幾種特殊類型函數(shù)的積分-課件

第四節(jié)幾種特殊類型函數(shù)的積分第四章

基本積分法:直接積分法;換元積分法;分部積分法

初等函數(shù)求導(dǎo)初等函數(shù)積分（見(jiàn)本節(jié)第一段）一、有理函數(shù)的積分二、可化為有理函數(shù)的積分舉例本節(jié)內(nèi)容:（IntegrationofseveralkindsofSpecialFunctions）7/25/20231一、有理函數(shù)的積分(IntegrationofRationalFunction)兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù).有理函數(shù)的定義：7/25/20232假定分子與分母之間沒(méi)有公因式這有理函數(shù)是真分式；這有理函數(shù)是假分式；有理函數(shù)有以下性質(zhì)：1）利用多項(xiàng)式除法,假分式可以化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和.例如，我們可將化為多項(xiàng)式與真分式之和7/25/202332）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)真分式總可以分解成幾個(gè)最簡(jiǎn)式之和最簡(jiǎn)分式是下面兩種形式的分式7/25/20234（1）分母中若有因式，則分解后為3）有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：（2）分母中若有因式，其中則分解后為7/25/20235為了便于求積分，必須把真分式化為部分分式之和，同時(shí)要把上面的待定的常數(shù)確定，這種方法叫待定系數(shù)法例17/25/20236例2通分以后比較分子得：7/25/20237我們也可以用賦值法來(lái)得到最簡(jiǎn)分式，比如前面的例2，兩端去分母后得到7/25/20238例3整理得7/25/20239例4求積分解：例27/25/202310例5求積分解：例37/25/202311解:原式思考:

如何求提示:變形方法同例6,并利用第三節(jié)例9.例6求7/25/202312注意：有理函數(shù)的積分就是對(duì)下列三類函數(shù)的積分：多項(xiàng)式；主要討論（3）積分7/25/202313其中并記令7/25/202314第三節(jié)例9結(jié)論：有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).7/25/202315解:說(shuō)明:

將有理函數(shù)分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行,但不一定簡(jiǎn)便,因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求簡(jiǎn)便的方法.例7（補(bǔ)充題）

求7/25/202316解:

原式注意本題技巧按常規(guī)方法較繁例8（補(bǔ)充題）

求點(diǎn)擊看“常規(guī)解法”7/25/202317第一步令比較系數(shù)定a,b,c,d.得第二步化為部分分式.即令比較系數(shù)定A,B,C,D.第三步分項(xiàng)積分.此解法較繁!按常規(guī)方法解:7/25/202318二、可化為有理函數(shù)的積分舉例設(shè)表示三角函數(shù)有理式,令萬(wàn)能代換t的有理函數(shù)的積分1.三角函數(shù)有理式的積分則7/25/2023197/25/202320令7/25/202321例9

（課本例5）求解：令則7/25/202322例10（補(bǔ)充題）

求解：一直做下去，一定可以積出來(lái)，只是太麻煩。由此可以看出，萬(wàn)能代換法不是最簡(jiǎn)方法，能不用盡量不用。7/25/202323解:

說(shuō)明:通常求含的積分時(shí),往往更方便.的有理式用代換例11（1987.III)

求7/25/202324令令被積函數(shù)為簡(jiǎn)單根式的有理式,可通過(guò)根式代換化為有理函數(shù)的積分.例如:令2.簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分7/25/202325解:

令則原式例12（課本例7）求7/25/202326解:為去掉被積函數(shù)分母中的根式,取根指數(shù)2,3的最小公倍數(shù)6,則有原式令例13求（自學(xué)課本例8）7/25/202327解:令則原式例14求（自學(xué)課本例9）7/25/202328本節(jié)小結(jié)1.可積函數(shù)的特殊類型有理函數(shù)分解多項(xiàng)式及部分分式之和三角函數(shù)有理式萬(wàn)能代換簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)三角代換根式代換2.特殊類型的積分按上述方法雖然可以積出,但不一定要注意綜合使用基本積分法,簡(jiǎn)便計(jì)算.簡(jiǎn)便,7/25/202329課后練習(xí)習(xí)題4-4奇數(shù)題思考與練習(xí)1.如何求下列積分更簡(jiǎn)便?解:（1）（2）原式7/25/202330解法1令原式2.求7/25/202331解法2令原式2.求7/25/202332解:因被積函數(shù)關(guān)于cos