2022年黑龍江省哈爾濱市呼蘭第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

2022年黑龍江省哈爾濱市呼蘭第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.=（1，﹣1），=（﹣1，2）則（2+）=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2參考答案：C【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】利用向量的加法和數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算解答本題．【解答】解：因?yàn)?（1，﹣1），=（﹣1，2）則（2+）=（1，0）?（1，﹣1）=1；故選：C2.關(guān)于的不等式對恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．(－∞，0)

B．(－∞，0)∪

C．(－∞，0]

D．(－∞，0]∪參考答案：C略3.在△ABC中，a＝2，b＝2，∠B＝45°，則∠A為．A．30°或150° B．60° C．60°或120° D．30°參考答案：C4.與橢圓共焦點(diǎn)且過點(diǎn)的雙曲線方程是

（

）A

B

C

D

參考答案：A5.利用“直接插入排序法”給按從大到小的順序排序，當(dāng)插入第四個數(shù)時，實(shí)際是插入哪兩個數(shù)之間（

）A．與

B．與

C．與

D．與參考答案：B

解析：先比較與，得；把插入到，得；把插入到，得；6.已知集合A=｛1，2｝，B=｛，｝，若A∩B=｛｝，則A∪B為（

）

A．｛-1，，1｝

B.｛-1，｝

C．｛1，｝ D.｛，1，｝參考答案：A7.設(shè)a=20.4，b=30.75，c=log3，則（）A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a參考答案：B【考點(diǎn)】對數(shù)值大小的比較．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由已知利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性能求出結(jié)果．【解答】解：∵a=20.4，b=30.75，c=log3，∴=﹣1，b=30.75＞30.4＞20.4=a＞20=1，∴b＞a＞c．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查三個數(shù)的大小的比較，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的合理運(yùn)用．8.設(shè)z=x+y，其中實(shí)數(shù)x，y滿足，若z的最大值為6，則z的最小值為（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0參考答案：A【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識先求出k的值，通過平移即可求z的最小值為．【解答】解：作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，由z=x+y，得y=﹣x+z，平移直線y=﹣x+z，由圖象可知當(dāng)直線y=﹣x+z經(jīng)過點(diǎn)A時，直線y=﹣x+z的截距最大，此時z最大為6．即x+y=6．經(jīng)過點(diǎn)B時，直線y=﹣x+z的截距最小，此時z最小．由得，即A（3，3），∵直線y=k過A，∴k=3．由，解得，即B（﹣6，3）．此時z的最小值為z=﹣6+3=﹣3，故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用以，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法．9.已知函數(shù)的定義域是(0.1,100]，則函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

A．

B．

C．

D．參考答案：C10.若關(guān)于x的方程2x3﹣3x2+a=0在區(qū)間[﹣2，2]上僅有一個實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．（﹣4，0]∪[1，28） B．[﹣4，28] C．[﹣4，0）∪（1，28] D．（﹣4，28）參考答案：C【考點(diǎn)】55：二分法的定義．【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的增區(qū)間為[﹣20）、（1，2]，減區(qū)間為（0，1），根據(jù)f（x）在區(qū)間[﹣2，2]上僅有一個零點(diǎn)可得f（0）≠0，故①，或②，分別求得①、②的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：設(shè)f（x）=2x3﹣3x2+a，則f′（x）=6x2﹣6x=6x（x﹣1），x∈[﹣2，2]，令f′（x）≥0，求得﹣2≤x≤0，1≤x≤2令f′（x）＜0，求得0＜x＜1，故函數(shù)的增區(qū)間為[﹣20）、（1，2]，減區(qū)間為（0，1），∵若f（1）=0，則a=1，則f（x）=2x3﹣3x2+1=（2x+1）（x﹣1）2，與提意不符合．∴f（1）≠0根據(jù)f（x）在區(qū)間[﹣2，2]上僅有一個零點(diǎn)，f（﹣2）=a﹣28，f（0）=a，f（1）=a﹣1，f（2）=a+4，若f（0）=a=0，則f（x）=x2（2x﹣3），顯然不滿足條件，故f（0）≠0．∴①，或②．解①求得1＜a≤28，解②求得﹣4≤a＜0，故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)間的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.雙曲線（a＞0，b＞0）的漸近線是4ax±by=0，則其離心率是

．參考答案：【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程，求得a與b的關(guān)系，利用雙曲線的離心率公式即可求得雙曲線的離心率．【解答】解：由雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程y=±x，即=，即b2=4a2，則雙曲線的離心率e===，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的漸近線方程及離心率公式，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．12.由1，2，3，4這四個數(shù)，組成個位數(shù)字不為2的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，共有

個參考答案：1813.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若圓C的圓心在第一象限，圓C與x軸相交于、兩點(diǎn)，且與直線相切，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_________.參考答案：.【分析】設(shè)圓心與半徑，根據(jù)條件列方程組，解得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓：，則，解得14.是方程的兩實(shí)數(shù)根；,則是的

條件。參考答案：充分不必要條件略15.在區(qū)間[﹣1，1]上隨機(jī)取一個數(shù)x，則cos的值介于0到之間的概率為

．參考答案：【考點(diǎn)】C7：等可能事件的概率．【分析】本題考查的知識點(diǎn)是幾何概型，由于函數(shù)cos是一個偶函數(shù)，故可研究出cosπx的值介于0到0.5之間對應(yīng)線段的長度，再將其代入幾何概型計(jì)算公式進(jìn)行求解．【解答】解：由于函數(shù)cos是一個偶函數(shù)，可將問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間[0，1]上隨機(jī)取一個數(shù)x，則cos的值介于0到之間的概率在區(qū)間[0，1]上隨機(jī)取一個數(shù)x，即x∈[0，1]時，要使cosπx的值介于0到0.5之間，需使≤πx≤∴≤x≤1，區(qū)間長度為，由幾何概型知cosπx的值介于0到0.5之間的概率為．故答案為：．16.圓柱的側(cè)面展開圖是邊長分別為2a，a的矩形，則圓柱的體積為

．參考答案：或【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【專題】空間位置關(guān)系與距離．【分析】有兩種形式的圓柱的展開圖，分別求出底面半徑和高，分別求出體積．【解答】解：圓柱的側(cè)面展開圖是邊長為2a與a的矩形，當(dāng)母線為a時，圓柱的底面半徑是，此時圓柱體積是π×（）2×a=；當(dāng)母線為2a時，圓柱的底面半徑是，此時圓柱的體積是π×（）2×2a=，綜上所求圓柱的體積是：或．故答案為：或；【點(diǎn)評】本題考查圓柱的側(cè)面展開圖，圓柱的體積，容易疏忽一種情況，導(dǎo)致錯誤．17.已知sinα+cosβ=，sinβ﹣cosα=，則sin（α﹣β）=．參考答案：﹣【考點(diǎn)】GQ：兩角和與差的正弦函數(shù)；GG：同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系．【分析】把已知的兩等式左右兩邊平方，利用完全平方公式展開后，分別記作①和②，然后將①+②，左邊利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，右邊計(jì)算，整理后即可求出sin（α﹣β）的值．【解答】解：∵sinα+cosβ=，sinβ﹣cosα=，∴（sinα+cosβ）2=，（sinβ﹣cosα）2=，即sin2α+2sinαcosβ+cos2β=①，sin2β﹣2sinβcosα+cos2α=②，①+②得：sin2α+2sinαcosβ+cos2β+sin2β﹣2sinβcosα+cos2α=（sin2α+cos2α）+（cos2β+sin2β）+2（sinαcosβ﹣sinβcosα）=1+1+2sin（α﹣β）=2+2sin（α﹣β）=，則sin（α﹣β）=﹣．故答案為：﹣三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數(shù)列{an}滿足a1+2a2+22a3+23a4+…+2n－1an=

(n∈N*)

(1)求{an}的通項(xiàng)公式.

(2)設(shè)bn=(2n－1)an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn參考答案：解(1)a1=當(dāng)n≥2時，a1+2a2+a2a3+…+2n－1an=a1+2a2+…+2n－2an－1=

2n－1an=∴an=

(n≥2)當(dāng)n=1時，上式也成立，∴an=(2)bn=,Sn=+++…+

Sn=+++…++

Sn=+++…+－

=+++…+－

化簡求得Sn=3－19.如圖，P是圓錐的頂點(diǎn)，AB是底面圓O的一條直徑，OC是一條半徑.且，已知該圓錐的側(cè)面展開圖是一個面積為8π的半圓面.（1）求該圓錐的體積：（2）求異面直線PB與AC所成角的大小.參考答案：（1）（2）【分析】(1)運(yùn)用圓錐的體積公式求解；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用空間向量的夾角公式求解.【詳解】解：（1）設(shè)該圓錐的母線長為，底面圓半徑為，高為，由題意，∴，底面圓周長，∴，∴，因此，該圓錐的體積；（2）如圖所示，取弧的中點(diǎn)，則，因?yàn)榇怪庇诘酌妫?、、兩兩垂直以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算得，，，，所以，，設(shè)與所成角的大小為，則，所以，即異面直線與所成角的大小為.【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的體積和異面直線所成的角，屬于基礎(chǔ)題.20.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足，.（1）計(jì)算a2，a3，a4，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想an的表達(dá)式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你猜想的結(jié)論.參考答案：解（1）當(dāng)時，，∴，當(dāng)時，，∴，當(dāng)時，，∴，由此猜想，（2）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明，①當(dāng)時，顯然成立，②假設(shè)當(dāng)時猜想成立，即，由題意得，∴，∴，∴當(dāng)時猜想也成立，由①和②，可知猜想成立，即.

21.橢圓＞＞與直線交于、兩點(diǎn)，且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)。（1）求的值；（2）若橢圓的離心率滿足≤≤，求橢圓長軸的取值范圍。參考答案：（1）=2

（2）略22.（12分）某單位建造一間背面靠墻的小房，地面面積為平方米，房屋正面每平方米的造價(jià)為1200