光信息交換22二維傅立葉變換的特性課件

2.2二維傅立葉變換的特性定義

函數(shù)的傅立葉變換性質(zhì)傅立葉變換基本性質(zhì)和定理特殊函數(shù)1一、二維傅立葉變換定義（1）對于一個二維物函數(shù)g(x,y)，其傅立葉變換也為二維，記為G(u,v)：傅立葉正變換g(x,y)原函數(shù)G(u,v)傅立葉變換函數(shù)2一、二維傅立葉變換定義（2）二維傅立葉逆變換變換存在的客觀條件數(shù)學(xué)表述(絕對可積和狄里赫利條件)g(x,y)在全平面絕對可積在全平面只有有限個間斷點，在有限區(qū)域有有限個極值沒有無窮大間斷點實際上，“物理的真實”是變換存在的充分條件3特例直角坐標系下4光學(xué)傅立葉變換對

Spatialdomainfrequencydomain

空域頻域

spatialvariablespatialfrequencyvariable

空間變量

空間頻率變量

一、二維傅立葉變換定義（3）5一、二維傅立葉變換光學(xué)模擬（4）光學(xué)模擬f1＝f2，4F系統(tǒng)，輸出面上得到等大實像f1f1f2f2yx1uv傅立葉處理器1傅立葉處理器2g(x,y)G(u,v)g(-x,-y)P1P2P36二、函數(shù)的傅立葉變換性質(zhì)函數(shù)的傅立葉變換函數(shù)的積分表達式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其傅立葉變換函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的奇偶性71、函數(shù)的傅立葉變換性質(zhì)(1)函數(shù)常用來代表物理學(xué)中的基本質(zhì)點：點光源，點電荷，點脈沖等函數(shù)沒有通常意義下的函數(shù)值，只與極限和積分相聯(lián)系定義一維對于寬度為a的方波，f(x)xa/2-a/28從極限角度看：從積分角度看：x(x)1、函數(shù)的傅立葉變換性質(zhì)(2)91、二維函數(shù)的傅立葉變換性質(zhì)(3)物理意義：表示點源函數(shù)具有權(quán)重為1的最豐富的頻譜特性。

在光學(xué)中，常用點光源檢測系統(tǒng)的響應(yīng)特性。10光學(xué)函數(shù)傅立葉變換實例1···(x,y)(x,y)(u,v)(u,v)0011

稱為函數(shù)的積分表達式特例：(5)2.函數(shù)的積分表達式123.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其傅立葉變換一維：，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義：(6)例：n=o

n=1n=213由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義：(6)可得函數(shù)導(dǎo)數(shù)的傅立葉變換：(6.5)證：(6)特例n=014推廣：2D函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)及其傅立葉變換偏導(dǎo)數(shù)：特例154.函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的奇偶性函數(shù)是偶函數(shù)：來看一看

是否都是偶函數(shù)：由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義：(6)16結(jié)論：當n=0,2,4,6,時是偶函數(shù)17三、傅立葉變換基本性質(zhì)和定理1.線性性2.縮放性3.位移性4.共軛性5.卷積定理6.函數(shù)導(dǎo)數(shù)的傅立葉變換7.相關(guān)定理8.Parseval

定理9.函數(shù)的矩Moment18(8)1.

線性性（1）

Ag(x,y)+Bh(x,y)AG(u,v)+BH(u,v)

提示：191.

線性性（2）光學(xué)模擬－圖像相減將兩個圖像透明片置于相干光學(xué)處理器中，并在空間頻率平面放一正弦光柵T(p)=(1+sinap)/2輸出平面的光軸衍射出相減了的圖像[f1(α,β)-f2(α,β)]20舉例－圖像相減212.縮放性

g(ax,by)(9)g(-x,-y)(10)稱為

Inversionproperty:反演性意義：空域展寬、頻域收縮；空域收縮、頻域展寬提示：特例：當a=b=-1時223.位移性空域中的位移頻域中的位移23

(1).空域中的位移

提示：-∞∞說明：當物體在空域中有位移時，頻譜的空間位置不變，只存在位相的變化，稱為“相移”24(2).頻域中的位移頻域中的位移由空域中的相移引起的例如：實現(xiàn)空域相移最簡單的方法是改變?nèi)肷浣堑姆较蚋淖內(nèi)肷涔獾慕嵌龋蓪崿F(xiàn)衍射圖像的橫向位移25

4.共軛性提示：(12)26

5.卷積定理提示：定義定理(13)(14)27函數(shù)的卷積(15)(16)證：證：Nextpage28(16)證：由一維開始，應(yīng)用公式（6.5）推廣到二維：應(yīng)用公式（6）29(17)6.函數(shù)導(dǎo)數(shù)的傅立葉變換

證：(16)FF(7)(17)表明函數(shù)微分的傅立葉變換可以轉(zhuǎn)化為乘積運算30

7.相關(guān)定理(維納－辛欽定理)

g(x,y)h(x,y)=g(x,y)g(x,y)=(18)(19)定理(20)(21)定義(Autocorrelation)(Crosscorrelation)31相關(guān)定理的證明第一步第二步F證：F=FF證明時利用了公式（12）：32自相關(guān)定理表明一個函數(shù)的自相關(guān)與其功率譜構(gòu)成傅立葉變換對表示功率譜是空間自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換．空間自相關(guān)函數(shù)表征空間相距為(x,y)的兩點之間場的相似性或關(guān)聯(lián)性．它是場的空間相干性的度量．場的相干性較高時，功率譜的彌散就較小，表示光功率在頻域內(nèi)集中在很小的區(qū)域中(這樣的光波可稱為準單色光)；當場的相干性較差時，功率譜s的彌散就較大，表示光功率在頻域中分布在較大的區(qū)域內(nèi)，包含較寬的波段．338.

Parseval定理Proof：（20）（26）（26）書本改正（24）34物理意義：在物理學(xué)上表述了物空間和象空間的能量守恒原理，也稱瑞利定理表現(xiàn)了能量守恒定律在空域和頻域中表達式的一致性若g(x,y)表光場的復(fù)振幅分布，則|g(x,y)|2代表光強的分布，該積分式代表該光場在空間的總光能；|G(u,v)|2表示單位頻率間隔的光能量，稱功率譜gg則表示功率譜是空間自相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換35

9.函數(shù)的矩Moment

定義

表達式(22)(23b)Mk,l

稱為函數(shù)g(x,y)的(k,l)階矩證明：下頁36

Moment表達式(23b)的證明(7)(6)37四、特殊函數(shù)特殊函數(shù)特殊函數(shù)的傅立葉變換381、特殊函數(shù)（1）391、特殊函數(shù)（2）401、特殊函數(shù)（3）41X>0X=0X<0Theabove2functionsarenon-symmetricalfunctions(33)X≥0X＜0(34)1、特殊函數(shù)（4）42相互關(guān)系：Proof:１／２－１／２１／２１+=(34.5)43

rect(x)

rect(x)*=Hint:

作業(yè)證明：44Proof:2.特殊函數(shù)的傅立葉變換（1）(30)45(31)2.特殊函數(shù)的傅立葉變換（2）(32)462.符號函數(shù)的傅立葉變換（4）Hint:１－１１－１當a=0時g(x)即化為sgn(X)｛X>0X<0a＞0(35)47F｛g(x)｝=當a=0

時F｛g(x)｝=Proof:QED(35)48Solution:FouriertransformofSolution:Seenextpage(36)(37)2.階躍函數(shù)的傅立葉變換（5）49Proof:Step(-

x)x-+g()Step(x-)xStep(x-)x(37)-+g()50

1D周期函數(shù)g(x)x(39)Fouriertransformofg(x):(40)Proofnextpage(38)(FourierSeries)2.周期函數(shù)的傅立葉變換（6）51Proof:周期性函數(shù)的Fouriertransform可表為位于u=nf0(n=整數(shù))的無窮多個加權(quán)的函數(shù)之和

52Definition:

Comb(x)=

x1(41)0Comb(x)定義為一系列間隔為1的函數(shù)所組成的周期函數(shù)2.梳狀函數(shù)的傅立葉變換（7）53Proof:(42)(41),(42)54(43)梳狀函數(shù)comb(x)的傅立葉變換仍為梳狀函數(shù)comb(u)梳狀函數(shù)comb(x)的

傅立葉變換55x0一系列間隔為的函數(shù)所組成的周期函數(shù)g(x)證明：Proof:QEDg(x)可以證明：(43.5)56梳狀函數(shù)的應(yīng)用之一

：復(fù)現(xiàn)復(fù)現(xiàn)函數(shù)x0x00*(44)57梳狀函數(shù)的應(yīng)用之二

：抽樣x抽樣函數(shù)0x