《獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用》 市賽獲獎(jiǎng)

獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用自學(xué)導(dǎo)引1．分類變量和列聯(lián)表

(1)分類變量 變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的

，像這樣的變 量稱為分類變量．

(2)列聯(lián)表 ①定義：列出的兩個(gè)分類變量的

，稱為列聯(lián)表．不同類別頻數(shù)表②2×2列聯(lián)表一般地，假設(shè)兩個(gè)分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱2×2列聯(lián)表)為y1y2總計(jì)x1aba＋bx2cdc＋d總計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d想一想：如何理解分類變量？提示(1)這里的“變量”和“值”都應(yīng)作為“廣義”的變量和值來(lái)理解．例如：對(duì)于性別變量，其取值有“男”和“女”兩種，這里的“變量”指的是“性別”，這里的“值”指的是“男”或“女”．因此，這里說(shuō)的“變量”和“值”不一定是取具體的數(shù)值．(2)分類變量是大量存在的．例如：吸煙變量有吸煙與不吸煙兩種類別，而國(guó)籍變量則有多種類別．2．獨(dú)立性檢驗(yàn)a＋b＋c＋d

具體步驟①根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需要，確定容許推斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤概率的上界α.然后查表確定

.②利用公式計(jì)算隨機(jī)變量K2的

.③如果

，就推斷“X與Y有關(guān)系”，這種推斷

不超過(guò)α，否則就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)α的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”，或者在樣本數(shù)據(jù)中

支持結(jié)論“X與Y有關(guān)系”臨界值k0觀測(cè)值kk≥k0犯錯(cuò)誤的概率沒(méi)有發(fā)現(xiàn)足夠證據(jù)3.獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界值表P(K2≥k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828想一想：在K2運(yùn)算時(shí)，在判斷變量相關(guān)時(shí)，若K2的觀測(cè)值k＝56.632，則P(K2≥6.635)≈0.01和P(K2≥10.828)≈0.001，哪種說(shuō)法是正確的？提示兩種說(shuō)法均正確．P(K2≥6.635)≈0.01的含義是在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下，認(rèn)為兩變量相關(guān)；而P(K2≥10.828)≈0.001的含義是在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下，認(rèn)為兩變量相關(guān)．名師點(diǎn)睛1．在2×2列聯(lián)表中，如果兩個(gè)分類變量沒(méi)有關(guān)系，則應(yīng)滿足ad－bc≈0，因此|ad－bc|越小，關(guān)系越弱；|ad－bc|越大，關(guān)系越強(qiáng)．2．獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想

(1)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想類似于數(shù)學(xué)中的反證法，要確認(rèn)“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可信程度，首先假設(shè)該結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論“兩個(gè)分類變量沒(méi)有關(guān)系”成立，在該假設(shè)下我們構(gòu)造的隨機(jī)變量K2應(yīng)該很小，如果由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的K2的觀測(cè)值很大，則在一定程度上說(shuō)明假設(shè)不合理，根據(jù)隨機(jī)變量K2的含義，可以通過(guò)P(K2≥6.635)≈0.01來(lái)評(píng)價(jià)假設(shè)不合理的程度，由實(shí)際計(jì)算出k2≥6.635，說(shuō)明假設(shè)不合理的程度約為99%，即“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可信程度約為99%.(2)在實(shí)際問(wèn)題中要記住以下幾個(gè)常用值：①k＞6.635有99%的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；②k＞3.841有95%的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；③k＞2.706有90%的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；④k≤2.706就認(rèn)為沒(méi)有充分證據(jù)顯示“X與Y有關(guān)系”．(3)反證法原理與獨(dú)立性檢驗(yàn)原理的比較反證法原理：在假設(shè)H0下，如果推出一個(gè)矛盾，就證明了H0不成立．獨(dú)立性檢驗(yàn)原理：在假設(shè)H0下，如果出現(xiàn)一個(gè)與H0相矛盾的小概率事件，就推斷H0不成立，且該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)這個(gè)小概率．3．兩個(gè)分類變量相關(guān)性檢驗(yàn)方法利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來(lái)考察兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，能較精確地給出這種判斷的可靠程度，具體的做法是：①根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需要確定容許推斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤概率的上界α，然后查表確定臨界值k0.②計(jì)算隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k.③如果k≥k0，就推斷“X與Y”有關(guān)系，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)α，否則就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)α的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”，或者在樣本數(shù)據(jù)中沒(méi)有發(fā)現(xiàn)足夠證據(jù)支持結(jié)論“X與Y有關(guān)系”．題型一有關(guān)“相關(guān)的檢驗(yàn)”【例1】某校對(duì)學(xué)生課外活動(dòng)進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果整理成下表： 試用你所學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行分析，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下，認(rèn)為“喜歡體育還是文娛與性別有關(guān)系”？體育文娛總計(jì)男生212344女生62935總計(jì)275279且P(K2≥7.879)≈0.005即我們得到的K2的觀測(cè)值k≈8.106超過(guò)7.879，這就意味著：“喜歡體育還是文娛與性別沒(méi)有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可能性小于0.005，即在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為“喜歡體育還是喜歡文娛與性別有關(guān)”．【變式1】為研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣是否有關(guān)，對(duì)某年級(jí)學(xué)生作調(diào)查得到如下數(shù)據(jù)： 判斷學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)好壞與對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣是否有關(guān)？成績(jī)優(yōu)秀成績(jī)較差總計(jì)興趣濃厚的643094興趣不濃厚的227395總計(jì)86103189題型二有關(guān)“無(wú)關(guān)的檢驗(yàn)”【例2】為了探究學(xué)生選報(bào)文、理科是否與對(duì)外語(yǔ)的興趣有關(guān)，某同學(xué)調(diào)查了361名高二在校學(xué)生，調(diào)查結(jié)果如下：理科對(duì)外語(yǔ)有興趣的有138人，無(wú)興趣的有98人，文科對(duì)外語(yǔ)有興趣的有73人，無(wú)興趣的有52人．試分析學(xué)生選報(bào)文、理科與對(duì)外語(yǔ)的興趣是否有關(guān)？

[思路探索]要在選報(bào)文、理科與對(duì)外語(yǔ)有無(wú)興趣之間有無(wú)關(guān)系作出判斷，可以運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法進(jìn)行判斷．解列出2×2列聯(lián)表理文總計(jì)有興趣13873211無(wú)興趣9852150總計(jì)236125361規(guī)律方法運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法：(1)列出2×2列聯(lián)表，根據(jù)公式計(jì)算K2的觀測(cè)值k.(2)比較k與k0的大小作出結(jié)論．【變式2】某教育機(jī)構(gòu)為了研究人具有大學(xué)?？埔陨蠈W(xué)歷(包括大學(xué)專科)和對(duì)待教育改革態(tài)度的關(guān)系，隨機(jī)抽