xn)(5.5.1)第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布12February2020第40頁(yè)例5.5.4設(shè)x1,x2,…,xn是取自總體U(0,?)的樣本，即總體的密度函數(shù)為其中g(shù)(t,?)是通過(guò)統(tǒng)計(jì)量T的取值而依賴于樣本的。p(x;?)=1/?,0?x??0,其他于是樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布12February2020第41頁(yè)取T=x(n)，并令g(t;?)=(1/?)nI?t???,h(x)=1，由因子分解定理知T=x(n)是?的充分統(tǒng)計(jì)量。p(x