線性方程組的發(fā)展人物和應(yīng)用演示文稿

線性方程組的發(fā)展人物和應(yīng)用演示文稿第1頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月九章算術(shù)(約公元263年)第八（一）為：

今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗。問上、中、下禾實(shí)一秉各幾何？方程一詞出現(xiàn)在中國早期的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中，其「卷第八」即名「方程」。如圖：第2頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月答曰：

上禾一秉，九斗、四分斗之一，

中禾一秉，四斗、四分斗之一，

下禾一秉，二斗、四分斗之三。

其實(shí)這僅僅是三元一次方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用：設(shè)：上禾一秉x斗，中禾一秉y斗下禾一秉z斗由題意得：3x+2y+z=392x+3y+z=34X+2y+3z=26第3頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)對(duì)線性方程組解法的改進(jìn)

《九章算術(shù)》中用直除法解線性方程組，比較麻煩．劉徽在方程章的注釋中，對(duì)直除法加以改進(jìn)，創(chuàng)立了互乘相消法．例如方程組

劉徽是這樣解的：(1)×2，(2)×5，得

(4)-(3)，得

21y＝20(下略)．

顯然，這種方法與現(xiàn)代加減消元法一致，不過那時(shí)用的是籌算．劉徽認(rèn)為，這種方法可以推廣到多元，“以小推大，雖四、五行不異也．”他還進(jìn)一步指出，“相消”時(shí)要看兩方程首項(xiàng)系數(shù)的同異，同則相減，異則相加．劉徽的工作，大大減化了線性方程組解法．第4頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月方程理論的初步總結(jié)

劉徽在深入研究《九章算術(shù)》方程章的基礎(chǔ)上，提出了比較系統(tǒng)的方程理論．劉徽所謂“程”是程式或關(guān)系式的意思，相當(dāng)于現(xiàn)在的方程，而“方程”則相當(dāng)于現(xiàn)在的方程組．他說：“二物者再程，三物者三程，皆如物數(shù)程之．并列為行，故謂之方程．”這就是說：“有兩個(gè)所求之物，需列兩個(gè)程；有三個(gè)所求之物，需列三個(gè)程．程的個(gè)數(shù)必須與所求物的個(gè)數(shù)一致．諸程并列，恰成一方形，所以叫方程．”這里的“物”，實(shí)質(zhì)上是未知數(shù)，只是當(dāng)時(shí)尚未抽象出未知數(shù)的明確概念．定義中的“皆如物數(shù)程之”是十分重要的，它與劉徽提出的另一原則“行之左右無所同存”，共同構(gòu)成了方程組有唯一組解的條件．若譯成現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言，這兩條即：方程個(gè)數(shù)必須與未知數(shù)個(gè)數(shù)一致，任意兩個(gè)方程的系數(shù)不能相同或成比例．劉徽還認(rèn)識(shí)到，當(dāng)方程組中方程的個(gè)數(shù)少于所求物個(gè)數(shù)時(shí)，方程組的解不唯一；如果是齊次方程組，則方程組的解可以成比例地?cái)U(kuò)大或縮小，即“舉率以言之”．

第5頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月公元1247年，秦九韶完成了《數(shù)書九章》一書，成為當(dāng)時(shí)中國數(shù)學(xué)的最高峰。在該書中，秦九韶將《九章算術(shù)》中解方程組的“直除法”改進(jìn)為“互乘法”，便線性方程組理論又增加了新內(nèi)容,至少用初等方法解線性方程組理論已由我國數(shù)學(xué)家基本創(chuàng)立完成。大約1678年，德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲首次開始線性方程組在西方的研究。1667年，萊布尼茨發(fā)表了他的第一篇數(shù)學(xué)論文《論組合的藝術(shù)》。這是一篇關(guān)于數(shù)理邏輯的文章，其基本思想是想把理論的真理性論證歸結(jié)于一種計(jì)算的結(jié)果。這篇論文雖不夠成熟，但卻閃耀著創(chuàng)新的智慧和數(shù)學(xué)的才華，后來的一系列工作使他成為數(shù)理邏輯的創(chuàng)始人。第6頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月在17世紀(jì)末，萊布尼茲研究線性方程組的解法時(shí)，開始使用指標(biāo)數(shù)的系統(tǒng)集合來表示方程組的系數(shù)，并得到現(xiàn)在稱為結(jié)式的一個(gè)行列式。大約在1729年，馬克勞林開始用行列式的方法解含2-4個(gè)未知量的線線性方程組，還使用了所謂的克萊姆法則，克萊姆在1750年把這個(gè)法則發(fā)表出來。（其實(shí)創(chuàng)新需要想象力，當(dāng)初中生在做二元一次方程的時(shí)候無聊的把系數(shù)拿出來組合，他就會(huì)發(fā)現(xiàn)只要在這些數(shù)字之間換算就可以解開這個(gè)方程，因?yàn)檫@和方程本身的未知數(shù)并沒有關(guān)系，不論它是x，或y，或其他什么，都不影響答案，推而廣之，是否對(duì)3元4元甚至n元也成立呢？我想當(dāng)時(shí)的科學(xué)家就這么無聊中創(chuàng)時(shí)代的吧。）第7頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月1750年，克拉默在他的代表作《線性代數(shù)分析導(dǎo)言》中，創(chuàng)立了克拉默法則，用它解含有5個(gè)末知量5個(gè)方程的線性方程組。克拉默法則：假若有n個(gè)未知數(shù)，n個(gè)方程組成的方程組：a11X1+a12X2+．．．+a1nXn=b1,a21X1+a22X2+．．．+a2nXn=b2,．．．．．．a(chǎn)n1X1+an2X2+．．．+annXn=bn.或者寫成矩陣形式為Ax=b,其中A為n*n方陣，x為n個(gè)變量構(gòu)成列向量，b為n個(gè)常數(shù)項(xiàng)構(gòu)成列向量。而當(dāng)它的系數(shù)矩陣可逆，或者說對(duì)應(yīng)的行列式|A|不等于0的時(shí)候，它有唯一解xi=|Ai|/|A|,其中Ai〔i=1，2，……，n〕是矩陣A中第i列的a1i，a2i，……ani（即第i列）依次換成b1，b2，……bn所得的矩陣?？巳R姆法則不僅僅適用于實(shí)數(shù)域，它在任何域上面都可以成立。使用克萊姆法則求線性方程組的解的算法時(shí)間復(fù)雜度可以達(dá)到O(n^3)，這個(gè)時(shí)間復(fù)雜度同其它常用的線性方程組求解方法，比如高斯消元法相當(dāng)。第8頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月1764年，法國數(shù)學(xué)家裴蜀(Bezout，1730-1783)研究了含有n個(gè)未知量n個(gè)方程的齊次線性方程組的求解問題，證明了這樣的方程組有非零解的條件是系數(shù)行列式等于零。后來，裴蜀和拉普拉斯(Laplace，1749一1827)等以行列式為工具，給出了齊次線性方程組有非零解的條件。1867年，道奇森（Dodgson，1832-1898）的著作《行列式初等理論》發(fā)表，他證明了含有n個(gè)未知量m個(gè)方程的一般線性方程組有解的充要條件是系數(shù)陣和增廣陣有同階的非零子式，這就是現(xiàn)在的結(jié)論:系數(shù)陣和增廣陣的秩相等。道奇森第9頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月線性方程組的現(xiàn)代應(yīng)用①基爾霍夫電壓定理：沿某個(gè)方向環(huán)繞回路一周的所有電壓降RI的代數(shù)和等于沿同一方向環(huán)繞該回路一周的電源電壓代數(shù)和。11I1-3I2=306I2-3I1-I3=53I3-I1=-25第10頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月I1=3I2=1I3=-8第11頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月②劍橋減肥食譜——用33種食物精確提供31種營(yíng)養(yǎng)，可用線性方程組來計(jì)算。試求三種食品的組合，使得混合食物提供劍橋食譜需求的營(yíng)養(yǎng)。現(xiàn)僅考慮三種食品三種營(yíng)養(yǎng)成分如下表：第12頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月解：設(shè)這三種食物的兩分別為x1，x2，x3（單位：100克）第13頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月為了提供所需要的蛋白質(zhì)、碳水化合物和脂肪總量食譜中需要包含0.277單位的脫脂奶粉，0.392單位的大豆粉，0.233單位的乳清。第14頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月③配平化學(xué)方程式【解】上述化學(xué)反應(yīng)式中包含5種不同的原子（鉀、錳、氧、硫、氫），于是在中為每一種反應(yīng)物和生成物構(gòu)成如下向量：其中x1、x2、x3、x4、x5、x6均為正整數(shù)第15頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月其中，每一個(gè)向量的各個(gè)分量依次表示反應(yīng)物和生成物中鉀、錳、氧、硫、氫的原子數(shù)目。為了配平化學(xué)方程式，系數(shù)必須滿足方程組求解該齊次線性方程組，得到通解：由于化學(xué)方程式通常取最簡(jiǎn)的正整數(shù)，因此在通解中取即得配平后的化學(xué)方程式：第16頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月列昂惕夫的“交換模型”：假設(shè)一個(gè)國家的經(jīng)濟(jì)分為很多行業(yè)，例如制造業(yè)、通訊業(yè)、娛樂業(yè)和服務(wù)行業(yè)等。我們知道每個(gè)部門一年的總產(chǎn)出，并準(zhǔn)確了解其產(chǎn)出如何在經(jīng)濟(jì)的其它部門之間分配或“交易”。把一個(gè)部門產(chǎn)出的總貨幣價(jià)值稱為該產(chǎn)出的價(jià)格（price）.列昂惕夫證明了如下結(jié)論：存在賦給各部門總產(chǎn)出的平衡價(jià)格，使得每個(gè)部門的投入與產(chǎn)出都相等。④經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的平衡

第17頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月【解】從表1-2可以看出，沿列表示每個(gè)行業(yè)的產(chǎn)出分配到何處，沿行表示每個(gè)行業(yè)所需的投入。例如，第1行說明五金化工行業(yè)購買了80%的能源產(chǎn)出、40%的機(jī)械產(chǎn)出以及20%的本行業(yè)產(chǎn)出，由于三個(gè)行業(yè)的總產(chǎn)出價(jià)格分別是p1、p2

、p3，因此五金化工行業(yè)必須分別向三個(gè)行業(yè)支付元0.2p1、0.8p2、0.4p3

。得：第18頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月該方程組的通解為，此即經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的平衡價(jià)格