線性方程組和非線性方程組的迭代法

線性方程組和非線性方程組的迭代法第1頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2定義:是一個(gè)向量,是一個(gè)實(shí)值函數(shù),記為如果這個(gè)函數(shù)滿足下列三條:范數(shù)是絕對(duì)值概念的一種推廣則稱為的范數(shù),上述三個(gè)條件又稱范數(shù)公理.三種常用的向量范數(shù):

第2頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3定理:定義:A是n階方陣,是A的一個(gè)非負(fù)實(shí)值函數(shù),記為則稱為的范數(shù).三種常用的矩陣范數(shù):

如果滿足下列范數(shù)公理稱列范數(shù)稱行范數(shù)第3頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4定義:A是n階方陣,x是n維列向量，如果滿足則稱這種矩陣范數(shù)和向量范數(shù)是相容的。這樣的矩陣范數(shù)稱為矩陣的自然范數(shù)。上述三種常用的矩陣范數(shù)都是自然范數(shù)。

定義:A是n階方陣，A的特征值為：稱為A的譜半徑。定理：對(duì)任意方陣A必有第4頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月5第二節(jié)迭代法的基本概念和收斂條件

線性方程組的迭代法的基本思想與第二章單個(gè)方程的迭代法類似首先將f(x)=Ax–b=0轉(zhuǎn)化為等價(jià)的方程組x=Bx+d，這里B是一個(gè)常數(shù)矩陣，稱為迭代矩陣，x是一個(gè)常向量。對(duì)于給定的初始向量，由迭代格式：定義1(初等變換)就可以構(gòu)造出一個(gè)向量序列使之收斂于方程組的精確解。線性方程組迭代法的收斂定理：定理:對(duì)于方程組x=Bx+d,如果則有以下結(jié)論:該方程組有唯一解;對(duì)于任意給定的初始向量,由上述迭代格式構(gòu)造的向量序列收斂于方程的精確解;有誤差估計(jì)式:第5頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6注意：這個(gè)定理的條件是收斂的充分條件,不是充要條件.

與單個(gè)方程的結(jié)論類似越小,收斂越快.矩陣的等價(jià)定理:由上述迭代格式構(gòu)造的序列收斂的同理,越小,收斂越快.充要條件第6頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月7第三節(jié)解線性方程組的迭代法取初值:行最簡(jiǎn)形,標(biāo)準(zhǔn)形,等價(jià)類一Jacobi迭代法先看一個(gè)例子:第7頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月8由此可得到Jacobi迭代法:行最簡(jiǎn)形,標(biāo)準(zhǔn)形,等價(jià)類

Jacobi迭代法的一般形式在實(shí)際計(jì)算時(shí)常常采用其分量形式:第8頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月9二,初等矩陣定義4(初等矩陣)由上述迭代矩陣的結(jié)構(gòu)可以看出,對(duì)于Jacobi迭代的收斂問題有比較簡(jiǎn)單的判別法:如果方程組的系數(shù)矩陣A是嚴(yán)格主對(duì)角占優(yōu)的,則Jacobi迭代法對(duì)于任意的初始向量都是收斂的.這個(gè)條件等價(jià)于

第9頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月10取初值:行最簡(jiǎn)形,標(biāo)準(zhǔn)形,等價(jià)類二Gauss-Seidel迭代法把Jacobi迭代稍做改進(jìn)得:Gauss-Seidel迭代法是充分利用了有效信息,以改善計(jì)算效果Jacobi迭代需要兩套儲(chǔ)存單元,而G-S迭代只需一套儲(chǔ)存單元.第10頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月11行最簡(jiǎn)形,標(biāo)準(zhǔn)形,等價(jià)類

G-S迭代法的一般形式其分量形式:第11頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月12

對(duì)于G-S迭代的收斂問題也有比較簡(jiǎn)單的判別法:

如果方程組的系數(shù)矩陣A是嚴(yán)格主對(duì)角占優(yōu)的,則G-S迭代法對(duì)于任意的初始向量都是收斂的.如果方程組的系數(shù)矩陣正定,則G-S迭代法對(duì)于任意的初始向量都是收斂的.注意:上述條件都是收斂的充分條件第12頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月13行最簡(jiǎn)形,標(biāo)準(zhǔn)形,等價(jià)類三松弛迭代法這是在G-S迭代基礎(chǔ)上的一種加速方法,它分為迭代和加速兩個(gè)過程迭代:加速:第13頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月14

第四節(jié)解非線性方程組的迭代法一一般迭代法與單個(gè)非線性方程迭代法類似,先化為等價(jià)的方程組第14頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月15

由此就可以建立一個(gè)迭代格式:一般迭代法的收斂條件與單個(gè)方程迭代法的收斂條件很類似稱為迭代向量函數(shù)第15頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月16Th1定理

設(shè)D是n維空間的一個(gè)連通區(qū)域,若迭代向量函數(shù)g(x)滿足:

(1)

(2)g(x)的所有一階偏導(dǎo)數(shù)在D上連續(xù),且一階偏導(dǎo)數(shù)矩陣的范數(shù)小于1,即:則對(duì)于任意給定的D中的初始向量,該迭代法都收斂于方程組的精確解.且范數(shù)越小收斂越快.第16頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月17Th5及推論二Seidel迭代法

Seidel迭代法是一般迭代法的一種改進(jìn),其迭代格式為:一般地第17頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月18利用初等變換求逆矩陣第五節(jié)矩陣的條件數(shù)和病態(tài)方程組的處理第18頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月19例由此可見方程組的系數(shù)矩陣或常數(shù)向量有很小的誤差時(shí),有可能引起解的很大誤差,因此需要討論它們之間的關(guān)系.設(shè)理論方程為Ax=b,若A是精確的,b有一個(gè)偏差方程成為第19頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月20利用初等變換求A-1B若b是精確的,A有一個(gè)偏差方程成為定義:A是n階方陣,正實(shí)數(shù)稱為A的條件數(shù),記為cond(A)當(dāng)條件數(shù)很大時(shí),稱這個(gè)方程組病態(tài),否則稱良態(tài).條件數(shù)與范數(shù)有關(guān),但只有量的關(guān)系,沒有質(zhì)的關(guān)系.對(duì)于病態(tài)方程組的處理:加大字長(zhǎng),減少舍入誤差;改善算法.第20頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月21利用初等變換求CA-1迭代改善算法:設(shè)是方程組Ax=b的一個(gè)近似解