第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用14生活中的優(yōu)化問題舉例課件高中數(shù)學(xué)人教a版版選修

生活中的優(yōu)化問題舉例

-----優(yōu)化問題與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用知識回顧一、如何判斷函數(shù)的單調(diào)性？f(x)為增函數(shù)f(x)為減函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=f(x)在

某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，二、如何求函數(shù)的極值與最值？求函數(shù)極值的一般步驟（1）確定定義域（2）求導(dǎo)數(shù)f’(x)（3）求f’(x)=0的根（4）列表（5）判斷求f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最值的步驟：(1)求f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)極值；(2)將y=f(x)的各極值與f(a)、f(b）比較,從而確定函數(shù)的最值。知識背景：生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題.通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大〔小〕值的有力工具，本節(jié)我們運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問題.例1：海報(bào)版面尺寸的設(shè)計(jì)

學(xué)?；虬嗉壟e行活動(dòng)，通常需要張貼海報(bào)進(jìn)行宣傳?，F(xiàn)讓你設(shè)計(jì)一張如圖3.4-1所示的豎向張貼的海報(bào)，要求版心面積為128dm2，上、下兩邊各空2dm，左、右兩邊各空1dm，如何設(shè)計(jì)海報(bào)的尺寸，才能使四周空白面積最??？圖3.4-1

你還有其他解法嗎？因此，x=16是函數(shù)S(x)的極小值，也是最小值點(diǎn)。所以，當(dāng)版心高為16dm，寬為8dm時(shí)，能使四周空白面積最小。解法二：由解法(一)得問題2:

飲料瓶大小對飲料公司利潤有影響嗎?你是否注意過,市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些?你想從數(shù)學(xué)上知道它的道理嗎?是不是飲料瓶越大,飲料公司的利潤越大?規(guī)格（L）21.250.6價(jià)格（元）5.14.52.5例2：飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響下面是某品牌飲料的三種規(guī)格不同的產(chǎn)品，假設(shè)它們的價(jià)格如下表所示，那么〔1〕對消費(fèi)者而言，選擇哪一種更合算呢？〔2〕對制造商而言，哪一種的利潤更大？某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造本錢是0.8pr2分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米，每出售1ml的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半徑為6cm，(１)瓶子半徑多大時(shí)，能使每瓶飲料的利潤最大？(２〕瓶子半徑多大時(shí)，每瓶飲料的利潤最??？r(0，2)2(2，6]f'(r)0f(r)-+減函數(shù)↘增函數(shù)↗-1.07p∴每瓶飲料的利潤：解：由于瓶子的半徑為r，所以每瓶飲料的利潤是當(dāng)半徑r＞２時(shí)，f’(r)>0它表示f(r)單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤越高；當(dāng)半徑r＜２時(shí)，f’(r)<0它表示f(r)單調(diào)遞減，

即半徑越大，利潤越低．1.半徑為２cm時(shí)，利潤最小，這時(shí)表示此種瓶內(nèi)飲料的利潤還不夠瓶子的本錢，此時(shí)利潤是負(fù)值２．半徑為６cm時(shí)，利潤最大問題3、磁盤的最大存儲量問題(1)你知道計(jì)算機(jī)是如何存儲、檢索信息的嗎？(2)你知道磁盤的結(jié)構(gòu)嗎？(3)如何使一個(gè)圓環(huán)狀的磁盤存儲盡可能多的信息？Rr例3：現(xiàn)有一張半徑為R的磁盤，它的存儲區(qū)是半徑介于r與R的環(huán)行區(qū)域。是不是r越小，磁盤的存儲量越大？(2)r為多少時(shí)，磁盤具有最大存儲量〔最外面的磁道不存儲任何信息〕？解：存儲量=磁道數(shù)×每磁道的比特?cái)?shù)設(shè)存儲區(qū)的半徑介于r與R之間，由于磁道之間的寬度必須大于m，且最外面的磁道不存儲任何信息，所以磁道最多可達(dá)又由于每條磁道上的比特?cái)?shù)相同，為獲得最大的存儲量，最內(nèi)一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的比特?cái)?shù)可到達(dá)所以，磁道總存儲量〔1〕它是一個(gè)關(guān)于r的二次函數(shù)，從函數(shù)的解析式上可以判斷，不是r越小，磁盤的存儲量越大.(2)為求的最大值，計(jì)算令解得因此，當(dāng)時(shí)，磁道具有最大的存儲量，最大存儲量為回憶總結(jié):利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的根本思路：優(yōu)化問題用函數(shù)表示數(shù)學(xué)問題用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題優(yōu)化問題的答案建立數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)模型作答解決優(yōu)化問題的方法：通過搜集大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，建立與其相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得到解決．在這個(gè)過程中，導(dǎo)數(shù)往往是一個(gè)有利的工具。練習(xí)1：在邊長為60cm的正方形鐵皮的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個(gè)無蓋的方底箱子，箱底邊長為多少時(shí)，箱子容積最大？最大容積是多少？解:設(shè)箱底邊長為x,那么箱高h(yuǎn)=(60-x)/2.箱子容積V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).令,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)=16000.由題意可知,當(dāng)x過小(接近0)或過大(接近60)時(shí),箱子的容積很小,因此,16000是最大值.答:當(dāng)x=40cm時(shí),箱子容積最大,最大容積是16000cm3.練習(xí)2:某種圓柱形的飲料罐的容積一定時(shí),如何確定它的高與底半徑,使得所用材料最省?Rh解