考研極限試題

“考研數(shù)學”——做到更好，追求最好南工程考研數(shù)學指導資料之一高等數(shù)學主編：楊降龍楊帆劉建新翁連貴吳業(yè)軍序近幾年來，跟著高等教育的普通化、普及化，相當多的大學本科畢業(yè)生由于就業(yè)的壓力，要想找到自己理想的工作比較困難，這從客觀上促進愈來愈多的大學畢業(yè)生選擇考研持續(xù)進修，希望能學到專業(yè)的知識，獲得更高的學歷，以加強自己的競爭能力；同時還有相當多的往屆大學畢業(yè)生因為各種的原由希望經(jīng)過讀研來更好地實現(xiàn)自我。這些年的統(tǒng)計數(shù)據(jù)表示：應屆與往屆的考生基本各占一半。自1989年起，研究生入學數(shù)學考試推行全國一致命題，其命題的范圍與內(nèi)容嚴格依據(jù)國家考試中心擬訂的“數(shù)學考試綱領”，該考試綱領除了在1996年實行了一次重要的修理之外，從1997年起向來沿用到現(xiàn)在，但時期也進行了幾次小規(guī)模的補充。所以要求考生能實時認識掌握當年數(shù)學考試綱領的變化，并能按綱領指明的“認識”，“理解”，“掌握”的不一樣考試要求系統(tǒng)有要點的復習。往常研究生入學數(shù)學考試與在校大學生的期末考試對比，考試的深度與難度都將大大的增添，命題者常常將考試成績的希望值設定在80（按總分150分）左右命題，試題波及的范圍大，基礎性強，除了需要掌握基本的計算能力、運算技巧外，還需掌握一些綜合剖析技術（包含各學科之間的綜合）。這使得研究生數(shù)學入學考試的競爭力強，裁減率很高。為了我院學生的考研需要，我們編寫了這本指導講義。該講義共分三個部分，編寫時嚴格依據(jù)考試綱領，含蓋面廣、量大，在突出要點的同時，著重于基本觀點的理解及基本運算能力的培育，力爭給同學們做出有效的指導。第一章函數(shù)極限與連續(xù)考試內(nèi)容函數(shù)的觀點及其表示，函數(shù)的有界性、單一性、奇偶性及周期性，復合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)、隱函數(shù)，基本初等函數(shù)的圖形與性質(zhì)，初等函數(shù)的成立，數(shù)列極限與函數(shù)極限的性質(zhì)，函數(shù)的左右極限，無量小與無量大的關系，無量小的性質(zhì)及無量小的比較，極限的四則運算，極限存在的兩個準則，兩個重要極限，函數(shù)連續(xù)的觀點，函數(shù)中斷點的種類，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)?？荚囈?、理解函數(shù)的觀點，掌握函數(shù)的表示法，會成立簡單應用問題中的函數(shù)關系。2、認識函數(shù)的有界性、單一性、奇偶性及周期性的觀點，注意這些問題與其余觀點的聯(lián)合應用。3、理解復合函數(shù)、分段函數(shù)的觀點，認識隱函數(shù)、反函數(shù)的觀點。4、掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。5、理解極限、左右極限的觀點，以及極限存在與左右極限的關系。6、掌握極限的性質(zhì)與四則運算。7、掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限；掌握利用兩個重要極限求極限的方法。8、理解無量小、無量大的觀點；掌握無量小的比較方法，會用等價無量小計算極限。9、掌握利用羅必達法例求不定式極限的方法。10、理解函數(shù)連續(xù)性的觀點，會鑒別函數(shù)中斷點的種類。11、理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最值存在、介值定理），并會利用這些性質(zhì)?！?函數(shù)一、函數(shù)的觀點二、函數(shù)的性質(zhì)：有界性、單一性、奇偶性、周期性；三、函數(shù)的運算（重要考點）：四則運算、復合運算（復合函數(shù)）、逆運算（反函數(shù)）；四、函數(shù)的分類：初等函數(shù)、非初等函數(shù)。例題21、（88）已知f(x)ex,f[(x)]1x，且(x)0，求(x)及定義域。2、（92）已知f(x)sinx,f[(x)]1x2，求(x)定義域。3、設f(1)x(1x21),x0，求f(x)。x4、

f(sinx

1sinx

)

sin2

x

12

x

3，求

f(x)

。2x,x025、（97）g(x)x,x0,求g[f(x)]。2x,x,f(x)0x,x06、設f(x)1x,x0，求f[f(x)]。1,x01,x17、（90）f(x)x，求f[f(x)]。0,1x221x08、求y0x的反函數(shù)。x2112x2,x19、（96）設函數(shù)f(x)x3,1x2，12x16,x21）寫出f(x)的反函數(shù)g(x)的表達式；2）g(x)能否有中斷點、不行導點，如有，指出這些點。1cab，試證：f(x)為奇函數(shù)。10、設f(x)知足：af(x)bf( ),a,b,c為常數(shù)，且xx11、xR,f(x)知足：2f(x)f(1x)x2，求f(x)。12、設f(x)連續(xù)，且sinx，求(),lim( )。f(x)x2limf(x)fxxfxx13、（89）設f(x)連續(xù)，且f(x)1x2f(x)dx，求f(x)。014、（97）設f(x)11x2112f(x)dx，求f(x)dx。1x00§2極限一、定義及性質(zhì)（1）獨一性；（2）局部有界性；（3）局部保號性:（i）若f(x)0,(或f(x)0),且limf(x)A，則A0(或A0);xx0oo（ii）若limf(x)A0(或A0),則U(x0,),xU(x0,)，f(x)0(或f(x)0);xx0二、求極限的方法（要點）1、用定義證明和察看法11如limarctanx;limarctanx;limex;limex0。x2x2x0x02、用極限的四則運算法例和函數(shù)的連續(xù)性3、用兩個重要極限：i)sinx1sinu1）limx（或limx0u0u注意比較以下幾個極限：limsinx0，limsinx1，limxsin11，limxsin10xxx0xxxx0x1)x1)n1ii)lim(1e,lim(1e,lim(1x)xexxnnx011)u一般形式：lim(1u)ue，lim(1eu0uu往常對于含三角函數(shù)的0型極限用i)，對于1型極限用ii)。04、(1)用等價無量小計算極限0時，常有的等價無量小有sinx,tanx,ln(1x),ex1,arcsinx,arctanx~x,1cosx~1x2,(1x)1~x(0).2注意：x的寬泛的代表性sinu,tanu,ln(1u),eu1,arcsinu,arctanu～u1cosu～1u2,(1u)1～u等2有界函數(shù)乘無量小仍為無量小。5、用羅必達法例設（1）limf(x)0()，limF(x)0( )，（xx0或x）（2）在x0的某個去心鄰域內(nèi)（當x充分大時）f(x),F(x)可導，且F(x)0（3）limf(x)A()F(x)則limf(x)limf(x)A()F(x)F(x)基本種類有0和。對于0,，能夠經(jīng)過初等變形轉(zhuǎn)變?yōu)?和。對于1,0,00，00經(jīng)過取對數(shù)再用羅必達法例。6、用變量代換注意：該方法要視極限的詳細形式而定，如：在計算

xx0的極限時，假如被求極限中含有xx0的因式時，能夠令xx0=t；在計算x的極限中，假如被求極限中含有1，則可令1t。在研究xx生數(shù)學入學考試中不常出現(xiàn)7、用極限存在的二個準則夾逼（兩邊夾）定理；單一有界定理：單一遞加（減）有上界（下界）的數(shù)列必有極限。8、利用導數(shù)定義9、用定積分定義當已知函數(shù)f(x)可積時，有nlimni1

f(i)11nf(x)dx，lim0nnni1

f(ia)11f(ax)dx=1f(x)dxann0a0ni)11a1limf(af(ax)dx=f(x)dxn1nn0ailimn(ba)i)baf(x)dxbn1nnai10、用微分和積分中值定理11、用Taylor公式注意：下邊幾類極限一般要議論左右極限：分段函數(shù)在分段點的極限；x0時，與絕對值或開偶次方根相關的極限；1x0時，含有形如axx0因式的極限。三、無量小階的比較設,均為無量小，且不為0，假如：（1）lim/0時，則稱是的高階無量小，或稱是的低階無量小，記0( )。（2）lim/c0時，則稱與為同階無量小，特別當c1時，稱與是等價無量小。（3）lim/kc0時，則稱是的k階無量小。注意：無量小的比較是在數(shù)學考試中一個常?？嫉目键c，特別在數(shù)二、三、四中。其主要考法有：已知函數(shù)f(x)與另一已知函數(shù)g(x)是同階無量小，求f(x)中所含的參數(shù)；當函數(shù)f(x)知足什么條件時，是xn的同階（高階）無量??；將給出的幾個無量小按其階從小到大擺列。例題（一）極限的計算1、（00）設對隨意的x，總有(x)f(x)g(x)，且lim[g(x)(x)]0，則limf(x)：xx（A）存在且等于零，（B）存在但不必定為零，（C）必定不存在，（D）不必定存在。2、（1）limexsinx；（2）limtanxx；x0xcosxsinxx0x2sinx3sinx3）（97）lim0(1cosx)

x2cos1（4）（00）limarctanxx。ln(1x；x)x0ln(12x3)3、（1）lim1x1tanx；（2）（99）lim1tanx1sinx。x01x1sinxx0xln(1x)x214、（1）（00）lim(2exsinx)。（2）（05）（數(shù)三、四）lim1x1(3)x04xx01exx21ex5、（1）lim[(11)xe]x；（2）limx(x2100x)。xxx6、（1）（04）求極限lim13[(2cosx)x1]；（2）（93）lim3x25sin2；x0x3x5x3x7、（1）（99）lim(11)；（2）（94）lim[xx2ln(11)]。x0x2xtanxxx1113x1axbxcx8、（1）（03）lim(cosx)ln(1x2)；（2）lim,(a,b,c0)。x0x3x(xt)f(t)dt9、（05）設函數(shù)f(x)連續(xù)，且f(0)0，求極限lim01)x(x02x0f(xt)dt10、（07）limarctanxsinx=。x0x3（二）對于數(shù)列極限：10、（03）設an,bn,cn均為非負數(shù)列，且liman0,limbn1,limcn，則必有：nnn（A）anbn對隨意n成立；（B）bncn對隨意n成立；（C）極限limancn不存在；（D）極限limbncn不存在。nn11、（98）設數(shù)列xn與yn知足lim(xnyn)0，則以下判斷正確的選項是：n（A）若xn發(fā)散，則yn必發(fā)散，（B）若xn無界，則yn必有界，（C）若xn有界，則yn必為無量小，（D）若1為無量小，則yn必為無量小。xn12、（1）（98）lim(ntan1)n2；（2）limn(nn1)。nnn（3）（02）limln[n2na1]nn(12a)13、x12,x222,...,xn22L2，求limxn。n14、（96）x10,x6x，證明limx存在并求之。1n1nnn15、（97）設a12,an111存在。(an)，證明：limann16、設x12,xn121,(n1)，求limxn。n17、（06）設數(shù)列xn知足0x1，xn1sinxn，n1,2,1證明：（1）limxn存在，并求該極限；xn2（2）計算limxn1nnxn18、lim(111)。n2n2....n12n2n19、（95）lim(12....2n22)。nnn1nn2nnn（三）極限中常數(shù)確實定20、（04）若limsinx，求a、b。x(cosxb)5x0ea21、（1）（97）設x0時，etanxex與xn是同階無量小，則n?（2）（96）設x0時，f(x)ex1ax為x的三階無量小，求a,b。1bx（3）（05數(shù)二）當x0時，(x)kx2與(x)1xarcsinxcosx是等價無量小，則？1cosx2dt，g(x)x5x6，則當x0時f(x)是g(x)的（（4）設f(x)sint）056A：低階無量小B：高階無量小C：等價無量小D：同階但不等價無量?。?）（06）試確立常數(shù)A,B,C，使得（1/3，-2/3，1/6）ex(1BxCx2)1Axo(x3)22、（98）求a,b,c，使limaxsinxc,(c0)。3x0xln(1t)dttatanxb(1cosx)23、（94）設lim2x)d(1ex2x0cln(1)（A）b4d，（B）b4d，

2,a2c20，則有：（C）a4c，（D）a4c。24、（1）（01）設當x0時，(1cosx)ln(1x2)是比xsinxn高階的無量小，而xsinxn是比(ex21)高階的無量小，則正整數(shù)n等于：（A）1，（B）2，（C）3，（D）4。（2（）01）已知f(x)在(,)內(nèi)可導，且limf(x)e，lim(xc)xlim[f(x)f(x1)]，xxxcx求c的值。25、（02）設函數(shù)f(x)在x0的某個領域內(nèi)擁有一階連續(xù)導數(shù)，且f(0)0,f(0)0，若af(h)bf(2h)f(0)在h0時是比h高階的無量小，試確立a、b的值。26、（02）設函數(shù)f(x)在x0的某領域內(nèi)擁有二階連續(xù)導數(shù)，且f(0)0，f(0)0，f(0)0，證明：存在唯一的一組實數(shù)1,2,3，使得當h0時，1f(h)2f(2h)3f(3h)f(0)是比h2高階的無量小。27、lim(3ax3bx2xx)1x3

，求a,b?！?連續(xù)與中斷一、f(x)在點x0連續(xù)（要點）：limf(x)f(x0)或limy0。xx0x0初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的，分段函數(shù)分界點的連續(xù)性要用定義議論。二、若f(x)在點a不連續(xù)，稱a為f(x)的中斷點。中斷點分兩類：第一類中斷點（左、右極限都存在）：可去中斷點（左、右極限都相等）和跳躍中斷點（左、右極限不相等）第二類中斷點：無量中斷點（起碼有一側(cè)極限為無量大），振蕩中斷點等。注意：這一部分在數(shù)三、四中是一個?？嫉目键c，主要以已知連續(xù)性或中斷點的種類確立參數(shù)，計算題中以議論中斷點種類并補充定義使其連續(xù)為主；在數(shù)一、二中一般不獨自以單個觀點出題，往常會跟函數(shù)的成立、極限、微分方程等觀點聯(lián)合考察。三、閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)有以下性質(zhì)：1）最值定理：閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必定取到最大值M和最小值m（必有界）；更一般地：我們能夠獲得以下結(jié)論設f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)，且limf(x)及l(fā)imf(x)都存在，則f(x)在(a,b)內(nèi)有界。xaxb2）介值定理：閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必定取到介于最小值和最大值M之間的任一數(shù)；3）零點定理：設f(x)在[a,b]上連續(xù)，f(a)與f(b)異號，則起碼有一點(a,b)，使得f()0。推行的零點定理：設f(x)在區(qū)間(,)上連續(xù)，且limf(x)()，limf(x)( )，則起碼存xx在一點(,)，使f()0例題1etanxx0arcsinx1（02）設函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)，則a=。2ae2xx0ln(1ax3)x0xarcsinx203x0af(x)在x0a）設函數(shù)f(x)6，問為什么值時，處連續(xù)；為（eaxx2ax1x0xxsin4何值時，x0是f(x)的可去中斷點？3、（00）設函數(shù)f(x)x,)內(nèi)連續(xù)，且limf(x)0，則常數(shù)a、b知足：bx在(aex（A）a0,b0,（B）a0,b0,（C）a0,b0,（D）a0,b0.4、（05）設f(x)1，則（）xex11（A）x0,x1都是f(x)的第一類中斷點。（B）x0,x都是f(x)的第二類中斷點。1（C）x0是f(x)的第二類中斷點,x是f(x)的第二類中斷點1（D）x0是f(x)的第二類中斷點，x是f(x)的第一類中斷點15、（04）設f(x)lim(n21)x，則f(x)的中斷點為x。nnx16、（98）設f(x)lim1x2n，議論f(x)的中斷點，結(jié)論為：n1x（A）不存在中斷點，（B）存在中斷點（C）存在中斷點x0，（D）存在中斷點7、以下命題中正確的選項是（）

1，1。（A）設函數(shù)f(x)在xx0處連續(xù),g(x)在xx0處不連續(xù)，則f(x)+g(x)在xx0處必不連續(xù)（B）f(x)，g(x)都在xx0處不連續(xù)，則f(x)+g(x)在xx0處必不連續(xù)（C）設函數(shù)f(x)在xx0處連續(xù)，g(x)在xx0處不連續(xù)，則f(x)g(x)在xx0處必不連續(xù)（D）f(x)，g(x)都在xx0處不連續(xù)，則f(x)g(x)在xx0處必不連續(xù)x8、（98）求f(x)(1x)tan(x))內(nèi)的中斷點及種類。4在(0,21(exe)tanx,]上的第一類中斷點是x9、（07）函數(shù)f(x)1在[x(exe)(A)0;(B)1;(C);(D)。2210、設f(x)在[a,b]上連續(xù)，且a2f(x)b2，求證：[a,b],使f( )2。11、f(x)在[0,1]上非負連續(xù)，f(0)f(1)0，證明：對lR(0l1),x0[0,1]，使f(x0)f(x0l)。12、證明：方程xpqcosx0恰有一個實根，此中p,q為常數(shù)，且0q113、設f(x)在[a,b]上連續(xù)，ax1x2b，試證，對兩個正數(shù)t1與t2，必定點c[a,b]，使t1f(x1)t2f(x2)(t1t2)f(c)。（此題的證明思想應掌握，并應能將結(jié)論推行到更加一般的狀況）14、（04）函數(shù)f(x)xsin(x2)在以下哪個區(qū)間內(nèi)有界：x(x1)(x2)2（A）（－1，0）；（B）（0，1）；（C）（1，2）；（D）（2，3）。單元練習1、求函數(shù)f(x)sin(x)的定義域2、函數(shù)f(x)ln(1e1x)的定義域為______________。3、若f(x)的定義域為（0，1），則函數(shù)f(ex1)的定義域為___________。4、f(x)xsinxecosx，x(,)是（）（A）有界函數(shù)（B）單一函數(shù)（C）周期函數(shù)（D）偶函數(shù)n2n為奇數(shù)５、xnnn，則當n時，xn是（）1為偶數(shù)n（A）無量大批（B）無量小量（C）有界變量（D）無界變量６、設f(x)是連續(xù)函數(shù)，且f(x)x12f(t)dt，則f(x)＝_____________07、當x0時，以下四個無量小量中，哪一個是比其余三個更高階的無量?。ǎˋ）x2（B）1x21（C）xtanx（D）1cosx28、設f(x)，g(x)在x0的某個領域內(nèi)連續(xù)，且當x0時f(x)是g(x)高階的無量小，則當xxxtg(t)dt的0時，f(t)sintdt是（）00（A）低階無量?。˙）高階無量?。–）同階但不等價無量小（D）等價無量小5x9、(x)0

sintdt，(x)1dt，則當x0時(x)是(x)的（）sinxt0（A）低階無量?。˙）高階無量?。–）同階但不等價無量小（D）等價無量小10、已知limln(1x)(axbx