第二章-控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型課件-002

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型7/24/2023數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)內(nèi)部物理量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式

數(shù)學(xué)模型時(shí)域復(fù)數(shù)域頻域微分方程狀態(tài)方程差分方程傳遞函數(shù)結(jié)構(gòu)圖頻率特性7/24/2023

2-1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型7/24/2023

§2.1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量；根據(jù)系統(tǒng)所遵循的基本定律，依次列寫出各元件相應(yīng)的微分方程；消中間變量，得到只含輸入、輸出量的標(biāo)準(zhǔn)形式（輸出在左，輸入在右，降冪排列）。列寫微分方程的步驟:1線性元件的微分方程7/24/2023U0(t)LRi(t)Ui(t)C例2-1如右圖所示RLC電路組成的無源網(wǎng)絡(luò)，試列寫以為輸入量，為輸出量的微分方程。解：設(shè)回路電流為，由基爾霍夫定理可寫出回路方程為

§2.1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型消去中間變量得7/24/2023

例2-2

列寫圖2-2所示為電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的微分方程，要求取電樞電壓Ua(t)(v)為輸入量，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速ωm(t)(rad/s)為輸出量。圖中Ra(Ω)、La(H)分別是電樞電路的電阻和電感，Mc(N·M)是折合到電動(dòng)機(jī)軸上的總負(fù)載轉(zhuǎn)距。激磁磁通為常值。2

§2.1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型

電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的工作實(shí)質(zhì)是將輸入的電能轉(zhuǎn)換為機(jī)械能，也就是由輸入的電樞電壓Ua(t)在電樞回路中產(chǎn)生電樞電流ia(t)，再由電流ia(t)與激磁磁通相互作用產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)距Mm(t)，從而拖動(dòng)負(fù)載運(yùn)動(dòng)。7/24/2023

直流電動(dòng)機(jī)的運(yùn)動(dòng)方程可由以下三部分組成。

電樞回路電壓平衡方程電磁轉(zhuǎn)距方程電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)距平衡方程

§2.1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型27/24/2023①Ea=Ceωm(t)

②

Ce－反電勢(shì)系數(shù)(v/rad/s)電樞回路電壓平衡方程：

§2.1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型其中，Ea是電樞反電勢(shì)，它是當(dāng)電樞旋轉(zhuǎn)時(shí)產(chǎn)生的反電勢(shì)，其大小與激磁磁通及轉(zhuǎn)速成正比，方向與電樞電壓Ua(t)相反，即Ea=Ceωm(t)

②

Ce－反電勢(shì)系數(shù)(v/rad/s)電磁轉(zhuǎn)距方程：③-電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)距系數(shù)（N·m/A）是電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)距系數(shù)-是由電樞電流產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)距（N·m）④電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)距平衡方程：Jm－電動(dòng)機(jī)和負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（kg·m）fm-電動(dòng)機(jī)和負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的粘性摩擦系數(shù)（N·m/rad/s）7/24/2023

電動(dòng)機(jī)機(jī)電時(shí)間常數(shù)（s）

⑤⑥在工程應(yīng)用中，由于電樞電路電感La較小，通常忽略不計(jì)，因而⑤可簡(jiǎn)化為③、④求出ia(t)，代入①同時(shí)②亦代入①得：電動(dòng)機(jī)傳遞系數(shù)

§2.1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型7/24/2023例2-3

如圖為彈簧-質(zhì)量-阻尼器機(jī)械位移系統(tǒng)。試列寫質(zhì)量m在外力作用下，位移的運(yùn)動(dòng)方程mF(t)x(t)K

§2.1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型解：質(zhì)量m受外力F,阻尼器的阻力F1以及彈簧彈力F2的共同作用，其大小方向如圖所示。因此由牛頓定理可得

將、代入可得整理得7/24/2023總結(jié)：列寫元件微分方程的步驟確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量；根據(jù)系統(tǒng)所遵循的基本定律，依次列寫出各元件相應(yīng)的微分方程；消中間變量，得到只含輸入、輸出量的標(biāo)準(zhǔn)形式（輸出在左，輸入在右，降冪排列）。

§2.1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型7/24/20232控制系統(tǒng)微分方程的建立畫系統(tǒng)方塊圖→列寫組成系統(tǒng)各元件的微分方程→消去中間變量→得到系統(tǒng)的微分方程注意事項(xiàng)：1信號(hào)傳送的單向性；2前后連接的兩個(gè)元件中，后級(jí)對(duì)前級(jí)的負(fù)載效應(yīng)

§2.1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型7/24/2023-K1SM負(fù)載TG●-K2功放R1R1R1R2R2uiu1u2uaut+●●●

§2.1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型7/24/20233線性系統(tǒng)的特性

線性系統(tǒng)的重要特性是可應(yīng)用疊加性原理。疊加性原理的含義：疊加性和均勻性（齊次性）。

疊加性原理表明，兩個(gè)外作用同時(shí)加于系統(tǒng)所產(chǎn)生的總輸出，等于各個(gè)外作用單獨(dú)作用，是分別產(chǎn)生的輸出之和，且外作用的數(shù)值增大若干倍，其輸出相應(yīng)增大同樣的倍數(shù)。

如果有幾個(gè)外作用同時(shí)加于系統(tǒng)，可分別求出各個(gè)外作用單獨(dú)加于系統(tǒng)時(shí)系統(tǒng)的輸出，再將它們疊加。

§2.1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型7/24/20234線性定常微分方程的求解

§2.1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型7/24/2023例2-6如右圖所示，若已知LRi(t)Ui(t)C且電容上初始電壓，初始電流，電源電壓。試求電路突然接通電源時(shí)，電容電壓的變化規(guī)律。

§2.1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型解：由例2-1得到網(wǎng)絡(luò)的微分方程為7/24/2023

用拉氏變換求解線性定常微分方程的過程1）考慮初始條件，對(duì)微分方程的每一項(xiàng)分別進(jìn)行拉氏變換，將微分方程轉(zhuǎn)化為變量S的代數(shù)方程。2）由代數(shù)方程求出輸出拉氏變換函數(shù)的表達(dá)式。3）對(duì)輸出拉氏變換函數(shù)求反變換，得到輸出量的時(shí)域表達(dá)式，即所求微分方程的解。

§2.1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型7/24/20235非線性微分方程的線性化

具有連續(xù)變化的非線性函數(shù)的線性化，可用切線法或小偏差法。在一個(gè)小范圍內(nèi)，將非線性特性用一斷直線來代替。（分段定常系統(tǒng)）

設(shè)連續(xù)變化的非線性函數(shù)，在平衡點(diǎn)（x0,y0）處連續(xù)可微。則可將它在該點(diǎn)附件用臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開

§2.1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型7/24/2023增量較小時(shí)略去其高次冪項(xiàng)，則有

令上式記為Δy=kΔx

略去增量號(hào)

Δ，便可得到函數(shù)

在平衡點(diǎn)（x0,y0）附近的線性化方程為y=kx

其中，K為比例系數(shù)，是函數(shù)在（x0,y0）點(diǎn)切線的斜率

§2.1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型7/24/2023

對(duì)于有兩個(gè)自變量的非線性函數(shù)同樣可在某工作點(diǎn)附近用臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開為

§2.1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型7/24/2023

2-2控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型7/24/2023是在用拉氏變換求解線性常微分方程的過程中引申出來的概念。用拉氏變化法求解微分方程時(shí)，可以得到控制系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域的數(shù)學(xué)模型－傳遞函數(shù)。定義：線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，定義為零初使條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。1傳遞函數(shù)的定義與性質(zhì)§2.2控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型7/24/2023設(shè)線性定常系統(tǒng)由下述n階線性常微分方程描述：

設(shè)r(t)和c(t)及其各階系數(shù)在t=0時(shí)的值均為零，即零初始條件，則對(duì)上式中各項(xiàng)分別求拉氏變換，并令C(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s的代數(shù)方程為：§2.2控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型求得零初始條件下的拉氏變換得：于是，由定義得系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：其中7/24/2023LRi(t)Ui(t)C例2-8求如下無源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)§2.2控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型求初始條件下的拉氏變換得：由定義得系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：解：網(wǎng)絡(luò)的微分方程為7/24/2023性質(zhì)1傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)，m≤n，且所具有復(fù)變量函數(shù)的所有性質(zhì)。性質(zhì)2G(s)取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入量的形式（幅度與大小）無關(guān)。性質(zhì)3傳遞函數(shù)與微分方程有相通性。

傳遞函數(shù)的性質(zhì)

G(s)R(s)C(s)性質(zhì)4傳遞函數(shù)G(s)的拉氏反變換是脈沖響應(yīng)g(t),脈沖響應(yīng)（脈沖過渡函數(shù)）g(t)是系統(tǒng)在單位脈沖輸入時(shí)的輸出響應(yīng)?！?.2控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型7/24/2023例2-9試求例2-2電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的傳遞函數(shù)解：由例2-2得到系統(tǒng)的微分方程為：§2.2控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型在零初始條件下，對(duì)上式求拉式變換，得到：令令，得到電樞電壓到轉(zhuǎn)速的傳遞函數(shù)令，得到負(fù)載擾動(dòng)

到轉(zhuǎn)速的傳遞函數(shù)7/24/2023例2-10在例2-1中，已知網(wǎng)絡(luò)初始電壓和初始電流，試求電容電壓的單位階躍響應(yīng)?！?.2控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型7/24/20232傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)

傳遞函數(shù)的極點(diǎn)

§2.2控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型根軌跡增益7/24/2023§2.2控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)的增益7/24/2023

傳遞函數(shù)的極點(diǎn)

極點(diǎn)是微分方程的特征根，因此，決定了所描述系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的模態(tài)。3傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)對(duì)輸出的影響傳遞函數(shù)的零點(diǎn)§2.2控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型7/24/2023零點(diǎn)對(duì)輸出響應(yīng)的影響-2z2-1z10j（a)

012341.21.00.80.60.40.2（b）G1(t)G2(t)§2.2控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型7/24/2023零點(diǎn)距極點(diǎn)的距離越遠(yuǎn)，該極點(diǎn)所產(chǎn)生的模態(tài)所占比重越大零點(diǎn)距極點(diǎn)的距離越近，該極點(diǎn)所產(chǎn)生的模態(tài)所占比重越小如果零極點(diǎn)重合－該極點(diǎn)所產(chǎn)生的模態(tài)為零，因?yàn)榉肿臃帜赶嗷サ窒?/p>

§2.2控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型7/24/2023

電位器－將線位移或角位移變換為電壓量的裝置。單個(gè)電位器用作為信號(hào)變換裝置。

4典型元部件的傳遞函數(shù)§2.2控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型7/24/2023單位角位移E-電位器電源

－電位器最大工作角

§2.2控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型7/24/2023K1是單個(gè)電位器的傳遞系統(tǒng)

是兩個(gè)電位器電刷角位移之差，稱誤差角。

§2.2控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型7/24/2023測(cè)速發(fā)電機(jī)－測(cè)量角速度并將它轉(zhuǎn)換成電壓量的裝置

轉(zhuǎn)子角速度輸出斜率直流測(cè)速發(fā)電機(jī)交流測(cè)速發(fā)電機(jī)§2.2控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型7/24/2023電樞控制直流伺服電動(dòng)機(jī)中求得電樞控制直流電動(dòng)機(jī)簡(jiǎn)化后的微分方程為

可視為負(fù)載擾動(dòng)轉(zhuǎn)矩根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，分別求到和到的傳遞函數(shù)。

由傳遞函數(shù)定義

a令b令

§2.2控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型7/24/2023兩相伺服電動(dòng)機(jī)兩相定子線圈和一個(gè)高電阻值的轉(zhuǎn)子組成。定子線圈的一相是激磁繞組，另一相是控制繞組，通常接在功率放大器的輸出端，提供數(shù)值和極性可變的交流控制電壓。傳遞函數(shù)在