長(zhǎng)春計(jì)算教學(xué)講稿

小學(xué)數(shù)與運(yùn)算的核心問題研究

吉林省教育學(xué)院何鳳波hfb103975@美國學(xué)生如何計(jì)算

5×7=3520÷4=5運(yùn)算能力定位：運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問題。一、算理和方法二、運(yùn)算的意義三、解決問題四、關(guān)于數(shù)的認(rèn)識(shí)一、算理和方法數(shù)計(jì)算的本質(zhì)是數(shù)單位的四則運(yùn)算。15+26=？算理：10+20=30（計(jì)數(shù)單位）5+6=5+5+1=10+1（湊十法的道理）30+10+1=4115+26

4110+20+（10+1）=4116×310×3=306×3=18=10+830+10+8=4816×3

4845÷3平均分30÷3=1045-30=1515÷3=515個(gè)1平均分成3份10+5=15教材力求呈現(xiàn)出上述過程1、依據(jù)現(xiàn)實(shí)性情境，運(yùn)用小棒、方塊等直觀模型理解算理。例：分桃子（三年下冊(cè)）算式表達(dá)豎式每一步的意思2、展示“原始”計(jì)算過程

0÷3=0猴子的煩惱視頻

P101÷3=0……1先呈現(xiàn)學(xué)生自然的算法，再進(jìn)行“簡(jiǎn)寫”。幫助學(xué)生理解算理。。2÷4=0……22÷5=0……2

3、在練習(xí)題中設(shè)計(jì)了“分一分”“圈一圈”等活動(dòng)，說豎式每一步的意思。例P7的1題。理解算理、掌握方法運(yùn)用生活實(shí)例、直觀模型幫助理解豎式的計(jì)算過程10個(gè)10個(gè)10個(gè)10個(gè)10個(gè)10個(gè)68÷2＝34（個(gè)）60÷2＝308÷2＝430＋4＝34答：每只猴子分到34個(gè)。68個(gè)10個(gè)10個(gè)10個(gè)10個(gè)10個(gè)10個(gè)68÷2＝34（個(gè)）628368480十位個(gè)位61862842448480888600÷6＝100240÷6＝4048÷6＝8100＋40＋8＝14814×12隊(duì)列表演隊(duì)列表演一視頻小數(shù)加減法為什么要小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊？1.

5+2.6

4.1單元具體內(nèi)容介紹四下：

“小數(shù)乘法”單元是如何幫助學(xué)生理解算理，減少錯(cuò)誤的？0.2×0.3為什么越乘越?。勘举|(zhì)上是:0.1×0.1=0.010.2×0.3=(2×0.1)×(3×0.1)=6×0.1×0.1=0.06小數(shù)乘法回歸到整數(shù)乘法

基于前面的探索，會(huì)把小數(shù)的乘法轉(zhuǎn)化為整數(shù)的乘法，并能根據(jù)乘數(shù)的小數(shù)位數(shù)來確定積的小數(shù)點(diǎn)位置。借助直觀模型促反思

問題問題與討論在分?jǐn)?shù)運(yùn)算的學(xué)習(xí)中，教科書如何借助直觀模型，突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)體驗(yàn)？

通分的本質(zhì)意義異分母分?jǐn)?shù)加減法，要求通分

1/3+1/21/3，1/2是計(jì)數(shù)單位=2/6+3/61/6是計(jì)數(shù)單位=5/6本質(zhì)上統(tǒng)一計(jì)數(shù)單位也就是說相同計(jì)數(shù)單位上的數(shù)相加減。

分?jǐn)?shù)乘法為什么分?jǐn)?shù)乘整數(shù),運(yùn)算法則是分子乘這個(gè)整數(shù)?3個(gè)1/7的2倍是6個(gè)1/7問題與討論

●問題2：根據(jù)算式的意義，運(yùn)用直觀操作的方式展開了探索過程，突出關(guān)鍵步驟的理解。分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)問題與討論

分?jǐn)?shù)除以整數(shù)

●問題2：借助面積模型，可以得出結(jié)果是。笑笑用算式記錄了直觀運(yùn)算的過程和結(jié)果，明確了“平均分成3份”與“的”之間的關(guān)系，溝通了分?jǐn)?shù)除法與乘法的聯(lián)系。分?jǐn)?shù)乘法解決問題二、運(yùn)算的意義討論意義1/2×66×1/2分?jǐn)?shù)乘法一視頻關(guān)于乘法的意義：

2×3=6意義：即可以表示2個(gè)3，也可以表示3個(gè)2。2+2+2=6○○○○○○３個(gè)２3+3=6○○○○○○２個(gè)３除法意義

實(shí)例3個(gè)小朋友分36塊糖果，每人能分到幾塊？

學(xué)生探索出來的幾個(gè)結(jié)果學(xué)生的嘗試可以概括為兩個(gè)主要方法：分配的方法和比例的方法

分配的方法主要是找到3個(gè)相等的部分比例的方法是“一次分走3塊糖一共能分多少次”這兩種方法之間是緊密相關(guān)聯(lián)的：分配的方法是分成了3個(gè)相等的部分；比例的方法則是每分一次，糖的總數(shù)以3的倍數(shù)的形式減少啟示學(xué)生在解決“分”的問題時(shí)，傾向于重復(fù)做減法的方式

原來的那個(gè)“分糖”問題已經(jīng)來到了嚴(yán)格的除法的門口雖然還需要一些提煉和轉(zhuǎn)換工作，但核心的思想和方法已經(jīng)被發(fā)現(xiàn)了三、關(guān)于解決問題方程：含有未知數(shù)的等式叫方程。一共11元爆爆米米花花漢堡X元X元7元學(xué)生的“方程”：（11-7）÷2=X。（11-7）÷2=X是方程嗎？方程概念的核心是“建立相等關(guān)系”，需要對(duì)方程概念有多重體會(huì)：①方程是用數(shù)、符號(hào)等表示的相等關(guān)系。②方程式等號(hào)兩邊是兩個(gè)等價(jià)事件的不同表述。③方程是現(xiàn)實(shí)問題的數(shù)學(xué)描述，這種描述可以是已知量，也可以含有未知量。④方程是通過相等關(guān)系去尋找未知量的值，可以把未知量看作已知量參與列式和運(yùn)算。（11-7）÷2=X，只是一個(gè)“普通等式”，嚴(yán)格地說不能算作真正意義上的方程，它與2X+7=11有明顯區(qū)別。因?yàn)榉匠蹋ㄔ剑┦菦]有經(jīng)過任何運(yùn)算，只闡述了事實(shí)本身，再現(xiàn)了實(shí)際問題中的等量關(guān)系。而（11-7）÷2=X是把所有已知量寫在了等號(hào)的一邊，以此表示出未知量，它經(jīng)過了一系列的數(shù)學(xué)加工，事實(shí)上是在做四則運(yùn)算。問題問題與討論教材是如何幫助學(xué)生分析和解決問題的？本單元用方程解決的實(shí)際問題比四年級(jí)遇到的問題復(fù)雜一些。四年級(jí)只涉及到一個(gè)等量關(guān)系，而本單元解決一個(gè)實(shí)際問題要涉及到兩個(gè)等量關(guān)系。這是因?yàn)楸締卧膯栴}涉及到兩個(gè)未知數(shù)，兩個(gè)等量關(guān)系的作用也不同，其中一個(gè)用于表示未知量，另一個(gè)則用于列方程。

問題與討論問題與討論重視讓學(xué)生經(jīng)歷三個(gè)關(guān)鍵步驟：一是根據(jù)題意找出數(shù)量之間相等關(guān)系；二是根據(jù)等量關(guān)系列出方程；三是解方程。同時(shí)，關(guān)注不同的直觀模型表示數(shù)量之間的相等關(guān)系，幫助學(xué)生經(jīng)歷尋找實(shí)際問題中數(shù)量之間的相等關(guān)系、列方程求解的全過程，有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。問題1：根據(jù)兩人的步行速度信息估計(jì)在何處相遇。問題2：列方程解決問題。

畫圖，借助幾何直觀，找等量關(guān)系。840米

淘氣行程笑笑行程

設(shè)：出發(fā)后x分淘氣與笑笑相遇。70x+50x=840……（？）

反思：尋找合理、簡(jiǎn)捷的途徑。問題3：變式訓(xùn)練。問題4：舉一反三，觸類旁通。

如，工作效率問題。

問題與討論問題與討論問題1：根據(jù)兩人的步行速度信息估計(jì)在何處相遇。問題2：列方程解決問題。

畫圖，借助幾何直觀，找等量關(guān)系。840米

淘氣行程笑笑行程

設(shè)：出發(fā)后x分淘氣與笑笑相遇。70x+50x=840……（？）

反思：尋找合理、簡(jiǎn)捷的途徑。問題3：變式訓(xùn)練。問題4：舉一反三，觸類旁通。

如，工作效率問題。

問題與討論問題與討論體會(huì)用方程解決問題的一般步驟：①設(shè)未知數(shù)。②找等量關(guān)系，列方程。③解方程，求未知數(shù)。④檢驗(yàn)，寫答案。（檢驗(yàn)包括：所求的未知數(shù)是否是方程的解；是方程的解的，是否是實(shí)際問題的解）問題：“比例的應(yīng)用”的教材設(shè)計(jì)與傳統(tǒng)的“解比例”的編寫有什么不同，教學(xué)中如何把握？本課節(jié)中用比例解決的簡(jiǎn)單實(shí)際問題的教學(xué)要求如何把握？比例的應(yīng)用課例問題1：讀懂問題情境的基礎(chǔ)上，嘗試用自己的方法解決問題。教材呈現(xiàn)了兩種可能出現(xiàn)的解決問題的方法。一種是“一組一組對(duì)應(yīng)畫圖”的方法，另一種是“先求出14個(gè)是4個(gè)的幾倍，再算14個(gè)玩具汽車可換的小人書的本數(shù)”。問題2：學(xué)習(xí)用比例解決問題的方法。根據(jù)“內(nèi)項(xiàng)的積等于外項(xiàng)的積”寫成等式，再用等式的性質(zhì)解方程。問題3：解比例，學(xué)習(xí)檢驗(yàn)的方法。在“比例的應(yīng)用”中，教材創(chuàng)設(shè)了“物物交換”的情境，“物物交換”的情境蘊(yùn)含著按一定的比例交換的數(shù)學(xué)關(guān)系。結(jié)合情境，引導(dǎo)學(xué)生用多種方法解決問題，體會(huì)解決問題方法的多樣性，在解決問題的過程中列出含有未知數(shù)的比例，并自主探索解比例的方法，學(xué)會(huì)根據(jù)“比例中兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積等于兩個(gè)外項(xiàng)的積”解比例，并解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。六下部分內(nèi)容解讀教學(xué)更側(cè)重“比例的應(yīng)用”，關(guān)注多種解決問題策略。在解決問題的多種策略中學(xué)習(xí)“解比例”的方法，這是與原來的“解比例”編寫有所不同的地方。比例只是解決問題的方法之一。需要說明的是，本單元用比例解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，都是根據(jù)兩個(gè)比相等先寫出比例，再通過解比例解決問題。（因?yàn)閷W(xué)生還沒有學(xué)習(xí)正反比例，題意直接體現(xiàn)出兩個(gè)比相等，而不是要學(xué)生先判斷是否成正比例，再寫比例式），六下部分內(nèi)容解讀四、關(guān)于數(shù)的認(rèn)識(shí)數(shù)是數(shù)量的抽象2+3=5數(shù)單位整數(shù)單位小數(shù)單位0.10.010.001……單元具體內(nèi)容介紹提供豐富的直觀模型人民幣小數(shù)的意義（一）提供豐富的直觀模型面積模型小數(shù)的意義（一）單元具體內(nèi)容介紹提供豐富的直觀模型數(shù)線提供豐富的直觀模型數(shù)線單元具體內(nèi)容介紹提供豐富的直觀模型計(jì)數(shù)器單元具體內(nèi)容介紹提供豐富的直觀模型數(shù)位順序表單元具體內(nèi)容介紹綜合理解小數(shù)的意義（三）分?jǐn)?shù)單位分?jǐn)?shù)的意義把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)。定位：初步理解分?jǐn)?shù)的意義。側(cè)重點(diǎn)：理解1/2的實(shí)際意義，利用面積模型表示簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)。三下、認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)問題：“分一分（二）”中，教材幫助學(xué)生如何進(jìn)一步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的?把多個(gè)物體看成一個(gè)整體，將這個(gè)整體平均分成若干份，其中的一份或幾份也可以用分?jǐn)?shù)表示。問題1復(fù)習(xí)表示分?jǐn)?shù)的面積模型；問題2認(rèn)識(shí)表示分?jǐn)?shù)的集合模型；問題3在集合的背景下能用分?jǐn)?shù)表示集合中的部分事物。分一分二視頻：通過操作，理解分?jǐn)?shù)的集合模型。問題1把鴨子集合平分成5份，每份1只鴨；問題2把鴨子集合平分成5份，每份是1排鴨子，即4只鴨。本小節(jié)學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是：把多個(gè)物體看成一個(gè)整體，將這個(gè)整體平均分成若干份，其中的一份或幾份也可以用分?jǐn)?shù)表示。

這是分?jǐn)?shù)中關(guān)于“整體”意義的拓展，使學(xué)生進(jìn)一步理解分?jǐn)?shù)的意義。學(xué)生通過自由涂色，理解每種顏色的格子數(shù)占這張紙的幾分之幾，明確部分與“整體”的關(guān)系，這是引入由多個(gè)物體組成一個(gè)整體的過渡。全班的涂色結(jié)果是多樣的。從學(xué)生的實(shí)際情況出發(fā)，多方面理解分?jǐn)?shù)意義。教材對(duì)于“比大小”進(jìn)行了重新設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}1：借助面積模型比較同分母分?jǐn)?shù)大?。粏栴}2：找出一組同分母分?jǐn)?shù)，進(jìn)一步體會(huì)分?jǐn)?shù)的大小比較方法；問題3：結(jié)合畫圖鞏固同分母分?jǐn)?shù)大小比較方法，會(huì)比較同分子分?jǐn)?shù)大小。借助圖，引發(fā)進(jìn)一步的思考。把整體平均分成了3份，如何能取到4份呢？一共才有3份呀？你是如何理解的?怎么會(huì)有假分?jǐn)?shù)的存在？有趣”的現(xiàn)象整體把握分?jǐn)?shù)的意義國際的研究提出分?jǐn)?shù)的五個(gè)構(gòu)想部分/整體比率商度量運(yùn)算國際研究提出分?jǐn)?shù)五種形式表達(dá)部分/整體子集/集合數(shù)軸上兩個(gè)整數(shù)間的一點(diǎn)除法運(yùn)算的結(jié)果兩個(gè)量的比分?jǐn)?shù)的意義分?jǐn)?shù)的意義運(yùn)算比商測(cè)量指的是可以將分?jǐn)?shù)理解為分?jǐn)?shù)單位累積的結(jié)果指分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為除法之后運(yùn)算的結(jié)果指的是將對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)化為一個(gè)運(yùn)算的過程整體把握分?jǐn)?shù)的意義分?jǐn)?shù)的意義整體把握分?jǐn)?shù)的意義比指部分與整體的關(guān)系和兩個(gè)量之間比的關(guān)系指分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為除法之后運(yùn)算的結(jié)果指的是將對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)化為一個(gè)運(yùn)算的過程從“數(shù)量比”到“份數(shù)比”五上P63分?jǐn)?shù)的意義整體把握分?jǐn)?shù)的意義比指部分與整體的關(guān)系和兩個(gè)量之間比的關(guān)系指的是可以將分?jǐn)?shù)理解為分?jǐn)?shù)單位累積的結(jié)果指分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為除法之后運(yùn)算的結(jié)果指的是將對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)化為一個(gè)運(yùn)算的過程從“數(shù)量比”到“份數(shù)比”從部分與整體的關(guān)系到兩個(gè)量之間的關(guān)系五上P70分?jǐn)?shù)的意義整體把握分?jǐn)?shù)的意義

測(cè)量指部分與整體的關(guān)系和兩個(gè)量之間比的關(guān)系指的是可以將分?jǐn)?shù)理解為分?jǐn)?shù)單位累積的結(jié)果指分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為除法之后運(yùn)算的結(jié)果指的是將對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)化為一個(gè)運(yùn)算的過程五上P65分?jǐn)?shù)的意義運(yùn)算指部分與整體的關(guān)系和兩個(gè)量之間比的關(guān)系指的是可以將分?jǐn)?shù)理解為分?jǐn)?shù)單位累積的結(jié)果指分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為除法之后運(yùn)算的結(jié)果指的是將對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)化為一個(gè)運(yùn)算的過程6張紙的是多少張紙？整體把握分?jǐn)?shù)的意義分?jǐn)?shù)的意義

商指部分與整體的關(guān)系和兩個(gè)量之間比的關(guān)系指的是可以將分?jǐn)?shù)理解為分?jǐn)?shù)單位累積的結(jié)果指分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為除法之后運(yùn)算的結(jié)果整體把握分?jǐn)?shù)的意義分?jǐn)?shù)的意義

商運(yùn)算比指部分與整體的關(guān)系和兩個(gè)量之間比的關(guān)系

測(cè)量指的是可以將分?jǐn)?shù)理解為分?jǐn)?shù)單位累積的結(jié)果指分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為除法之后運(yùn)算的結(jié)果指的是將對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)化為一個(gè)運(yùn)算的過程整體把握分?jǐn)?shù)的意義分?jǐn)?shù)與小數(shù)有什么關(guān)系？?與0.5是同一個(gè)數(shù)嗎?涂色部分是?0.5

0?10.5“分?jǐn)?shù)集合”與“小數(shù)集合”是包含關(guān)系嗎?任何分?jǐn)?shù)都可以化成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)8/135/12任何循環(huán)小數(shù)都可以化成分?jǐn)?shù)0.333333……0.89898989……化成分?jǐn)?shù)89/100+89/10000+89/1000000……設(shè)：X=0.89898989……100X=89.898989……100X-X=8999X=89X=89/99分?jǐn)?shù)可以表示數(shù)軸上所的數(shù)嗎?無限不循環(huán)小數(shù)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派正方形的對(duì)角線L1

L=√2

有理數(shù)(分?jǐn)?shù),有限小數(shù)\無限循環(huán)小數(shù))

實(shí)數(shù)

無理數(shù)小數(shù)可以表示數(shù)軸上所有的數(shù)嗎?

兩條核心標(biāo)志：有價(jià)值的問題（指向教學(xué)目標(biāo)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)）學(xué)生自主思考（經(jīng)歷過程）優(yōu)秀課例：五老村小學(xué)魏杰好課的標(biāo)志比在幾何中應(yīng)用陰影和角

位于NewMexico州的AcomaPueblo被認(rèn)為是美國最古老的村莊.她以其美麗的陶器和建筑而聞名.

通過對(duì)古陶的研究,人類學(xué)家認(rèn)為這個(gè)村莊至少已經(jīng)在這里存在1000年了!上面是這個(gè)村莊的全景圖,她仍然保持著100年前的樣子.

這是村莊主要街道的典型建筑.

照片是早晨拍的.

1.下午時(shí)陰影會(huì)是什么樣?

這里我們畫出了照片上第一個(gè)梯子.它顯示出光線是平行的.

同一天另一時(shí)刻的影子歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題

Lh

α

d

Lhαd

有兩個(gè)辦法刻劃陡度

角α

α

高度和距離之比