淺議在建模訓(xùn)練中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)語言解讀能力

精品文檔-下載后可編輯淺議在建模訓(xùn)練中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)語言解讀能力1.數(shù)學(xué)語言解讀能力

數(shù)學(xué)史學(xué)家、教育學(xué)家克萊因曾指出：“數(shù)學(xué)的一個重要特征是它的符號語言.如同音樂利用符號來代表和傳播聲音一樣，數(shù)學(xué)也用符號表示數(shù)量關(guān)系和空間形式.與日常講話用的語言不同……數(shù)學(xué)語言是謹慎地、有意地而且經(jīng)常是精心設(shè)計的.”

數(shù)學(xué)語言解讀能力是數(shù)學(xué)基本功之一.教學(xué)過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)語言解讀障礙主要有三類：識別轉(zhuǎn)化障礙，即數(shù)學(xué)語言的進入障礙，尤指難以提取數(shù)學(xué)語言間接傳遞的信息和隱含條件.記憶存儲障礙，即數(shù)學(xué)語言的保留障礙，它不僅僅指記錄形式上的數(shù)學(xué)語言過程中的“遺忘”，還包括對已經(jīng)記憶保留的數(shù)學(xué)語言進行處理，略去多余的信息，提煉出知識核心成分過程中發(fā)生的“疑惑”.組織表達障礙，即數(shù)學(xué)語言的輸出障礙，分為口頭和書面表達障礙，組織表達障礙與知識掌握的熟練程度、自然語言與數(shù)學(xué)語言的并聯(lián)使用能力有關(guān).

2.建模訓(xùn)練有助于培養(yǎng)數(shù)學(xué)語言解讀能力

嚴格的過程演繹使數(shù)學(xué)內(nèi)容成為形式化運動的產(chǎn)物.數(shù)學(xué)中的每一個概念，從本質(zhì)上說都是嵌入在一些概念體系之中的，它從某基礎(chǔ)概念中得來，又為建立新的概念作基礎(chǔ).解讀數(shù)學(xué)語言就是要理解數(shù)學(xué)概念間的聯(lián)系，實現(xiàn)認知結(jié)構(gòu)的再組織.在前（低）一層次形式理解的基礎(chǔ)上，去認識后（高）一層次形式.因此，數(shù)學(xué)語言解讀通常要經(jīng)歷三個階段：

（1）引入階段：學(xué)習(xí)者通過對定理、定義、法則、公式的字面意義上的記憶，初步建立起層次結(jié)構(gòu)的輪廓.此時，學(xué)生僅能通過背誦、對比和模仿進行識別判斷.

（2）抽象理解階段：從記憶到理解，從對運算、證明的形式操作進入分析推理，數(shù)學(xué)語言中層次形式的輪廓越來越清晰，最后由理解進化到概括.這時，學(xué)習(xí)者往往能概括出某一數(shù)學(xué)觀念，概括出該層次形式活動的內(nèi)容和規(guī)則.

（3）反省抽象理解階段：通過對已有知識結(jié)構(gòu)的反省，思考如何以前一層次形式為對象進行后一層次形式活動，從而搭建出具備通用性的結(jié)構(gòu).學(xué)習(xí)者要達到一定認知水平后才能自覺進入這一階段，因此需要采取多種方法進行有意識的培養(yǎng)，使學(xué)習(xí)者完整地實現(xiàn)數(shù)學(xué)語言解讀.

數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練有助于培養(yǎng)數(shù)學(xué)語言解讀能力.一方面，建模引導(dǎo)學(xué)生認識數(shù)學(xué)語言的精確性與真實世界的不確定性之間的矛盾，即通過有步驟、有計劃的精確的分析計算得到的也可能依然是特定條件下的模擬近似解，了解這種數(shù)學(xué)思想，對中學(xué)生下一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)和利用數(shù)學(xué)工具解決實際問題很有益處；另一方面，建模的過程必須依靠數(shù)學(xué)語言進行合理假定并在把模型“數(shù)學(xué)化”的過程中概括、抽取、保留有價值的信息，同時舍去次要的、甚至是干擾性的信息，起到在解讀過程中削減“冗余度”的功能，也為到達反省抽象理解階段創(chuàng)造必要條件.

3.案例分析

模型：有一個半徑為10公里的圓形農(nóng)場，種植某種谷物，總產(chǎn)量23萬噸，收割后要運回位于農(nóng)場中心的倉庫，如果運費是每噸每公里2元，請估算總運費，并且說明怎樣改善你的估計.

（Ⅰ）模型假設(shè)與分析：首先假設(shè)谷物在農(nóng)場內(nèi)是基本均勻分布的，這樣由于總產(chǎn)量是23萬噸，總面積為314平方公里，每平方公里的產(chǎn)量ρ約等于0.073萬噸，畝產(chǎn)約為1千斤.其次假設(shè)倉庫面積忽略不計，是個質(zhì)點.最后考慮谷物是從哪些位置運回倉庫的：由于農(nóng)場是圓形，若假設(shè)谷物都是從圓心處運回倉庫，顯然不合理，因為這樣根本不需要運；若假設(shè)谷物都是從農(nóng)場最即半徑10公里的圓周處運回倉庫，如圖1，顯然也不合理，這樣過高地估計了運費，因為大部分的谷物都是從半徑10公里的圓形內(nèi)部運回倉庫的；如假設(shè)谷物是從半徑5公里的圓周處運回倉庫，經(jīng)分析，發(fā)現(xiàn)誤差很大：半徑5公里的圓周將該農(nóng)場切分成了兩部分，一個是半徑5公里的圓形農(nóng)場（面積記為Sx），一個是內(nèi)徑5公里、外徑10公里的圓環(huán)形農(nóng)場（面積記為Sy），Sy是Sx的3倍，這樣將造成估算的運費比實際運費低很多.

經(jīng)進一步分析，如圖2，可將圓形農(nóng)場用四個同心圓分割成5個部分，分別是一個R1=2公里的圓形農(nóng)場F1和四個內(nèi)徑ri（i=2，3，4，5）、外徑Ri（i=2，3，4，5）的圓環(huán)形農(nóng)場Fi（i=2，3，4，5）（內(nèi)徑ri=2（i-1）公里，外徑Ri=2i公里（i=2，3，4，5）），圓環(huán)面積分別為Si（i=2，3，4，5）.同時也可以把圓形農(nóng)場F1看作是內(nèi)徑r1=0公里、外徑R1=2公里的圓環(huán).

若假設(shè)F1內(nèi)的谷物都是從圓心運回倉庫，圓環(huán)形農(nóng)場Fi內(nèi)的谷物都是從內(nèi)徑處運回倉庫，顯然低估運費；若假設(shè)F1內(nèi)的谷物從R1=2公里處運回倉庫，圓環(huán)形農(nóng)場Fi內(nèi)谷物都是從外徑處運回倉庫，則估算又偏高.基于此，可以認為谷物是從半徑為di的圓周處運回倉庫（其中di=ri+Ri-ri2（i=1，2，3，4，5）），代入簡化后di=2i-1（i=1，2，3，4，5），即F1內(nèi)的谷物是從半徑中點的圓周處運回倉庫，圓環(huán)形農(nóng)場Fi內(nèi)的谷物是從圓環(huán)中間的圓周處運回倉庫.

圖1圖2

（Ⅱ）模型的建立與求解：在上面分析的基礎(chǔ)上我們可以知道總運費C就是把農(nóng)場分割成的五個部分的運費相加，而這五個部分的運費又分別等于它們的產(chǎn)量和到倉庫的距離的乘積再乘以每噸每公里的運費，即