微積分的創(chuàng)立I

第六章微積分的創(chuàng)立第一節(jié)半個(gè)世紀(jì)的醞釀第二節(jié)牛頓的“流數(shù)術(shù)”?科學(xué)思想與方法論——培根（英，1561-1626）提倡實(shí)驗(yàn)科學(xué)，伽利略（意，1564-1642）尋求基本原理。?天文學(xué)的革命——開(kāi)普勒（德，1571-1630）三定律，伽利略發(fā)明天文望遠(yuǎn)鏡。?力學(xué)體系的誕生——伽利略的自由落體運(yùn)動(dòng)，胡克（英，1635-1703）的引力定律。?化學(xué)確立為科學(xué)——波義耳（英，1627-1691）的樸素元素觀，施塔爾（德，1660-1734）的燃素說(shuō)。?生物學(xué)的孕育——維薩留斯（比，1514-1564）的解剖學(xué)，哈維（英，1578-1657）的血液循環(huán)過(guò)程。近代科學(xué)的興起?16世紀(jì)之前的數(shù)學(xué)基本上是常量數(shù)學(xué)，而近代數(shù)學(xué)的本質(zhì)卻是變量數(shù)學(xué)。16世紀(jì)，對(duì)運(yùn)動(dòng)與變化的研究已經(jīng)變成自然科學(xué)的中心問(wèn)題，這就需要有一種新的數(shù)學(xué)工具，從而導(dǎo)致了變量數(shù)學(xué)也就是近代數(shù)學(xué)的誕生。變量數(shù)學(xué)的第一個(gè)里程碑是解析幾何的發(fā)明，然后就是微積分的發(fā)明。第一節(jié)半個(gè)世紀(jì)的醞釀?微積分的思想萌發(fā)，特別是積分學(xué)，可以追溯到古代，面積和體積的計(jì)算自古以來(lái)就是科學(xué)家們感興趣的課題，在古代希臘、中國(guó)數(shù)學(xué)家們的著述中，不乏用無(wú)窮小過(guò)程計(jì)算特殊形狀的面積、體積和曲線長(zhǎng)的例子。?與積分學(xué)相比而言，微分學(xué)的起源則要晚的多，刺激微積分發(fā)展的主要科學(xué)問(wèn)題是求曲線的切線、求瞬時(shí)變化率以及求函數(shù)的極大極小值等問(wèn)題。第一節(jié)半個(gè)世紀(jì)的醞釀?近代微積分的醞釀，主要是在17世紀(jì)上半葉這個(gè)世紀(jì)。1、1608伽利略制成的第一臺(tái)天文望遠(yuǎn)鏡。2、1619年開(kāi)普勒公布了他的最后一條行星運(yùn)動(dòng)定律。第一節(jié)半個(gè)世紀(jì)的醞釀?開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)三大定律：1、每一個(gè)行星都沿各自的橢圓軌道環(huán)繞太陽(yáng)，而太陽(yáng)則處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)中；2、在相等時(shí)間內(nèi)，太陽(yáng)和運(yùn)動(dòng)中的行星的連線所掃過(guò)的面積都是相等的。3、各個(gè)行星繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)周期的平方和它們的橢圓軌道的半長(zhǎng)軸的立方成正比。?從數(shù)學(xué)上推證開(kāi)普勒的經(jīng)驗(yàn)定律，成為當(dāng)時(shí)自然科學(xué)的中心課題之一。第一節(jié)半個(gè)世紀(jì)的醞釀?1638年《關(guān)于力學(xué)和位置運(yùn)動(dòng)的兩種新科學(xué)的對(duì)話與數(shù)學(xué)證明》伽利略（意，1564-1642）的切線構(gòu)造第一節(jié)半個(gè)世紀(jì)的醞釀?1638年，伽利略（1564—1642）的《關(guān)于兩門(mén)新科學(xué)的對(duì)話》出版。伽利略建立了自由落體定律、動(dòng)量定律等，為動(dòng)力學(xué)奠定了基礎(chǔ)；他認(rèn)識(shí)到彈道的拋物線性質(zhì)，并斷言炮彈的最大射程應(yīng)在發(fā)射角為45°時(shí)達(dá)到，等等。伽利略本人竭力倡導(dǎo)自然科學(xué)的數(shù)學(xué)化，他的著作激起了人們對(duì)他所確立的動(dòng)力學(xué)概念與定律作精確的數(shù)學(xué)表述的巨大熱情。?凡此一切，標(biāo)志著自文藝復(fù)興以來(lái)在資本主義生產(chǎn)力刺激下蓬勃發(fā)展的自然科學(xué)開(kāi)始邁入綜合與突破的階段，而這種綜合與突破所面臨的數(shù)學(xué)困難，使微分學(xué)的基本問(wèn)題空前地成為人們關(guān)注的焦點(diǎn)。第一節(jié)半個(gè)世紀(jì)的醞釀?確定非勻速運(yùn)動(dòng)物體的速度與加速度是瞬時(shí)變化率問(wèn)題的研究成為當(dāng)務(wù)之急；?望遠(yuǎn)鏡的光程設(shè)計(jì)需要確定透鏡曲面上任一點(diǎn)的法線，這又使求任意曲線的切線問(wèn)題變得不可回避；?確定炮彈的最大射程及尋求行星軌道的近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)等涉及的函數(shù)極值問(wèn)題也亟待解決；?行星沿軌道運(yùn)動(dòng)的路程、行星矢徑掃過(guò)的面積以及物體重心與引力的計(jì)算等積分學(xué)的基本問(wèn)題——面積、體積、曲線長(zhǎng)、重心和引力計(jì)算的興起被重新激發(fā)起來(lái)。第一節(jié)半個(gè)世紀(jì)的醞釀?在17世紀(jì)上半葉，幾乎所有的科學(xué)大師都致力于尋求解決這些難題的新的數(shù)學(xué)工具，特別是描述運(yùn)動(dòng)與變化的無(wú)限小算法，并且在相當(dāng)短的時(shí)期內(nèi)取得了迅速的進(jìn)展。1、開(kāi)普勒與旋轉(zhuǎn)體體積無(wú)窮小求和思想第一節(jié)半個(gè)世紀(jì)的醞釀?開(kāi)普勒（德，1571-1630）的旋轉(zhuǎn)體體積第一節(jié)半個(gè)世紀(jì)的醞釀?開(kāi)普勒方法的要旨，是用無(wú)數(shù)個(gè)同維無(wú)限小元素之和來(lái)確定曲邊形的面積及旋轉(zhuǎn)體的體積。?他認(rèn)為球的體積是天數(shù)個(gè)小圓錐的體積的和，這些圓錐的頂點(diǎn)在球心，底面則是球面的一部分；他又把圓錐看成是極薄的圓盤(pán)之和，并由此計(jì)算出它的體積，然后進(jìn)一步證明球的體積是半徑乘以球面面積的三分之一。第一節(jié)半個(gè)世紀(jì)的醞釀?卡瓦列里（意，1598-1647）的不可分量原理無(wú)窮小方法計(jì)算面積和體積2、卡瓦列里不可分量原理第一節(jié)半個(gè)世紀(jì)的醞釀?他在《用新方法促進(jìn)的連續(xù)不可分量的幾何學(xué)》中發(fā)展了系統(tǒng)的不可分量方法。認(rèn)為線是由無(wú)限多個(gè)點(diǎn)組成；面是由無(wú)限多條平行線段組成；立體則是由無(wú)限多個(gè)平行平面組成。他分別把這些元素叫做線、面和體的“不可分量”。?卡瓦列里利用這條原理計(jì)算出許多立體圖形的體積，他對(duì)積分學(xué)創(chuàng)立最重要的貢獻(xiàn)還在于在1639利用平固下的不可分量原理建立了等價(jià)于下列積分式子：

3、笛卡兒的“圓法”笛卡兒（法，1596－1650年，《折光》：折射定律《氣象》：虹的形成原理《幾何學(xué)》：解析幾何思想第一節(jié)半個(gè)世紀(jì)的醞釀?笛卡兒的代數(shù)方法對(duì)推動(dòng)微積分的早期發(fā)展有很大的影響，牛頓就是以笛卡兒圓法為起點(diǎn)而踏上研究微積分的道路的。笛卡兒圓法在確定重根時(shí)會(huì)導(dǎo)致極繁復(fù)的代數(shù)計(jì)算。?1658年荷蘭數(shù)學(xué)家胡德提出構(gòu)造曲線切線的形式法則，稱為“朗德法則”。朗德法則為確定笛卡兒圓法所需的重根提供了機(jī)械的算法，能完成求任何代數(shù)曲線的切線斜率時(shí)所要進(jìn)行的計(jì)算。4、費(fèi)馬求極大值和極小值方法費(fèi)馬（法，1601－1665年）第一節(jié)半個(gè)世紀(jì)的醞釀?費(fèi)馬是在牛頓和萊布尼茲之前，在微分和積分兩個(gè)方面作出貢獻(xiàn)最多的一個(gè)數(shù)學(xué)家。第一節(jié)半個(gè)世紀(jì)的醞釀?費(fèi)馬《求極大值與極小值的方法》寫(xiě)于1636年以前，在求曲線的切線問(wèn)題和函數(shù)的極大，極小值問(wèn)題上做出了重要貢獻(xiàn)。用現(xiàn)代語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，他都是先取增量，而后讓增量趨于0。這正是微分學(xué)的實(shí)質(zhì)之所在。費(fèi)馬還考慮了求拋物體的重心問(wèn)題。第一節(jié)半個(gè)世紀(jì)的醞釀?他是用求極大，極小值的方法得到，而不是用求和的方法。這使他的朋友羅貝瓦爾感到驚奇。但是，他居然沒(méi)有看到這兩類問(wèn)題——微分學(xué)問(wèn)題和積分學(xué)問(wèn)題——的基本聯(lián)系，與微積分基本定理擦肩而過(guò)。?在數(shù)學(xué)史上，拉格朗日，拉普拉斯和傅立葉都曾稱“費(fèi)馬是真正發(fā)明者?！钡此芍赋觯M(fèi)馬不應(yīng)當(dāng)享有這一榮譽(yù)。5、巴羅的“微分三角形”巴羅（英，1630-1677）的特征三角形與曲線切線第一節(jié)半個(gè)世紀(jì)的醞釀?巴羅是牛頓的老師，是英國(guó)劍橋大學(xué)第一任“盧卡斯數(shù)學(xué)教授”，也是英國(guó)皇家學(xué)會(huì)的首批會(huì)員。當(dāng)巴羅發(fā)現(xiàn)牛頓的杰出才能時(shí)，于1669年辭去盧卡斯教授的職位，舉薦自己的學(xué)生——當(dāng)時(shí)才27歲的牛頓來(lái)?yè)?dān)任。6、沃利斯的“無(wú)窮算術(shù)”沃利斯（英，1616-1703年）第一節(jié)半個(gè)世紀(jì)的醞釀?沃利斯的一項(xiàng)重要的研究是計(jì)算四分之一單位圓的面積，并由此得到的無(wú)窮乘積表達(dá)式。第二節(jié)牛頓的“流數(shù)術(shù)”?牛頓（1642—1727）于伽利略去世那年，出生于英格蘭林肯郡伍爾索普村一個(gè)農(nóng)民家庭，是早產(chǎn)的遺腹子，生后勉強(qiáng)存活．少年牛頓不是神童，成績(jī)并不突出，但酷愛(ài)讀書(shū)與制作玩具．17歲時(shí)，牛頓被母親從他就讀的格蘭瑟姆中學(xué)召回田莊務(wù)農(nóng)，但在牛頓的舅舅和格蘭瑟姆中學(xué)校長(zhǎng)史托克斯的竭力勸說(shuō)下，牛頓的母親在九個(gè)月后又允許牛頓返校學(xué)習(xí)。?史托克斯校長(zhǎng)的勸說(shuō)辭中，有一句話：“在繁雜的農(nóng)務(wù)中埋沒(méi)這樣一位天才，對(duì)世界來(lái)說(shuō)將是多么巨大的損失！”第二節(jié)牛頓的“流數(shù)術(shù)”?牛頓于1661年入劍橋大學(xué)三一學(xué)院，受教于巴羅，同時(shí)鉆研伽利賂、開(kāi)普勒、笛卡兒和沃利斯等人的著作。三一學(xué)院至今還保存著牛頓的讀書(shū)筆記，從這些筆記可以看出，就數(shù)學(xué)思想的形成而言，笛卡兒的《幾何學(xué)》和沃利斯的《無(wú)窮算術(shù)》對(duì)他影響最深，正是這兩部著作引導(dǎo)牛頓走上了創(chuàng)立微積分之路。第二節(jié)牛頓的“流數(shù)術(shù)”?1665年8月，劍橋大學(xué)因瘟疫流行而關(guān)閉，牛頓離校返鄉(xiāng)，隨后在家鄉(xiāng)躲避瘟疫的兩年，競(jìng)成為牛頓科學(xué)生涯中的黃金歲月。制定微積分，發(fā)現(xiàn)萬(wàn)有引力和顏色理論……可以說(shuō)牛頓一生大多數(shù)科學(xué)創(chuàng)造的藍(lán)圖，都是在這兩年描繪的。1、流數(shù)術(shù)的初建第二節(jié)牛頓的“流數(shù)術(shù)”?牛頓對(duì)微積分問(wèn)題的研究始于1664年秋，他反復(fù)閱讀笛卡兒《幾何學(xué)》，對(duì)笛卡兒求切線的“圓法”發(fā)生興趣。①就在此時(shí)，牛頓首創(chuàng)了“ο”記號(hào)表示x的無(wú)限小且最終趨于零的增量。②1665年夏至1667年春，牛頓在家鄉(xiāng)躲避瘟疫期間，繼續(xù)探討微積分，取得了突破性進(jìn)展。③1665年11月發(fā)明“正流數(shù)術(shù)”（微分法）。④次年5月又建立了”反流數(shù)術(shù)”（積分法）。⑤1666年10月，牛頓將前兩年的研究成果整理成一篇總結(jié)性論文《流數(shù)簡(jiǎn)論》，《流數(shù)簡(jiǎn)論》是歷史上第一篇系統(tǒng)的微積分文獻(xiàn)。第二節(jié)牛頓的“流數(shù)術(shù)”?《流數(shù)簡(jiǎn)論》標(biāo)志著微積分的誕生。牛頓于1667年春天回到劍橋，對(duì)自己的微積分發(fā)現(xiàn)未作宣揚(yáng)。這年10月當(dāng)選為三一學(xué)院成員，次年又獲碩士學(xué)位，并不是因?yàn)樗谖⒎e分方面的工作，而是因?yàn)樵谕h(yuǎn)鏡制作方面的員獻(xiàn)。但從那時(shí)起直到1693年大約四分之一世紀(jì)的時(shí)間里，牛頓始終不渝努力改進(jìn)、完善自己的微積分學(xué)說(shuō)，先后寫(xiě)成三篇微積分論文：①1669年的《運(yùn)用無(wú)限多項(xiàng)方程的分析》；②1671年的《流數(shù)法與無(wú)窮級(jí)數(shù)》；③1691年的《曲線求積術(shù)》。2、流數(shù)術(shù)的發(fā)展第二節(jié)牛頓的“流數(shù)術(shù)”?《流數(shù)簡(jiǎn)論》反映了牛頓微積分的運(yùn)動(dòng)學(xué)背景，該文以速度形式引進(jìn)了“流數(shù)”（即微商）概念。牛頓在《簡(jiǎn)論》中提出微積分的基本問(wèn)題：①設(shè)有兩個(gè)或更多個(gè)物體在同一時(shí)刻內(nèi)描畫(huà)線段．已知表示這些線段關(guān)系的方程，求它們的速度的關(guān)系。②已知表示線段和運(yùn)動(dòng)速度之比的關(guān)系方程式，求另一線段。第二節(jié)牛頓的“流數(shù)術(shù)”?《簡(jiǎn)論》中對(duì)微積分基本定理的論述不是現(xiàn)代意義下的嚴(yán)格證明，牛頓在后來(lái)的著作中對(duì)微積分基本定理給出了不依賴于運(yùn)動(dòng)學(xué)的較為清楚的證明。?

在牛頓以前，面積總是被看成是無(wú)限小不可分量之和，牛頓則從確定面積的變化率人手通過(guò)反微分計(jì)算面積．前面講過(guò)，面積計(jì)算與求切線問(wèn)題的互逆關(guān)系，以往雖然也曾被少數(shù)人在特殊場(chǎng)合模糊地指出，但牛頓卻能以足夠的敏銳與能力將這種互逆關(guān)系明確地作為一般規(guī)律揭示出來(lái)，并將其作為建立微積分普遍算法的基礎(chǔ)．第二節(jié)牛頓的“流數(shù)術(shù)”?正如牛頓本人在《流數(shù)簡(jiǎn)論》中所說(shuō)：一旦反微分問(wèn)題可解，許多問(wèn)題都將迎刃而解。這樣，牛頓就將自古希臘以來(lái)求解無(wú)限小問(wèn)題的各種特殊技巧統(tǒng)一為兩類普遍的算法——正、反流數(shù)術(shù)亦即微分與積分，并證明了二者的互逆關(guān)系而將這兩類運(yùn)算進(jìn)一步統(tǒng)一成整體。這是他超越前人的功績(jī)，正是在這樣的意義下，我們說(shuō)牛頓發(fā)明了微積分。?

在《流數(shù)簡(jiǎn)論》的其余部分，牛頓將他建立的統(tǒng)一的算法應(yīng)用于求曲線切線、曲率、拐點(diǎn)、曲線求長(zhǎng)、求積、求引力與引力中心等16類問(wèn)題，展示了他的算法的極大的普遍性與系統(tǒng)性。第二節(jié)牛頓的“流數(shù)術(shù)”?牛頓微積分學(xué)說(shuō)最早的公開(kāi)表述出現(xiàn)在1687年出版的力學(xué)名著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》之中。因此《原理》也成為數(shù)學(xué)史上的劃時(shí)代著作。?

《原理》在創(chuàng)導(dǎo)首末比方法的同時(shí)保留了無(wú)限小瞬，這種做法常常被認(rèn)為自相矛盾而引起爭(zhēng)議。實(shí)際上，在牛頓的時(shí)代，建立微積分嚴(yán)格基礎(chǔ)的時(shí)機(jī)尚不成熟，在這樣的條件下，牛頓在大膽創(chuàng)造新算法的同時(shí)，堅(jiān)持對(duì)微積分基礎(chǔ)給出不同解釋，說(shuō)明了他對(duì)微積分基礎(chǔ)所存在的困難的深邃洞察和謹(jǐn)慎態(tài)度。第二節(jié)牛頓的“流數(shù)術(shù)”?

《流數(shù)簡(jiǎn)論》標(biāo)志著微積分的誕生，它在許多方面是不成熟的，牛頓于1667年春天回到劍橋，對(duì)自己的微積分發(fā)現(xiàn)未作宣揚(yáng)．他在這一年10月當(dāng)選為三一學(xué)院成員，次年又獲碩士學(xué)位，并不是因?yàn)樗谖⒎e分方面的工作，而是因?yàn)樵谕h(yuǎn)鏡制作方面的貢獻(xiàn)。從那時(shí)起直到1693年大約四分之一世紀(jì)的時(shí)間里，牛頓始終不渝努力改進(jìn)、完善自己的微積分學(xué)說(shuō)，先后寫(xiě)成了三篇微積分論文，它們分別是：《運(yùn)用無(wú)限多項(xiàng)方程的分析》完成于1669年；《流數(shù)法與無(wú)窮級(jí)數(shù)》完成于1671年；《曲線求積術(shù)》完成于1691年。?

這三篇論文，反映了牛頓微積分學(xué)說(shuō)的發(fā)展過(guò)程，并且可以看到，牛頓對(duì)于微積分的基礎(chǔ)先后給出了不同的解釋。第二節(jié)牛頓的“流數(shù)術(shù)”?第一篇論文《分析學(xué)》是牛頓為了維護(hù)自己在無(wú)窮級(jí)數(shù)方面的優(yōu)先權(quán)而作。1668年蘇格蘭學(xué)者麥卡托發(fā)表了對(duì)數(shù)級(jí)數(shù)的結(jié)果，這促使牛頓公布自己關(guān)于無(wú)窮級(jí)數(shù)的成果．《分析學(xué)》利用這些無(wú)窮級(jí)數(shù)來(lái)計(jì)算流數(shù)、積分以及解方程等，因此《分析學(xué)》體現(xiàn)了牛頓的微積分與無(wú)窮級(jí)數(shù)緊密結(jié)合的特點(diǎn)。?

牛頓接著給出了另一條法則：若y值是若干項(xiàng)之和，那么所求面積就是由其中每一項(xiàng)得到的面積之和，這相當(dāng)于逐項(xiàng)積分定理。第二節(jié)牛頓的“流數(shù)術(shù)”?由上述可知，牛頓《分析學(xué)》以無(wú)限小增量“瞬”為基本概念，但卻回避了《流數(shù)簡(jiǎn)論》中的運(yùn)動(dòng)學(xué)背景而將“瞬”看成是靜止的無(wú)限小量，有時(shí)直截了當(dāng)令其為零，從而帶上了濃厚的不可分量色彩。?

第二篇論文《流數(shù)法》可以看作是1666年《流數(shù)簡(jiǎn)論》的直接發(fā)展。牛頓在其中又恢復(fù)了運(yùn)動(dòng)學(xué)觀點(diǎn)，但對(duì)以物體速度為原型的流數(shù)概念作了進(jìn)一步提煉，并首次正式命名為“流數(shù)”。第二節(jié)牛頓的“流數(shù)術(shù)”?牛頓后來(lái)對(duì)《流數(shù)法》中的流數(shù)概念作了如下解釋：“我把時(shí)間看作是連續(xù)的流動(dòng)或增長(zhǎng)，而其他量則隨著時(shí)間而連續(xù)增長(zhǎng)，我從時(shí)間的流動(dòng)性出發(fā)，把所有其他量的增長(zhǎng)速度稱之為流數(shù)，又從時(shí)間的瞬息性出發(fā)，把任何其他量在瞬息時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的部分稱之為瞬”。第二節(jié)牛頓的“流數(shù)術(shù)”?大約到17世紀(jì)80年代中，牛頓關(guān)于微積分的基礎(chǔ)在觀念上發(fā)生了新的變革，這就是“首末比方法”的提出。首末比法最先以幾何形式在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》一書(shū)中發(fā)布，其詳盡的分析表述則是在其第三篇微積分論文《曲線求積術(shù)》中給出的。第二節(jié)牛頓的“流數(shù)術(shù)”?《曲線求積術(shù)》是牛頓最成熟的微積分著述，牛頓在其中改變了對(duì)無(wú)限小量的依賴并批評(píng)自己過(guò)去那種隨意忽略無(wú)限小瞬o的做法：“在數(shù)學(xué)中，最微小的誤差也不能忽略……在這里，我認(rèn)為數(shù)學(xué)的量不是由非常小的部分組成的，而是用連續(xù)的運(yùn)動(dòng)來(lái)描述的。”?

在此基礎(chǔ)上定義了流數(shù)概念之后，牛頓寫(xiě)道：“流數(shù)之比非常接近于在相等但卻很小的時(shí)間間隔內(nèi)生成的流量的增量比。確切地說(shuō)，它們構(gòu)成增量的最初比?！?

牛頓接著借助于幾何解釋把流數(shù)理解為增量消逝時(shí)獲得的最終比。第二節(jié)牛頓的“流數(shù)術(shù)”?牛頓對(duì)于發(fā)表自己的科學(xué)著作態(tài)度謹(jǐn)慎．除了兩篇光學(xué)著作，他的大多數(shù)著作都是經(jīng)朋友再三催促才拿出來(lái)發(fā)表．上述三篇論文發(fā)表都很晚，其中最先發(fā)表的是最后一篇《曲線求積術(shù)》，1704年載于《光學(xué)》附錄；《分析學(xué)》發(fā)表于1711年；而《流數(shù)法》則遲至1736年才正式發(fā)表，當(dāng)時(shí)牛頓已去世。?牛頓微積分學(xué)說(shuō)最早的公開(kāi)表述出現(xiàn)在1687年出版的力學(xué)名著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》（以下簡(jiǎn)稱《原理》，之中，因此《原理》也成為數(shù)學(xué)史上的劃時(shí)代著作。第二節(jié)牛頓的“流數(shù)術(shù)”?

《原理》中并沒(méi)有明顯的分析形式的微積分。整部著作是以綜合幾何的語(yǔ)言寫(xiě)成的，但牛頓在第一卷第l章開(kāi)頭部分通過(guò)11條引理，建立了“首末比法”。?

盡管《原理》表現(xiàn)出以極限方法作為微積分基礎(chǔ)的強(qiáng)烈傾向，但并不意味著牛頓完全摒棄無(wú)限小觀點(diǎn)。在第二卷第2章中，人們可以看到無(wú)限小瞬方法的陳述：?“任何生成量的瞬，等于生成它的各邊的瞬乘以這些邊的冪指數(shù)及系數(shù)并逐項(xiàng)相加?！贝颂幩^“生成量”，即函數(shù)概念的雛形。三、《原理》與微積分第二節(jié)牛頓的“流數(shù)術(shù)”?牛頓說(shuō)明這類量的例子有積、商、根等，并把它們看成是“變化的和不定的”；生成量的瞬則是指函數(shù)的微分．因此上述陳述實(shí)際上相當(dāng)于一些微分運(yùn)算法則。?

《原理》在創(chuàng)導(dǎo)首末比方法的同時(shí)保留了無(wú)限小瞬，這種做法常常被認(rèn)為自相矛盾而引起爭(zhēng)議。在牛頓的時(shí)代，建立微積分嚴(yán)格基礎(chǔ)的時(shí)機(jī)尚不成熟，在這樣的條件下，牛頓在大膽創(chuàng)造新算法的同時(shí)，堅(jiān)持對(duì)微積分基礎(chǔ)給出不同解釋，說(shuō)明了他對(duì)微積分基礎(chǔ)所存在的困難的深邃洞察和謹(jǐn)慎態(tài)度。第二節(jié)牛頓的“流數(shù)術(shù)”?《原理》被愛(ài)因斯坦盛贊為“無(wú)比輝煌的演繹成就”．全書(shū)從三條基本的力學(xué)定律出發(fā)，運(yùn)用微積分工具，嚴(yán)格地推導(dǎo)證明了包括開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)三大定律、萬(wàn)有引力定律等在內(nèi)的一系列結(jié)論，并且還將微積分應(yīng)用于流體運(yùn)動(dòng)、聲、光、潮汐、彗星乃至宇宙體系，充分顯示了這一新數(shù)學(xué)工具的威力。蘋(píng)果和《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》（英國(guó)，1987）第二節(jié)牛頓的“流數(shù)術(shù)”?牛頓的科學(xué)貢獻(xiàn)是多方面的。①他的代數(shù)名著《普遍算術(shù)》，包含了方程論的許多重要成果，如虛數(shù)根必成對(duì)出現(xiàn)、笛卡兒符號(hào)法則的推廣、根與系數(shù)的冪和公式等等；②幾何杰作《三次曲線枚舉》，首創(chuàng)對(duì)三次曲線的整體分類研究，是解析幾何發(fā)展新的一頁(yè)；③在數(shù)值分析領(lǐng)域，今天任何一本教程都不能不提到牛頓的名字：牛頓—格里高利公式、牛頓—拉弗森公式、牛頓—斯特林公式……牛頓還是幾何概率的最早研究者。第二節(jié)牛頓的“流數(shù)術(shù)”?牛頓是一位科學(xué)巨人，對(duì)此，萊布尼茨有過(guò)高度的評(píng)價(jià)：“綜觀有史以來(lái)的全部數(shù)學(xué)，牛頓做了一多半的工作”。?

拉格朗日對(duì)牛頓的作用和影響也有過(guò)評(píng)語(yǔ)，說(shuō)他是歷史上最有才能的人，也是最幸運(yùn)的人——因?yàn)橛钪骟w系只能被發(fā)現(xiàn)一次。第二節(jié)牛頓的“流數(shù)術(shù)”?與這些頌揚(yáng)相反，牛頓對(duì)他的工作有自己謙虛的評(píng)價(jià)：“我不知道世間把我看成什么樣的人；但是，對(duì)我來(lái)說(shuō)，就像一個(gè)在海邊玩耍的孩子，有時(shí)找到一塊比較平滑的卵石或格外漂亮的貝殼，感到高興，在我面前是完全沒(méi)有被發(fā)現(xiàn)的真理的大海。”第二節(jié)牛頓的“流數(shù)術(shù)”?在尊重他的前輩的成果方面，他這樣解釋：“如果我看得更遠(yuǎn)些，那是因?yàn)槲艺驹诰奕说募绨蛏??！边€有一次，當(dāng)別人問(wèn)他是怎樣作出自己的科學(xué)發(fā)現(xiàn)時(shí)，他的回答是：“心里總是裝著研究的問(wèn)題，等待那最初的一線希望漸漸變成普照一切的光明！”第二節(jié)牛頓的“流數(shù)術(shù)”?據(jù)他的助手回憶，牛頓往往一天伏案工作18小時(shí)左右，并且有超人的集中注意力的能力。有幾個(gè)有趣的故事，說(shuō)的是他如何聚精會(huì)神忘記一切。例如，一次他請(qǐng)一些朋友吃晚飯，他離席去拿一瓶酒，可是他跑回房間竟然把取酒這事忘了，而穿上白衣，進(jìn)了祈禱室。另一次，牛頓的朋友斯圖克利博士請(qǐng)他吃雞肉飯。牛頓出去了一會(huì)兒，但是，桌子上已經(jīng)放好蓋著的盆子，里面是烹調(diào)好的雞肉。牛頓忘記吃飯這事，而超過(guò)了時(shí)間，斯圖克利把雞吃了，然后再把骨頭放在蓋著的盤(pán)子里。牛頓回來(lái)后，發(fā)現(xiàn)只剩下骨頭了。他說(shuō)：“親愛(ài)的：我竟然忘了我們已經(jīng)吃了飯?！边€有一次，他從格蘭瑟姆騎馬回家時(shí)，下了馬步行牽著它上城外的斯皮特門(mén)山。牛頓不知道馬在上山時(shí)滑脫了，到了山頂，準(zhǔn)備再上馬時(shí)，才發(fā)現(xiàn)手里只剩下個(gè)空韁繩。第二節(jié)牛頓的“流數(shù)術(shù)”?關(guān)于牛頓的很多軼事多半是不真實(shí)的，人們常把牛頓偶像化加以神話式的宣揚(yáng)。最突出的例子是英國(guó)詩(shī)人波普（16