金融經(jīng)濟(jì)學(xué)4套利-期權(quán)-課件

第3章的總結(jié)Arrow-Debreu證券市場(chǎng)參與者的優(yōu)化市場(chǎng)均衡金融資產(chǎn)通過(guò)市場(chǎng)交易定價(jià)，與投資者個(gè)人的偏好無(wú)關(guān)。Arrow-Debreu經(jīng)濟(jì)的一般均衡是存在的；Arrow-Debreu經(jīng)濟(jì)的均衡是帕累托最優(yōu)的。2023/7/26112金融4.1一般市場(chǎng)結(jié)構(gòu)復(fù)合證券：

在多個(gè)狀態(tài)下有支付，且它們的Payoff都可以看成是由AD證券的組合而產(chǎn)生的，如債券、股票有N個(gè)證券的市場(chǎng)結(jié)構(gòu)：2023/7/26212金融4.1一般市場(chǎng)結(jié)構(gòu)（續(xù)）冗余證券定義：支付可以表示成其它證券支付的線性組合的證券。由原來(lái)N只證券的組合生成的任意支付可由刪除冗余證券之后的N-1只證券的組合生成。存在市場(chǎng)摩擦：冗余證券的準(zhǔn)確定義應(yīng)該是它的存在與否不影響均衡配置。

2023/7/26312金融4.1一般市場(chǎng)結(jié)構(gòu)（續(xù)）證券市場(chǎng)的不同描述方式X只包括具有線性獨(dú)立的證券（忽略市場(chǎng)摩擦）秩：rank(X)=min{N,Ω}=N。2023/7/26412金融4.1一般市場(chǎng)結(jié)構(gòu)（續(xù)）證券市場(chǎng)的不同描述方式2023/7/26512金融4.1一般市場(chǎng)結(jié)構(gòu)（續(xù)）定理4.1

當(dāng)且僅當(dāng)具有線性獨(dú)立支付的證券數(shù)等于狀態(tài)數(shù)時(shí)證券市場(chǎng)是完備的。

此時(shí)稱經(jīng)濟(jì)中的不確定性可由市場(chǎng)中的證券生成span

當(dāng)rank(X)=N=Ω時(shí)，X是可逆方陣，可以用復(fù)合證券復(fù)制所有的A-D證券（滿秩市場(chǎng)與A-D市場(chǎng)等價(jià)）：2023/7/26612金融4.2套利第1類套利：獲得當(dāng)前收益卻不承擔(dān)任何未來(lái)責(zé)任。第2類套利：初始投資為0卻得到正的未來(lái)收益。套利組合：初始投資為0的組合。第3類套利：是第1類和第2類套利的結(jié)合。2023/7/26712金融4.2套利（續(xù)）例4.1P54三種證券的價(jià)格與支付分別為：A：1，[1;1;1]B：1，[0;2;2]C：2，[2;0;0]組合1：[2;-1;-1]組合2：[0;1;1]組合3：[2;0;-1]2023/7/26812金融4.2套利（續(xù)）套利的界定：只依賴公共信息，即價(jià)格與終期收支；不依賴狀態(tài)概率；任何人都可利用套利機(jī)會(huì)；利用新生產(chǎn)技術(shù)或私有信息獲利，不屬于套利。2023/7/26912金融4.3無(wú)套利原理定理4.2

在市場(chǎng)均衡中不存在套利機(jī)會(huì)。定義4.2無(wú)套利原理：證券市場(chǎng)中不存在套利機(jī)會(huì)前提假設(shè)：市場(chǎng)參與者的不滿足性；

市場(chǎng)無(wú)摩擦。2023/7/261012金融4.4資產(chǎn)定價(jià)基本原理資產(chǎn)定價(jià)關(guān)系或模型：從證券的支付X到其價(jià)格S的映射S=V(X)其中，V(·)稱為定價(jià)算子pricingoperator或估價(jià)算子valuationoperator算子:映射或函數(shù)2023/7/261112金融4.4資產(chǎn)定價(jià)基本原理（續(xù)）定價(jià)算子的性質(zhì)定理4.3（一價(jià)定律）：

兩個(gè)具有相同支付的證券或組合的價(jià)格必然相同。即：如果x=y，則V(x)=V(y)。定理4.4：

支付為正的證券或組合的價(jià)格為正。即：如果x>0，則V(x)>V(0)=0。2023/7/261212金融4.4資產(chǎn)定價(jià)基本原理（續(xù)）定價(jià)算子的性質(zhì)定理4.6意味著：

，?為正向量。2023/7/261312金融4.4資產(chǎn)定價(jià)基本原理（續(xù)）資產(chǎn)定價(jià)基本定理定理4.7(fundamentaltheoremofassetpricing)：

證券市場(chǎng)無(wú)套利機(jī)會(huì)的充要條件為存在?>>0使得：2023/7/261412金融定理4.7的證明證明定理4.7，即需要證明集合A為空集的充要條件為存在?>>0使得：充分性：假設(shè)對(duì)所有的交易證券以及它們的組合都成立。那么V(0)=0，且對(duì)于X>0,V(X)>0.排除了套利機(jī)會(huì)，A為空。必要性：應(yīng)用Farkas-Stiemke引理（參考資料：金融經(jīng)濟(jì)學(xué)原理/斯蒂芬.F.勒羅伊StephenF.LeRoy,簡(jiǎn).沃納JanWerner）。2023/7/261512金融2023/7/261612金融4.4資產(chǎn)定價(jià)基本原理（續(xù)）定價(jià)算子的性質(zhì)定理4.8:在一個(gè)完備市場(chǎng)中，狀態(tài)價(jià)格向量是唯一的。證明：設(shè)組合θ復(fù)制ω態(tài)索取權(quán)，則其成本STθ=?是確定的，即ω態(tài)的狀態(tài)價(jià)格是唯一的。2023/7/261712金融4.5風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)和鞅無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券：

Payoff為1的證券無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率：1單位無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券投資獲得的凈支付或收益率rateofreturn貨幣的時(shí)間價(jià)值：以今天的1單位資源交換未來(lái)確定的資源時(shí)市場(chǎng)提供的回報(bào)2023/7/261812金融4.5風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)和鞅（續(xù)）無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券定價(jià)成本（定價(jià)）：無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率：折現(xiàn)因子：2023/7/261912金融4.5風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)和鞅（續(xù)）任意證券定價(jià)：風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度Q：風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)：2023/7/262012金融4.5風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)和鞅（續(xù)）例4.31期有兩個(gè)概率相等的狀態(tài)，a和b。市場(chǎng)上有兩只證券，價(jià)格與支付為：1，[1；1]及0.5，[2；0]解：1(1+r)=1,?a+?b=1

2?a=0.5Q={1/4,3/4}證券2的價(jià)格：(1/4)2+(3/4)0=0.5,但是(1/2)2+(1/2)0=1（在P下不正確）2023/7/262112金融4.5風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)和鞅（續(xù)）風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)公式對(duì)新定義的測(cè)度Q而不是實(shí)際的概率測(cè)度P取期望值P:反映各狀態(tài)的實(shí)際概率Q:由狀態(tài)價(jià)格定義，表示的是規(guī)范化的狀態(tài)價(jià)格向量，因而它實(shí)際上已經(jīng)把證券的風(fēng)險(xiǎn)考慮進(jìn)去了風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)公式表達(dá)的是定價(jià)關(guān)系，而不是實(shí)際的概率預(yù)期2023/7/262212金融4.5風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)和鞅（續(xù)）普通價(jià)格以0期消費(fèi)品為計(jì)量單位以1單位的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券作為價(jià)格的計(jì)量單位:2023/7/262312金融4.5風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)和鞅（續(xù)）如果以債券價(jià)格為計(jì)量單位，證券價(jià)格在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度Q下是鞅過(guò)程；Q也稱為等價(jià)鞅測(cè)度equivalentmartingalemeasure；等價(jià)是說(shuō)Q與真實(shí)的概率測(cè)度P等價(jià)：給定兩個(gè)概率測(cè)度，如果他們有相同的0概率集，則稱這兩個(gè)概率測(cè)度是等價(jià)的。2023/7/262412金融總結(jié)重點(diǎn)：套利

風(fēng)險(xiǎn)中性無(wú)套利原理定價(jià)算子資產(chǎn)定價(jià)基本定理擴(kuò)展知識(shí)點(diǎn)：鞅2023/7/262512金融4.4資產(chǎn)定價(jià)基本原理（續(xù)）資產(chǎn)定價(jià)基本定理定理4.7(fundamentaltheoremofassetpricing)：

證券市場(chǎng)無(wú)套利機(jī)會(huì)的充要條件為存在?>>0使得：2023/7/262612金融定理4.7的證明證明定理4.7，即需要證明集合A為空集的充要條件為存在?>>0使得：充分性：假設(shè)對(duì)所有的交易證券以及它們的組合都成立。那么V(0)=0，且對(duì)于X>0,V(X)>0.排除了套利機(jī)會(huì)，A為空。必要性：應(yīng)用Farkas-Stiemke引理（參考資料：金融經(jīng)濟(jì)學(xué)原理/斯蒂芬.F.勒羅伊StephenF.LeRoy,簡(jiǎn).沃納JanWerner）。2023/7/262712金融2023/7/262812金融金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第5章

期權(quán)：一個(gè)套利定價(jià)的例子電話箱地址：huoyanli2019163辦公地點(diǎn)：系辦公室305每周15:20-16:502023/7/262912金融本章概要本章知識(shí)點(diǎn)：期權(quán)—定義，分類，價(jià)格。提前執(zhí)行—股利，分析股利對(duì)執(zhí)行的影響二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)模型市場(chǎng)的完全化擴(kuò)展知識(shí)點(diǎn)：Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式鷹式差價(jià)期權(quán)（condorspreads）2023/7/263012金融5.1期權(quán)期權(quán)：在未來(lái)一定時(shí)期，以約定價(jià)格

對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)進(jìn)行買賣的權(quán)利。期權(quán)分類：執(zhí)行時(shí)間：歐式期權(quán)，美式期權(quán)；權(quán)利：買權(quán)（call，看漲期權(quán)），

賣權(quán)（put，看跌期權(quán)）。相關(guān)術(shù)語(yǔ)：

到期日，執(zhí)行價(jià)格，標(biāo)的資產(chǎn)。2023/7/263112金融5.1期權(quán)（續(xù)）期權(quán)在1期的支付

XX0KS0KS

看漲期權(quán)看跌期權(quán)X：期權(quán)的支付；S：標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格；K：執(zhí)行價(jià)格。2023/7/263212金融5.1期權(quán)（續(xù)）期權(quán)的價(jià)格

是標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)在價(jià)格S0和執(zhí)行價(jià)格K的函數(shù)。內(nèi)在價(jià)值（intrinsicvalue，內(nèi)涵價(jià)值）

指立即履行合約時(shí)可獲得的總利潤(rùn)。實(shí)值（>0），需值（<0），平值（=0）?？礉q期權(quán)：S-K；看跌期權(quán)：K-S。時(shí)間價(jià)值：期權(quán)價(jià)格－內(nèi)在價(jià)值隨著到期日的臨近而減少，到期日的時(shí)間價(jià)值為零看漲期權(quán)看跌期權(quán)歐式期權(quán)c(S0,K)p(S0,K)美式期權(quán)C(S0,K)P(S0,K)2023/7/263312金融5.1期權(quán)（續(xù)）擴(kuò)展知識(shí)點(diǎn)：期權(quán)的立權(quán)人(optionwriter)：期權(quán)的賣出者期權(quán)是買、賣者之間的零和交易期權(quán)的凈頭寸恒為0衍生證券(derivativesecurity)：凈供給為0；支付由其他證券的價(jià)格或支付決定。2023/7/263412金融5.2期權(quán)價(jià)格的性質(zhì)和界期權(quán)價(jià)格的影響因素：1.標(biāo)的資產(chǎn)

價(jià)格S和支付X2.期權(quán)的合同條款

到期日(t=1)和執(zhí)行價(jià)格K，提前執(zhí)行3.利率

貨幣的時(shí)間價(jià)值2023/7/263512金融由無(wú)套利原理有：定理5.1：c(S,K)和p(S,K)是非負(fù)的。定理5.2：c(S,K)對(duì)K非增，p(S,K)對(duì)K非減。定理5.3：c(S,K)和p(S,K)是K的凸函數(shù)。定理5.4：資產(chǎn)組合的期權(quán)的價(jià)值小于組合中各項(xiàng)資產(chǎn)的期權(quán)的組合的價(jià)值。定理5.5：S>=c(S,K)。定理5.6：如果存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券，其收益率也就是利率為rF，那么定理5.7：如果存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券且利率為rF，那么2023/7/263612金融利用定價(jià)算子V（）的性質(zhì)證明定理5.5-5.72023/7/263712金融利用定價(jià)算子V（）的性質(zhì)證明定理5.5-5.72023/7/263812金融5.3美式期權(quán)以及提前執(zhí)行美式期權(quán)：到期日之前的任何時(shí)刻隨時(shí)都可以行權(quán)。期權(quán)持有者只有在他更優(yōu)時(shí)才提前執(zhí)行美式期權(quán)的價(jià)格永遠(yuǎn)不會(huì)低于相應(yīng)的歐式期權(quán)的價(jià)格：影響提前執(zhí)行的因素：標(biāo)的資產(chǎn)支付的股利2023/7/263912金融5.3美式期權(quán)以及提前執(zhí)行（續(xù)）無(wú)股利時(shí)的提前執(zhí)行：美式看漲期權(quán)的支付：貨幣的時(shí)間價(jià)值？考慮到期執(zhí)行的現(xiàn)在價(jià)值到期日不執(zhí)行的選擇權(quán)結(jié)論：提前執(zhí)行看漲期權(quán)所得到的價(jià)值不會(huì)高于把它當(dāng)作歐式看漲期權(quán)賣出所得的價(jià)值。2023/7/264012金融5.3美式期權(quán)以及提前執(zhí)行（續(xù)）無(wú)股利時(shí)的提前執(zhí)行：美式看跌期權(quán)的支付：K-S考慮兩種情況下的價(jià)值：max(K-S,0)，提前執(zhí)行能夠?qū)崿F(xiàn)的價(jià)值p(S,K)，不執(zhí)行，持有這份選擇權(quán)的價(jià)值最優(yōu)執(zhí)行策略：Max(K-S,p(S,K))結(jié)論：對(duì)于美式看跌期權(quán)，沒(méi)有股利，

提前執(zhí)行可以是最優(yōu)的.2023/7/264112金融5.3美式期權(quán)以及提前執(zhí)行（續(xù)）有股利時(shí)的提前執(zhí)行：假設(shè)股票在0期時(shí)支付股利D，S為發(fā)放股利后的股價(jià)美式看漲期權(quán)持有者在0期有兩個(gè)選擇：支付K執(zhí)行期權(quán)，獲得股利后馬上拋出股票，得到D+S-K的收益持有期權(quán)直至1期（到期日）最優(yōu)執(zhí)行策略為：2023/7/264212金融5.3美式期權(quán)以及提前執(zhí)行（續(xù)）有股利時(shí)的提前執(zhí)行：假設(shè)股票在0期時(shí)支付股利D，S為發(fā)放股利后的股價(jià)美式看跌期權(quán)持有者在0期有兩個(gè)選擇：以執(zhí)行價(jià)格K出售股票，得到K-D-S的收益持有期權(quán)直至1期（到期日）最優(yōu)執(zhí)行策略為：2023/7/264312金融5.3美式期權(quán)以及提前執(zhí)行（續(xù)）股利促使持有者，提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)，推遲執(zhí)行美式看跌期權(quán)。在有股利時(shí)，看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的平價(jià)關(guān)系：2023/7/264412金融5.4完全市場(chǎng)中的期權(quán)定價(jià)在風(fēng)險(xiǎn)中性的環(huán)境下，金融資產(chǎn)的定價(jià)是未來(lái)收入現(xiàn)金流的預(yù)期值用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率折現(xiàn)后的現(xiàn)值。2023/7/264512金融5.4完全市場(chǎng)中的期權(quán)定價(jià)（續(xù)）二叉樹(shù)過(guò)程股票無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券uSp1pSB

dS1-p11-p由資產(chǎn)定價(jià)基本定理，存在狀態(tài)價(jià)格向量，使得2023/7/264612金融5.4完全市場(chǎng)中的期權(quán)定價(jià)（續(xù)）二叉樹(shù)過(guò)程2023/7/264712金融例：用二叉樹(shù)法對(duì)看漲期權(quán)定價(jià)假設(shè)期權(quán)的到期時(shí)間為t=1，S=100，u=1.1，d=0.9，K=105，rF=0.05,求c？2023/7/264812金融5.5期權(quán)與市場(chǎng)完全化如果證券市場(chǎng)是完備的，可以用原生證券primarysecurity即標(biāo)的證券和債券的價(jià)格為期權(quán)定價(jià)。如果市場(chǎng)是不完備的，則期權(quán)可以增進(jìn)市場(chǎng)的完備性，甚至使市場(chǎng)完備化。完備市場(chǎng)有助于資源的有效配置。2023/7/264912金融5.5期權(quán)與市場(chǎng)完全化（續(xù)）蝴蝶頭寸由同一標(biāo)的證券上的、到期日相同但執(zhí)行價(jià)格不同的歐式看漲期權(quán)構(gòu)成的組合買入1份，執(zhí)行價(jià)格為K-δ賣出2份，執(zhí)行價(jià)格為K買入1份，執(zhí)行價(jià)格為K+δ1期支付2023/7/265012金融5.5期權(quán)與市場(chǎng)完全化（續(xù)）鷹式頭寸由同一標(biāo)的證券上的、到期日相同但執(zhí)行價(jià)格不同的歐式看漲期權(quán)構(gòu)成的組合買入1份，執(zhí)行價(jià)格為K-δ-0.5ε賣出1份，執(zhí)行價(jià)格為K-0.5ε賣出1份，執(zhí)行價(jià)格為K+0.5ε買入1份，執(zhí)行價(jià)格為K+δ+0.5ε1期支付2023/7/265112金融5.5期權(quán)與市場(chǎng)完全化（續(xù)）狀態(tài)指數(shù)證券state-indexsecurity：具有狀態(tài)有別收支（分離支付）的證券2023/7/265212金融5.5期權(quán)與市場(chǎng)完全化（續(xù)）考慮如下Ω只證券組成的組合：買入1份狀態(tài)指數(shù)證券買入以狀態(tài)指數(shù)證券為標(biāo)的資產(chǎn)、執(zhí)行價(jià)格分別為確X1，X2，…，XΩ-1的歐式看漲期權(quán)（每種期權(quán)買入1份，共Ω-1份）支付矩陣2023/7/265312金融5.5期權(quán)與市場(chǎng)完全化（續(xù)）X滿秩，市場(chǎng)是完備的。以狀態(tài)指數(shù)證券為標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)組合可以復(fù)制AD證券。假設(shè)在狀態(tài)1，2，…，Ω時(shí)狀態(tài)指數(shù)證券的支付分別為δ，2δ，3δ，…，Ωδ考慮以狀指數(shù)引證券為標(biāo)的資產(chǎn)、執(zhí)行價(jià)格分別為0，δ，2δ，3δ，…，（Ω-1）δ的看漲期權(quán)組合。其支付矩陣為：2023/7/265412金融5.5期權(quán)與市場(chǎng)完全化（續(xù)）執(zhí)行價(jià)(k-1)δ，kδ，(k+1)δ蝴蝶頭寸復(fù)制狀態(tài)k的AD證券，payoff為δ狀態(tài)指數(shù)證券的期權(quán)組合：可復(fù)制任意AD證券AD證券的狀態(tài)價(jià)格：期權(quán)組合的現(xiàn)價(jià)AD證券可以以二階差分形式的蝶式期權(quán)來(lái)復(fù)制2023/7/265512金融擴(kuò)展知識(shí)2023/7/265612金融擴(kuò)展知識(shí)Black-Scholes公式t：到期時(shí)間；K:執(zhí)行價(jià)格；r：無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率；S：股票的現(xiàn)價(jià)；

：股價(jià)波動(dòng)率；N():標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)2023/7/265712金融例：假設(shè)當(dāng)前股票價(jià)格為35，執(zhí)行價(jià)格為35，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為0.1,到期時(shí)間為1年，波動(dòng)率為0.2。求看漲期權(quán)的價(jià)格？4.62023/7/265812金融總結(jié)2023/7/265912金融消費(fèi)集C非空，總有消費(fèi)計(jì)劃存在；閉性，任何一個(gè)消費(fèi)計(jì)劃都可看作消費(fèi)集X中的一個(gè)點(diǎn)，任何一串點(diǎn)的極限也是消費(fèi)集X中的一個(gè)消費(fèi)計(jì)劃。凸性，消費(fèi)集X中的任何兩個(gè)消費(fèi)計(jì)劃c1和c2的任意凸組合都是消費(fèi)集X中的消費(fèi)計(jì)劃。不消費(fèi)也是一種消費(fèi)計(jì)劃，。2023/7/266012金融偏好關(guān)系必須滿足如下選擇公理1.完備性，消費(fèi)集X中的任何兩個(gè)消費(fèi)計(jì)劃是可以比較好壞的2.反身性，任何消費(fèi)計(jì)劃都不比自己差3.傳遞性，不會(huì)發(fā)生循環(huán)的邏輯選擇4.連續(xù)性，偏好關(guān)系不會(huì)發(fā)生突然的逆轉(zhuǎn)。如果有