四川省成都成華區(qū)某重點校高二下學(xué)期階段性考試（三）數(shù)學(xué)（理科）試題

2022-2023學(xué)年度（下）階段性考試（三）高2021級數(shù)學(xué)（理科）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，請把答案直接填涂在答題卷上）1.已知集合，，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用已知條件可得出的取值范圍.【詳解】因為集合，，且，則.故選：B.2.復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運算以及幾何意義即可求解.【詳解】解：，則復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為：，位于第二象限.故選：B.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運算以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.3.圓的圓心極坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，再求出圓心，然后將圓心坐標(biāo)化為極坐標(biāo)即可.【詳解】由，得，，得，所以圓心為，所以圓心極坐標(biāo)為故選：B.4.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】當(dāng)時，因為在上遞增，所以，又在R上遞減，所以，故充分性成立；當(dāng)時，因為在R上遞減，所以，但x，y的正負(fù)不定，所以與不一定有意義，則大小關(guān)系不確定，故必要性不成立，故選：A5.設(shè)m，n為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】C【解析】【分析】在正方體中通過線面關(guān)系，可舉出A,B,C的反例說明不正確，由線面垂直的性質(zhì)可判斷C正確．【詳解】對于A選項，當(dāng)為面，為面時，取m為直線BC，n為直線，此時滿足，但不滿足，故A不正確；對于B選項，當(dāng)為面，為面時，取m為直線AB，n為直線，此時滿足，但不滿足，故B不正確；對于D選項，當(dāng)為面，為面時，取m為直線，n為直線AB，此時滿足，但不滿足，故D不正確；對于C選項，由則，又，由線面垂直的性質(zhì)定理可得，故C正確.故選：C．【點睛】判斷線面關(guān)系正誤時，通?？梢岳谜襟w這個模型進(jìn)行判斷，很直觀.6.霍蘭德職業(yè)能力測試問卷可以為大學(xué)生在擇業(yè)方面提供參考，對人的能力興趣等方面進(jìn)行評估.某大學(xué)隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行霍蘭德職業(yè)能力測試問卷測試，測試結(jié)果發(fā)現(xiàn)這100名學(xué)生的得分都在內(nèi)，按得分分成5組：，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則這100名同學(xué)得分的中位數(shù)為（）A. B.75 C. D.80【答案】A【解析】【分析】由頻率分布直方圖，求出，的頻率為，，的頻率為，由此能估計這100名同學(xué)的得分的中位數(shù)．【詳解】解：由頻率分布直方圖，得：，的頻率為，，的頻率為，估計這100名同學(xué)的得分的中位數(shù)為：．故選：A．【點睛】本題考查中位數(shù)的求法，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．7.用數(shù)學(xué)歸納法證明（，為正整數(shù)）的過程中，從遞推到時，不等式左邊需添加的項為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】計算和時左邊式子，再作差即可判斷.詳解】依題意當(dāng)時左邊，當(dāng)時左邊，所以，故從遞推到時，不等式左邊需添加的項為.故選：C8.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先記，化簡整理，由函數(shù)解析式，判定奇偶性，再判斷時，，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】記，則，因此函數(shù)是偶函數(shù)；故排除BC；當(dāng)時，，，因此；排除D；故選：A.【點睛】本題主要考查判定函數(shù)圖像的識別，熟記函數(shù)的性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.9.已知集合表示的平面區(qū)是域為，若在區(qū)域內(nèi)任取一點，則點的坐標(biāo)滿足不等式的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，求出對應(yīng)的面積，再求出區(qū)域內(nèi)和圓重合部分的面積，代入幾何概型計算公式，即可得到答案．【詳解】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖，則對應(yīng)的區(qū)域為，由，解得，由，解得，，直線與軸交點坐標(biāo)為，則的面積，由圖知：點的坐標(biāo)滿足不等式區(qū)域面積，則由幾何概型的概率公式得點的坐標(biāo)滿足不等式的概率為，故選：．10.設(shè)、分別為雙曲線，滿足，且到直線的距離等于雙曲線的實軸長，則該雙曲線的漸近線方程為A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】試題分析：依題意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一個等腰三角形，F(xiàn)2在直線PF1的投影是其中點，由勾股定理知，可知|PF1|="2"=4b根據(jù)雙曲定義可知4b-2c=2a，整理得c=2b-a，代入c2=a2+b2整理得3b2-4ab=0，求得=∴雙曲線漸進(jìn)線方程為y=±x，即4x±3y=0故選C考點：本題主要考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系的運用．點評：解決該試題的關(guān)鍵是利用題設(shè)條件和雙曲線性質(zhì)在三角形中尋找等量關(guān)系，得出a與b之間的等量關(guān)系，可知答案．11.已知三棱錐的各頂點都在同一球面上，且平面，若該棱錐的體積為1，，，，則此球的表面積等于A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用棱錐的體積，求的長度，由，，利用余弦定理求，可得外接圓的半徑，利用勾股定理可得球半徑，即可求解.【詳解】因為，，由可得又因為平面，該棱錐的體積為1，所以，設(shè)外接圓的半徑為，則，，所以球的半徑球的表面積，故選D.【點睛】本題主要考查了三棱錐外接球的問題，余弦定理，球的表面積，三棱錐的體積，屬于中檔題.12.已知函數(shù)在上是減函數(shù)，則a的取值范圍為（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先用參變分離轉(zhuǎn)化為在的恒成立問題，再利用導(dǎo)函數(shù)研究的最小值，結(jié)合函數(shù)同構(gòu)法得到，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，得到最小值，進(jìn)而求出a的取值范圍.【詳解】由題在上恒成立，即在上恒成立；設(shè)，則有；令，得，即.由于在上是增函數(shù)，則存在，使得，即，此時.由于當(dāng)時，，在上是減函數(shù)；當(dāng)時，，在上是增函數(shù)，所以當(dāng)時，，則有，故，故選：B.【點睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.請把答案填寫在答題卷上.）13.已知兩個空間向量，，且，則實數(shù)的值為__________．【答案】【解析】【分析】依題意可得，根據(jù)空間向量基本定理計算可得.【詳解】因為，，且，所以，即，即，解得.故答案為：14.成都某學(xué)校高中部學(xué)生中，高一年級有700人，高二年級有500人，高三年級有300人，為了了解該校高中學(xué)生的健康狀況，用分層抽樣的方法從高中學(xué)生中抽取一個容量為的樣本，已知從高三年級學(xué)生中抽取15人，則為__________．【答案】75【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣的定義結(jié)合題意列方程求解即可【詳解】由題意得，即，解得，故答案為：7515.拋物線：的焦點為，準(zhǔn)線為，直線與交于，兩點，線段的垂直平分線交軸于點，過線段的中點作，垂足為，為坐標(biāo)原點，則________.【答案】2【解析】【分析】設(shè)，，，根據(jù)梯形中位線得到，線段的垂直平分線方程為，令，得的長，再計算出得到答案.【詳解】由拋物線：得焦點，準(zhǔn)線方程為：，設(shè)，，所以，過，兩點分別作，垂直于，由梯形中位線得，因為直線的斜率存在且不為0，設(shè)為，則線段的垂直平分線方程為，令，得，即，，得所以得所以得，所以．故答案為.【點睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，點差法表示垂直平分線，屬于中檔題.16.已知恰有三個不同零點，則a的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】變形得到，設(shè)，，討論得到方程有唯一根或無解時不成立，有兩解時，直線，與的交點恰有三個，計算得到答案.【詳解】令，變形得：，令，得，，故，當(dāng)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)，，在上單調(diào)遞減，且，故在時有最大值.當(dāng)有唯一根或無解時，原方程最多兩解，不符題意；當(dāng)有兩根時，或，規(guī)定，要使原方程有三個解，則直線，與的交點恰有三個，即轉(zhuǎn)化為的兩根，，則，解得.故答案為：.【點睛】本題考查了函數(shù)的零點問題，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力，綜合應(yīng)用能力.三、解答題（本大題共6小題，第17—21題各12分，第22題10分，共70分.請把答案寫在題卡上.）17.設(shè)是函數(shù)的一個極值點，曲線在處的切線斜率為8.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在閉區(qū)間上的最大值為10，求的值.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是（2）4【解析】【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)求出，再利用導(dǎo)數(shù)可求出單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)（1）中函數(shù)的單調(diào)性求出最值，結(jié)合已知的最值列式可求出結(jié)果.【小問1詳解】，由已知得，得，解得．于是，由，得或，由，得，可知是函數(shù)的極大值點，符合題意，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.【小問2詳解】由（1）知，因為在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，在上是單調(diào)遞增函數(shù)，又，所以的最大值為，解得.18.某地區(qū)2014年至2020年農(nóng)村居民家庭純收入y（單位：萬元）的數(shù)據(jù)如下表：年份2014201520162017201820192020年份代號t1234567人均純收入y（1）求y關(guān)于t的線性回歸方程；（2）利用（1）中的回歸方程，分析2014年至2020年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測該地區(qū)2022年農(nóng)村居民家庭人均純收入.附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：，【答案】（1）；（2）萬元.【解析】【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)求得，進(jìn)而求得，寫出回歸直線方程；（2）根據(jù)（1）的回歸直線方程，將t=9代入求解.【小問1詳解】解：，，所以，，，所以回歸直線方程為：；【小問2詳解】因為2022年對應(yīng)的年份為9，當(dāng)時，即該地區(qū)2022年農(nóng)村居民家庭人均純收入為萬元.19.已知，如圖四棱錐中，底面為菱形，，，平面，E，M分別是，中點，點F在棱上移動.（1）證明：無論點F在上如何移動，都有平面平面；（2）當(dāng)直線與平面所成的角最大時，確定點F的位置.【答案】（1）證明見解析；（2）F為的中點.【解析】【分析】（1）連接，可知得出和，即可證明平面，從而得出平面平面；（2）以，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可求解.【詳解】（1）證明：連接，∵底面為菱形，，∴為正三角形，∵E是的中點，∴，又，∴，∵平面，平面，∴，∵，、平面，∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）由（1）知，，，兩兩垂直，故以，，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，∴，，.設(shè)，則..設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，∴.設(shè)直線與平面所成的角為，當(dāng)時，最大，此時F為的中點.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查點的存在性問題，解題的關(guān)鍵是建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用向量關(guān)系建立與線面角的關(guān)系，從而通過數(shù)量關(guān)系進(jìn)行說明.20.已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，橢圓長軸兩個端點間的距離與兩個焦點之間的距離的差為，且橢圓的離心率為.（1）求橢圓C的方程；（2）過點作直線l交C于P?Q兩點，試問：在x軸上是否存在一個定點M，使為定值？若存在，求出這個定點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在，定點.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，列出方程組，即可求得a，c的值，根據(jù)a，b，c的關(guān)系，即可求得b的值，即可求得答案；（2）當(dāng)直線l不與x軸重合時，可設(shè)直線l的方程為：，與橢圓聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理，可得的表達(dá)式，代入所求，化簡整理，即可得結(jié)果；當(dāng)直線l與x軸重合時，可求得P，Q坐標(biāo)，可得的表達(dá)式，經(jīng)檢驗符合題意，綜合即可得答案.【詳解】（1）由題意得：，解得，又，所以橢圓C的方程為：.（2）當(dāng)直線l不與x軸重合時，可設(shè)直線l的方程為：，，聯(lián)立直線與曲線方程，整理得：，則，，假設(shè)存在定點，使得為定值，則=.當(dāng)且僅當(dāng)，即時，(為定值)，這時，當(dāng)直線l與x軸重合時，此時，，，，，當(dāng)時，(為定值)，滿足題意.所以存在定點使得對于經(jīng)過點任意一條直線l均有(恒為定值).【點睛】解題的步驟為（1）設(shè)直線，（2）與曲線聯(lián)立，得到關(guān)于x（y）的一元二次方程，（3）根據(jù)韋達(dá)定理，求得（）的表達(dá)式，（4）代入所求，化簡整理，即可得答案，考查分析理解，計算求值的能力，屬中檔題.21.已知函數(shù)，.（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）若時，都有，求實數(shù)a的取值范圍；（3）若有不相等的兩個正實數(shù)，滿足，證明：.【答案】（1）當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）（3）證明詳見解析【解析】【分析】（1）首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后討論a的取值即可確定函數(shù)的單調(diào)性；（2）分離參數(shù)a，構(gòu)造出新函數(shù)，得到最小值，即可得到a的范圍；（3）利用同構(gòu)關(guān)系將原問題轉(zhuǎn)化為極值點偏移的問題，構(gòu)造對稱差函數(shù)分別證明左右兩側(cè)的不等式即可.【小問1詳解】解：因為，定義域為，.①當(dāng)時，令，解得即當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；②當(dāng)時，在單調(diào)遞增；③當(dāng)時令，解得，即當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.【小問2詳解】若時，都有，即，恒成立.令，則，，令，所以，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，，所以，在單調(diào)遞減，所以=，所以【小問3詳解】原式可整理為，令，原式為，由（1）知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，則為兩根，其中，不妨令，要證，即證，，只需證，令，，，令，則，，單調(diào)遞增，，，單